点击联系发帖人
时间：2020-04-07 07:17
第七讲 泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数 式(*1),(*2)中系數cn的积分分别是在k2 k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分汾别称为 洛泰勒级数与罗朗级数的区别数的解析部分和主要部分。 (2)在许多实际应用中经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数那么 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛泰勒级数与罗朗级数的区别数的解析部分和主要部汾 * * 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式 §4.3 泰勒(Taylor)级数 1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂級数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。 定理（泰勒展开定理） D k 分析： 代入(1)得 D k z ---(*)得证！ 证明 (不讲) (不讲) 证明 (不讲) 2. 展开式的唯一性 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的就是它 的Taylor级数。 利用泰勒级数可把解析函数展开成冪级数这样 的展开式是否唯一？ 事实上设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数因而是唯一的。 ---直接法 ---间接法 代公式 由展开式的唯一性运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法： 3. 简單初等函数的泰勒展开式 例1 解 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法. 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: 解 (2)由幂级数逐项求导性质得： (1)另一方面，因ln(1+z)茬从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析 ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?<1. 定理 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 内解析， 那么f (z)能否用級数表示呢？ 例如 由此推想，若f (z) 在R 1<?z - z0?<R2 内解析, f (z) 可以展开成级数只是这个级数含有负幂次项,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数嘚级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础 1. 预备知识 Cauchy
介绍使用Mathematica如何对复函数进行洛朗展开以及留数的计算。
首先Series函数不仅能求泰勒展开，也能自动求出洛朗展开比如我们在z=0处求到泰勒展开的第四项，会一并求出洛泰勒级数与罗朗级数的区别数项
使用Residue可以求出给定点的留数。如图求出了z=0处的留数值。
留数的计算对一些分支点无效比如Sqrt[z] z=0处。
通过符號积分使用柯西积分定理来验证留数的正确性。
Series级数还可以在无穷远点展开如图，在无穷处展开Exp[1/z^2]
绝大多数函数在非奇点的洛泰勒级数與罗朗级数的区别数和实数的泰勒展开看起来差不多
经验内容仅供参考，如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)建议您详细咨詢相关领域专业人士。
说说为什么给这篇经验投票吧！
只有签约作鍺及以上等级才可发有得 你还可以输入1000字
