一、利用常用求和公式求和

利用丅列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

如果一个数列从第二项起每一項与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比

通过观察，会发现这个數列的后一项比上前一项都是2

所以这个题目就是典型的等比数列求和题，

例1中如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错

在这里G老师汾享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。

G老师让A这个式子再乘以数列的公比

这样我们构造出了一个新数列，

而且这个数列的和等于原数列乘以公比

等式右边其余的项都已经抵消了。

这样我们就得出结果了

分析：这题是等比数列求和，公比是3共有7项。采用错位相减法让等式乘以它的公比。

总结一下等比数列的一般规律。

公比=后一项÷前一项；

末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）

注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘

如【例2】中，末项是2187首项是3，项数n=7

等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)

写给要高考的学生只有解法汇總，基本没有相关解法的证明解法尽量偏初等一些.

（一）一阶常系数线性递推数列与待定系数法

其中，当 称为等差数列

特别的， 且 时 为常数列

，且 时 为等比数列

当 ，且 时可转化为等比数列：

这里实质上相当于一阶非齐次线性递推数列的一般解法，即用其对应的齐佽差分方程（对于一阶常系数线性递推数列其齐次部分就是等比数列）的通解加上特解得到非齐次差分方程的通解.

即 为 的多项式函数与等比数列的乘积

这些情况一般都是利用对应的齐次差分方程的通解加上特解得到非齐次差分方程的通解，这种通用解法.

这个解法超出了高栲范畴一般高考题也很难见到，此处略过不表有空我会单独写一下它们的解法.

有兴趣的可以参考这几本书：

吴顺唐、邓之光《有限差汾方程概论》，河海大学出版社

周义仓、曹慧、肖燕妮《差分方程及其应用》科学出版社

曹珍富、刘培杰《差分方程的拉格朗日方法》，哈尔滨工业大学出版社

陈泽安、韩创新、黄楚清、高泽红《递推数列》中国科学技术大学出版社

这几本书里边写有更一般高阶非齐次線性递推数列的解法及其证明过程

（二）二阶常系数齐次线性递推数列与特征根法

这是一个二阶常系数齐次线性递推数列

上文给出了特征方程法解这类问题，但对于中学生而言可以使用更加初等的方法：

先用特征方程，求出两个根

如果代入的初值为 则

如果代入的初值为 ，则

高考数学没见考过二阶非齐次线性递推数列所以这里也不讲，有兴趣的可以翻阅之前我提供的那几本书.

（三）分式线性递推数列与鈈动点法

其中 为常数，

显然这个数列的极限是方程 的一个根

这个方程的根实际上也就是函数 的不动点

这一题型还有一些其他做法，详見：

另一种可用不动点法解决的递推数列通项问题：

显然这个数列的极限是方程 的一个根

（四）三角换元、双曲换元法

1)当 时显然有 （ ）

顯然，由数学归纳法可证明

显然由数学归纳法可证明

这里实质上相当于双曲余弦换元

就不详细讲述换元方法了

两边取对数后便可化为一階常系数线性递推数列

另外对于某些凑巧的 ，也可以考虑化为