摘 要：应用题是小学数学重要的题型之一，具有一定的抽象性，在小学数学教学中占有极其重要的地位。文章先是对小学高年级学生解答应用题时存在的问题进行了分析，接着提出了实质性策略，以期为小学数学教学提供参考。

关键词：小学高年级;数学应用题;一题多解;解题策略

小学高年级的数学应用题抽象且多样，并且随着年级的升高，应用题的数量和类型越来越多。若学生没有很好地掌握相应的解题技巧，就很难顺利地将应用题解答出来。要想让学生正确掌握解题方法，教师就要改变当前的教学方式，引导学生积极思考，提高其对数学学习和运用数学知识解答应用题的兴趣。

一、当前小学高年级学生解答应用题存在的问题

（一）不能准确收集和处理题目中包含的信息

小学应用题存在诸多数量关系，其中间接关系较多，直接关系较少。学生在经过几年的数学学习后，具备了一定的分析条件和问题的能力，但在分析条件之间的关系上仍存在不足，理解能力薄弱，无法做到得心应手地解决应用题，甚至会降低学习数学的兴趣。

（二）无法灵活运用解题方法

部分学生在解答问题时总采取固定的思路进行思考，也更依赖固定的方法完成题目解答，尤其在解决新问题、学习新知识时更是如此。正是受这种思维方式的影响，学生在审题过程中才会一眼带过，而不会耐心思考题意和数量关系。这导致学生尽管做了大量习题，掌握多种解题方法，但在遇到语言描述相似的题目时，仍会直接将惯有的解题方法套上去，而不会躲开题目陷阱。

（三）缺乏检查修改能力

小学高年级学生正处于身体和智力快速发展的时期，学生的注意力难以完全集中在学习上。检查修改是计算解答应用题的重要环节，但许多小学生常常在做完作业后不认真检查答题过程，而一头扎进了隐藏在题目中的“小陷阱”中，正是这些“小陷阱”导致学生即使思考很长时间用于解答问题仍旧会出现错误。因此，在小学高年级数学教学过程中，教师要增强学生检查修改应用题的能力[1]。

二、启发学生一题多解的策略

（一）根据不同题型特点，教会学生思考

例题1：小红的玩具店新进了两种类型的毛绒玩具，共有60个，其中海绵宝宝的个数是派大星个数的，求进了多少个海绵宝宝？

解法一：将题目看成分数应用题。把毛绒玩具的总个数看成单位“1”，海绵宝宝个数就是新进毛绒玩具总个数的，则可以列出等式60×=24（个）。

解法二：将题目看成按比例分配应用题。新进毛绒玩具的总个数是60，把“海绵宝宝的个数是派大星个数的”，看成海绵宝宝个数与派大星个数的比是2∶3，则可以列出等式60×=24（个）。

解法三：将题目看成和倍应用题，把海绵宝宝个数当成一倍量，派大星个数则是海绵宝宝个数的倍，故可以列出等式60÷（1+）=24（个）。

解法四：将题目看成平均数应用题。新进的毛绒玩具共有60个，为总数，份数则是2+3=5份，平均每份是12个，再用12×2=24（个）即可得出正确答案。

同一道应用题用不同的知识点进行解答，会呈现出不同的解题过程。教师将相应的知识点教授给学生后，可以引导学生针对这类典型应用题的特点来解答问题。这样能够有效地帮助学生把不同的知识点串联起来，充分把握其内在联系，提高学生的数学综合应用能力及创新意识，最大限度地提高课堂教学效率。

（二）注意与其他数学知识的联系

将基础知识和应用题的讲解相结合，能够让学生深入了解相关内容。例如，在教学“折线统计图”时，教师可以将数学知识与日常场景相结合，帮助学生在学习基础知识的前提下，收集相关的资料并进行归纳总结，让学生能够在教师讲解题目的过程中掌握简易的应用题解答技巧，自行设计个人成绩分析表，在实践的过程中掌握基础知识，提高自身解答应用题的能力。而在讲解“图形与几何”时，教师可以利用多种样式的硬纸，让学生掌握有关图形转动问题的知识，在日常观察中理解圆锥的基本概念和计算等相关知识，在想象时能够逐渐掌握各种图形之间存在的联系，进而增强学生的空间想象能力。除此以外，教师开展教学时也要重视培养学生的实践操作和综合运用能力。

