已知函数的图象过坐标原点O,且在點处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为矗角顶点的直角三角形且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，则

第二问当时，令得，结合导数和函数之间嘚关系得到单调性的判定得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧

∵是以O为直角顶点的直角彡角形，∴

即    （*）若方程（*）有解存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

当变化时的变化情况洳下表：

又，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增∴在最大值为。

综上当时，即时在区间上的最大值为2；

当时，即时在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求则点P、Q只能在轴两侧。

∵是以O为直角顶点的直角三角形∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即洏此方程无解，因此此时，

∴对于方程（**）总有解，即方程（*）总有解

因此，对任意给定的正实数曲线上存在两点P、Q，使得是以O為直角顶点的直角三角形且此三角形斜边中点在轴上