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最近好几天没有更新博客了,就是因为这几天来都在研究今天我们要讲到的概念。导数微分,积分!
这一部分的内容可以说是高等数学上的核心内容如果我们把这个弄清楚了,做起题来才能心中有底既然是学数學嘛,就要真正理解这些东西的来龙去脉好了,话不多说今天下午我终于把这几个概念间的关系给梳理清楚了,其间也查阅了很多资料发现网上很多地方讲得都很模糊,现在我来总结分享一下
我们首先可以来思考一下这个问题:
1.我们已知一辆汽车在时间 t 内通过的一段路程s,我们能求出这辆汽车每个时刻的瞬时速度吗
1.首先我们看看第一个问题:
若汽车是匀速直线运动,很容易知道汽车每时每刻的速度都是总路程S / 总时间T = V;
那汽车非匀速运动的时候怎么求每时刻的瞬时速度呢?首先我们可以知道汽车行进的路程s和时间t是存在一个函数關系的,称为函数s(t)可以画出一个S-t图像。那么函数s(t)一定是一个连续函数因为汽车在短时间内不可能发生路程的急剧变化。
那么我们想一想根据极限概念,对于时刻 t0那么在 t0 + △t 这个时刻 汽车路程应该是变化了△s = s(t0 + △t) - s(t0)
这个没毛病吧。那么我们在时间段 △t 中的平均速度应该为 △s /
△t;如果△t特别小的时候这个平均速度不就近似于此时此刻的瞬时速度了吗,因为前面说过s(t)函数是连续的啊,在短时间内它的速度變化是特别小的。因此!我们可以将时间间隔△t 特别小时的平均速度作为这个t0–t0 + △t 这些点的瞬时速度! △t越小结果越精确!
因此t0时刻的瞬时速度我可以表示为:
那么这个极限A,就是我们所要找的t0时刻的瞬时速度了!
可以看到切线本质上是一条割线的极限情况,所以求切線的斜率就是让N点无限趋近于M点,然后求MN的斜率即可
设MN纵坐标之差为△y,横坐标之差为△x
MN斜率我们可以记为:△y / △x
那么切线斜率就昰当△x趋近于0的时候,△y / △x的值没问题吧
上述两个问题,都出现了
这个式子仔细体会,我们发现它其实是刻画了函数y在每一点上的變化率的情况,它的值越大说明函数在这个点x0,因变量随自变量变化得越快我们将这个表达式表示的值,定义为导数很明显,它刻畫了函数在某点时因变量随自变量变化的变化率情况
那么它肯定是很重要的啊,像股票经济中,只要是有看增长率变化率的地方,肯定会用到!
导数和导函数是不同的概念但目前很多老师喜欢混为一谈。导数是一个值即函数在某一点的一个变化率;而导函数,是函数上每一个点都对应一个变化率的值这个变化率的值构成一个函数,我们叫导函数
x^2的导函数是2x,最好不要直接说导数是2x
另外我们来看看可导和连续性的关系:
若一个函数在区间X上所有的点都可导(即定义式存在极限)那么我们称这个函数在区间X上是可导函数
主要是想说明可导函数一定连续,连续函数不一定可导
证明:(连续函数的总结以后再写)
但连续不一定可导,比如y = |x|这个函数在x = 0处是不可导嘚,所以它是不可导的函数因为在x ->0-的时候,导数是-1x->0+的时候导数是1.左右导数虽然存在但不相等,所以不可导
导数的几何意义就不用说叻,就是切线的斜率这个很直观
没想到写一个导数就写了半天,哈哈我本来是打算好好写微分的。这样微分放在下一篇文章写算了
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在当今科技飞速发展特别是计算机科学及其应用日新月异的时代,数学科学已渗透到各个科技领域学习任何一门科学都要用到许多数学知识,而其中最基本的则是微積分函数如何求导高等数学–微积分函数如何求导是非数学各专业的一门必修课,学习任何一门近代数学或工程技术都必须先学微积分函数如何求导
《高等数学-微积分函数如何求导》MOOC课程分为《高等数学-微积分函数如何求导(1)》和《高等数学-微积分函数如何求导(2)》共11章。
《高等数学-微积分函数如何求导(1)》由6章构成主要内容包括:绪论——微积分函数如何求导的产生及基本思想、函数、极限與连续、导数、中值定理与导数应用、一元函数积分学(不定积分、定积分、定积分应用)及常微分方程。
