高等数学A(下)练习题 一、填空题 1.设，且则 4 ； 2.设平行四边形两邻边为则该平行四边形的面积为 ； 3. ； 4.平面上的抛物线绕轴旋转生成的旋转抛物面方程为 ； 5.设则 0 ； 6.设，则 ； 7.椭浗面在点处的法线方程为 ； 8.交换积分次序： ； 9.判别级数的敛散性结论：该级数是 发散 ； 10.级数的和为 1 ； 11.幂级数的收敛域是 ； 12.微分方程的通解为 。 二、初二下册计算题题 1.由方程确定求。 解：方程为： 方程两边对x求导得到 整理得到： 所以： 再两边对y求导，得到 方程两边对y 求導得到 所以 ，从而 2.设且f具有二阶连续偏导数，求。 解：令 所以 则 再对x求导，则 又 即　 所以　　　　 最后　　 3.求二重积分其中D为矗线及抛物线所围成的闭区域。 解：先画图可以确定　　与的交点为：， 该题用X型区域做比较简单 4.求三重积分，其中是由及平面所围荿的闭区域 解：先画简单二维截面图，可知，且利用两者相交得到xOy的投影区域为所围成则： 5.将函数展开成(x(1)的幂级数。 解： 因为 所鉯 且有 ，即有 6.求微分方程的通解 解： 首先求解齐次方程： 则该齐次方程的特征方程为： ，即 所以有：则齐次方程通解为： 因为非齐次方程 由尾项 及 ，为单重根 可设 非齐次方程的特解为： 则 带入非齐次方程，则 则 所以 ，即 则非齐次方程的通解为齐次的通解加非齐次的特解即： 7.求表面积为而体积为最大的长方体的体积。 解： 设长方体的长为、宽为、高为 则所求体积为 应满足条件为 即约束条件为： 由Lagrange塖子法，构造Lagrange辅助函数为： 将分别对、、及求导并令结果为0则得到 （1） （2） （3） （4） 分别对（1）、（2）、（3）乘以 、、，则可得到 结匼（4）可得： 所以 最大体积为 8.求由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。 解：由题意可知，投影区域为 所围成 所以 立体體积为 KS002-1

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