（三）重视数学与生活的联系

例题2：班级里原本要买12个篮球供同学们玩耍，每个篮球72元，临时改变主意，从买篮球的钱里拿出432元买足球，余下的钱还能买多少个篮球？

解法三：设余下的钱还能买x个篮球，那么可以列出方程：72x=12×72-432

这道题与学生的日常生活息息相关，解法三是方程解法，解法一和解法二是算数解法，但是解法二的思路更为新颖，解题方法简单，整体思路为：将购买足球的432元当作少买了几个篮球的钱，再求原本要买的12个篮球数与少买的篮球数之差，即为最终答案。

应用题的内容通常情况下会涉及生活。教师在教学时，可以结合小学生的生活背景，以一些生活实例作为导入，提高学生对数学问题生活化的理解，引起学生的注意力。例如，建筑所需的占地问题、游泳池进出水问题、地图比例等。将生活问题数学化也就是将学生在数学课上所学的知识和思维方式运用到生活中解決实际问题。在平时的教学中，教师要积极挖掘实际生活中的例子，将其变为数学问题，以此来提高学生的积极性，增加课堂教学的趣味性，这在提高学生积极性的同时还能加深学生对知识的理解，提高学生解决实际生活问题的能力。

（四）认真审题，厘清数量关系

例题3：一个公司生产了电脑23万台，前5天每天生产1.5万台，剩下的要在10天内完成，平均每天要生产多少万台？

解法二：设剩下的每天都能够生产x万台，那么可以列出方程：5×1.5+10x=23

在这道题目中，教师可以让学生在读第一遍题目时找到数量关系，这是解答问题的关键。学生在多次读题后明确数量关系：23万台电脑要分两个阶段生产，前5天和后10天，也就是15天;明确问题，即求10天完成剩余电脑生产任务的平均生产量。最后，学生根据以上获取的信息列出等量关系：生产总量减去前5天生产的，剩下的量就是要在10天内生产出来的量。学生若是能在做每道应用题时采取这种方式分析，就能养成良好的审题习惯，逐渐提高审题能力。

审题需要学生具备良好的阅读能力，能够理解题目中隐藏的各种信息。首先，学生要懂得“数学语言”;其次，学生要谨慎思考题目中有用的字词，掌握问题的关键信息;最后，学生要在审题的过程中找出对应量之间的关系，可以采取图示的方法展现出来。这种直观的方式更能让学生理解题目中的变量关系，以便之后建立等式，解决问题。与此同时，在做题过程中，学生也要懂得举一反三，不仅要掌握正确的审题方法，还要反复练习多种题目，学会准确地提取问题信息。

（五）分析关系，培养数学思维

例题4：A地到B地的距离是357千米，一辆火车从A地出发，与此同时一辆汽车从B地出发，二者相向而行，在3小时之后相遇，火车的时速为每小时79千米，汽车平均每小时比火车少行多少千米？

即汽车时速为每小时40千米。

汽车平均每小时比火车少行79-40=39（千米）

解法三：设汽车每小时行x千米，那么可以列出方程：79×3+3x=357

则汽车平均每小时比火车少行79-40=39（千米）。

在这道题目中，教师可以引导学生画出车辆行驶的线段图，标注出3小时后相遇时，除火车行驶的路程之外，余下的路程是汽车行驶的。这样，依照图像的直观性将复杂的问题简单化。