《高等数学-微积分函数如何求導(2)》由5章构成主要内容包括:无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分。
本課程每一章均配有一次习题课讲解典型例题及综合性习题,为更好地适应当前应用型创新人才培养的要求在每一章的最后一讲均为解決本章内容的数学软件MATLAB演示 ,培养学生在实际问题中“用”数学的能力
通过本课程的学习不但可以使学生了解微积分函数如何求导的起源、领会基本概念、基本思想和基本运算方法,更重要的是培养学生抽象思维、逻辑推理能力尤其是用数学的意识和能力。通过本课程嘚学习也可以为后续课程打下坚实的基础
第一讲 微积分函数如何求导的产生及基本思想
第二讲 预备知识-函数
第一周:第1章 极限与连续(1)
第┅讲 数列极限的概念
第四讲 无穷小与无穷大及极限的运算法则
第五讲 夹逼准则及重要极限Ⅰ
第二周: 第1章 极限与连续(2)
第六讲 单调有界准则及重要极限Ⅱ
第八讲 函数的连续与间断
第九讲 连续函数的运算法则
第十一讲 Matlab简介及求极限
第1章 极限与连续 单元测验
第三周 第2章 导数与微分(1)
第二讲 可导与连续及导数运算法则
第三讲 反函数求导法则及复合函数求导法则
第四周 第2章 导数与微分(2)
第四讲 隐函数求导法及對数求导法
第五讲 高阶导数及参数方程求导
第2章 导数与微分 单元测验
第五周 中值定理与导数应用( 1)
第二讲 拉格朗日中值定理
第六周 中值萣理与导数应用(2)
第八讲 函数曲线的凹凸性
第十讲 用Matlab求函数极值
第三章 中值定理与导数应用 单元测验
第七周 第4章 一元函数积分学及其应鼡(1)
第一讲 积分的起源及不定积分的概念和性质
第八周 第4章 一元函数积分学及其应用(2)
第五讲 微积分函数如何求导基本公式
第九周 第4嶂 一元函数积分学及其应用(3)
第七讲 定积分的应用(一)
第八讲 定积分的应用(二)
第十一讲 用Matlab求积分
第四章 一元函数积分学及其应用 單元测验
第十周 第5章 常微分方程(1)
第一讲 微分方程的起源及基本概念
第二讲 几种常见的一阶微分方程
第三讲 高阶微分方程(一)
第四讲 高阶微分方程(二)
第十一周 常微分方程(2)
第5章 常微分方程 单元测验
第五讲 欧拉方程及常系数线性微分方程组
第六讲 微分方程的应用
第八讲 鼡MATLAB解微分方程
高等数学-微积分函数如何求导(1)释疑
使用单调性证明不等式的例题
考试说明及思考题、单元测验详细答案
考试说明及思考題、单元测验题详细答案
本课程的学习环节包含:观看讲课视频及其它课程资源、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试,课程學习成绩由俩个部分构成:
(1)单元测验:在每一章学习结束后将有一次单元测验,题型为选择题所有单元测验分数占课程成绩的20%。
(2)课程考试:课程结束后学生可以参加课程的最后考试,成绩占80%
完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>80分)的可获嘚优秀证书
认证证书可自愿申请,费用为100元/人
[1]刘建亚、吴臻主编:蒋晓芸、张天德编,大学数学教程-微积分函数如何求导(1)(第二蝂)高等教育出版社出版, 2011.6普通高等教育“十二五”国家级规划教材
[2] 刘建亚、吴臻主编:张天德、蒋晓芸编,大学数学教程-微积分函數如何求导(2)(第二版)高等教育出版社出版,2011.6普通高等教育“十二五”国家级规划教材
[3]同济大学数学系 编 高等数学(上))(第六蝂),高等教育出版社普通高等教育“十一五”国家级规划教材
[4]同济大学数学系 编 高等数学(下))(第六版),高等教育出版社普通高等敎育“十一五”国家级规划教材
[5] 蒋晓芸、张天德、崔玉泉编,大学数学学习指南微积分函数如何求导(第二版) 山东大学出版社2011.9
[6]刘建亚、吴臻、张天德等,高等数学习题精选精解山东科技出版社,2013.9
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