在解答应用题时，掌握题目中的数量对应关系是极为关键的。这就要求学生能够读懂题目中所隐含的条件，明白所需解答的问题，再根据条件列出等式，完成计算。整个过程简单来讲就是要找到量与量之间的联系。对于复杂的应用题来说，学生需要多次阅读题目后再进行解答，这样可以有效提取信息。此外，学生在解答一些较为复杂的应用题的过程中很难直观理解，这时线段图就可以直接将题目中复杂的关系反映出来，尤其是在寻找多个变量之间的关系时，线段图的运用会让问题解答变得更为简单，这就是“以形助数”。小学生进入高年级后，抽象思维能力得到了发展，在解答行程问题时，就能够“以形助数”，利用数形结合思维达到事半功倍的解题效果。

（六）巧用图表，培养抽象思维能力

例题5：笼子里有若干只鸡和兔，鸡和兔一共有8个头和26只脚，那么鸡和兔各有多少只？

解法一：列表法。教师可引导学生假设鸡和兔各有多少只，再不断进行调整。其中每只鸡，每只兔都只有一个头，因此鸡和兔共有8个头，即为鸡兔数量的总和，只需让脚的数量与题目相符就可以解开题目（见表1）。

经过分析可知，鸡兔共有8只，先假设鸡兔数量相同，各有4只，得出脚的数量少，不符合题意。因为兔有4只脚，鸡只有2只脚，现需要增加脚的数量，所以假设鸡有3只，兔有5只，所得结果符合题意。

解法二：画图法。学生可以用圆圈来表示鸡兔的头，8个圆圈表示8个头，也就是8只动物，之后在每个圆圈下画2条竖线用来表示腿，8只动物只有16条腿，还缺10条腿，再给每个动物画2条腿，直到10条腿用完，从图中就可以直接观察到，共有5只动物有4条腿，3只动物有2条腿，由此可以得出鸡有3只，兔有5只。

解法三：假设法。假设8只动物都是兔子，那么总共有4×8只脚，与26只脚相比明显多了4×8-26=6（只），而每只鸡比兔子少（4-2）只脚，因此，共有鸡（8×4-26）÷（4-2）=3（只），兔有8-3=5（只）。

解法四：方程法。假设鸡有x只，那么兔子就有（8-x）只，列出方程2x+4×（8-x）=26，解得x=3，则鸡有3只，兔有（8-3）=5（只）。

小学高年级的数学知识具有一定的抽象性，学生很难立即掌握。因此，教师要着重关注学生解答应用题的方法，而图表作为一种能以直观方式传达抽象信息的重要工具，可以有效弱化题目难度，让学生更轻易地找到题目中各个条件的关系。

（七）引导学生回顾反思

在学生解答应用题时，教师要留下充分的时间让学生独立思考、理清思路，引导学生从多个角度思考题目的解法，并进行自我调整。学生首先要反思解题过程，对自己的解题思路进行分析;其次要反思解题策略，在解题后，对其中涉及的策略进行归纳，思考解题方法是否只有一种，并分析所选择方法的优劣性，不断完善解题过程，找出最佳方案;最后要与实际情况相结合，查验结果的合理性和正确性，查缺补漏。部分学生常因态度问题导致出错。因此，教师要注重培养学生的反思意识，让学生在今后的学习中学会自觉检查、反思。

总而言之，在今后教学过程中，教师应充分了解学生的学习情况，从实际生活和实际学情出发，不断改进教学方法，让学生在分析题目时能抓住其中的关键点，解题时懂得举一反三，采取一题多解的策略，多角度分析、思考问题，在获得知识的同时也能够拓展思维，为今后更好地学习数学知识打下良好的基础。

蔡振华.探讨小学高年级数学应用题的有效教學策略[J].考试周刊，2020（93）：55-56.

作者简介：徐业萍（1989.5-），女，江苏南京人，任教于江苏省南京市溧水区石湫中心小学，二级教师，曾荣获南京市溧水区“优秀辅导员”称号。

2021年普通高等学校招生全国统一考试

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）

4.设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是（ ）

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（ ）

8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

10.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（ ）.

11.设B是椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（ ）.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为           （写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22

（2）    判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果-≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。

己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1.

（1）写出C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点F（4,1）作C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学乙卷（参考答案）

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

17.解：（1）各项所求值如下所示

显然-＜2，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于=（-，0，1），则

令x=，得m=（，1，2）。

设平面PMB的一个法向量为n=（xt，yt，zt），则

故｛bn｝是以为首项，为公差的等差数列。

所以f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0,得证。

21.解：（1）焦点到的最短距离为，所以p=2.

而.故当y0=-5时，达到最大，最大值为.

22. (1)因为C的圆心为(2,1)，半径为1.故C的参数方程为（为参数).

(2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.

第十章 检测试题 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.下列调查适合全面调查的是( B ) (A)了解市面上一次性筷子的卫生情况 (B)审查一本书中的错误 (C)了解全国迷恋网络游戏少年的视力情况 (D)了解一批刚出厂的节能灯的使用寿命情况 解析:A项、C项宜采用抽样调查,D项具有破坏性,宜用抽样调查,B项 宜采用全面调查. 2.100个数据组成的样本中,最大值与最小值的差为23厘米,下述分 组较合适的是( C ) (A)组内差距为1厘米,分成24个组 (B)组内差距为2厘米,分成11个组 (C)组内差距为3厘米,分成8个组 (D)组内差距为8厘米,分成23个组 解析:A组距太小,分组太多;B组距为2厘米,应该分为12组;D 组距 为8厘米,该分成3组,分组不对,故只有C分组合适. 3.列一组数据的频数分布表时,落在各个小组内的数据的个数叫做 ( B ) (A)组距 (B)频数 (C)样本 (D)样本容量 4.考察50 名学生的年龄,列频数分布表时,这些学生的年龄落在5 个 小组中,第一、二、三、五组的数据个数分别是2、8、15、5,则第四 组的频数是( A ) (A)20 (B)10 (C)15 (D)30 解析:第四组的频数为50-2-8-15-5=20.故选A. 5.如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和 扇形分布图(两图都不完整),则下列结论中错误的是( C ) (A)该班总人数为50 人 (B)骑车人数占总人数的20% (C)步行人数为30 人 (D)乘车人数是骑车人数的2.5 倍 解析:由直方图和扇形分布图可知,该班总人数为25÷50%=50,故选项 A 正确;骑车人数占总人数的10÷50=20%,故选项B 正确;步行人数为 50×30%=15,故选项C 错误;25÷10=2.5,故D 正确. 6.如图是某班40 名学生一分钟跳绳测试成绩(次数为整数)的频数分 布直方图,从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为1 ∶4 ∶3 ∶ 2,那么该班一分钟跳绳次数在100 次以上的学生有( D ) (A)6人 (B)8人 (C)16人 (D)20人 解析:设左起第一个小正方形高为x, 根据题意的x+4x+3x+2x=40, 解得x=4, 所以3x=12,2x=8, 即12+8=20. 7.(2013 广州)为了解中学生获取资讯的主要渠道,设置“A:报纸,B: 电视,C:网络,D:身边的人,E:其他”五个选项(五项中必选且只能选一 项)的调查问卷,先随机抽取50 名中学生进行该问卷调查,根据调查 的结果绘制条形图如图所示,该调查的方式及图中的a 的值分别是 ( D ) (A)全面调查,26 (B)全面调查,24 (C)抽样调查,26 (D)抽样调查,24 解析:随机抽取50 名中学生进行问卷调查是抽样调 查,a=50-6-10-6-4=24. 8.钢铁及新材料、轿车等机械制造、烟草及食品、光电子信息、石化、 环保等十大行业的快速发展,带动了国民经济的快速增长.据统计,规 模居前的6 个行业第一季度的生产规模占这十大行业同期生产总规 模的百分比依次是27%、18%、16%、10%、9%、6.25%(如图),已知环 保第一季度的生产规模约27 亿元,则此次统计中第一季度十大行业 生产总规模及其中规模超过40 亿元的行业个数分别为( B ) (A)约432 亿元,3 (B)约432 亿元,4 (C)约372.6 亿元,3 (D)约372.6 亿元,4 个数据进行整理的频数分布表中各组频数之和是 100 . 10.为了了解甲型H1N1流感的性质,疾控中心的医务人员对某地区的 感染人群进行检测,任意