一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A的特征值与全部特征向量；

（3）求正交变换X?PY化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。 八、证明题：(每小题5分，共10分)

2、某矿产公司所属的三个采矿厂a1,a2,a3，在2011年所生产的四种矿石

b1,b2,b3,b4,b5的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：

一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设A,B为n阶方阵，则A?B?A?B；

（ ） 2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E； （ ） 3、设矩阵A的秩为r，则A中所有r?1阶子式必不是零； （ ） 4、 若x??1,x??2是非齐次线性方程组Ax?b的解，则x??1??2 也是该方程组的解.

（ ） 5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。 二、 填空题（每小题2分，共16分）

?1?123?6、设齐次线性方程组AX?0的系数矩阵通过初等行变换化为?010?2?，则

8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。

三、计算题（每小题8分，共16分）

四、 计算题（每小题8分，共16分）

(1) 写出此二次型对应的矩阵A;

(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。 五、 计算题（每小题10分，共20分）

23??34??求：（1）矩阵A秩；（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。．

六、（12分）设矩阵A??0?11???002???(1) 求矩阵A的特征值和全部的特征向量；

(2) 求可逆矩阵P，使得P?1AP??（其中?是对角矩阵），并写出对角矩阵?。 七、（5分）证明题

设方阵A满足A2?A?E?O，证明：A可逆并求它的逆矩阵。

假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：

（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

2、设A为m?n(m?n)矩阵，则Ax?b有无穷多解。 （ ） 3、向量组A1是向量组A的一部分，向量组A1线性无关，则向量组A一定线性相关； （ ） 4、设?1,?2是方阵A的特征值，则?1??2也是方阵A的特征值。

（ ） 5、4个3维向量一定线性相关。 （ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)

5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为

6、二次型f??2x2?4xy?6y2?4z2?4xz的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。

7、方阵A的特征值为?，方阵B?A2?2A?3E，则B的特征值为 。 三、计算：(每小题8分，共16分)

?111???2、已知A??121?，试判断A是否可逆。若可逆，求A?1，若不可逆，求A的

四、计算：(每小题10分，共20分)

六、综合计算：（本题14分）

（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A的特征值与全部特征向量；

（3）求正交矩阵P，使P?1AP为对角形矩阵。 （4）求正交变换X?PY化二次型为标准形 （5）写出标准形

七、证明题：(每小题5分，共10分)

1、设?0是非齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?2,?3是对应的齐次线性方程组

2、某石油公司所属的三个炼油厂a1,a2,a3，在2010年所生产的四种油品b1,b2,b3,b4 的数量（单位：吨）及各种油品的单位价格（元/吨）如下表：

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、设A,B均为n阶方阵,则若A或B可逆,则AB必可逆. （ ）

4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价. （ ） 5、设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，p1,p2是对应的特征向量，则p1与p2正交. （ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)

3、m个n维向量构成的向量组a1,a2,?,am线性相关的充分必要条件是矩阵

4、若n元非齐次线性方程组Am?nx?b有解且R(A)?r，则当 时，方程组有无穷多解.

?1?56?2???10、已知??2是A特征值，且A可逆，则 是A?1的特征值. 三、计算：(每小题8分，共16分)

001?k1?k??2?00(1?k)k1?k?讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解

时求出该方程组的通解. 七、（本题14分）设二次型

（1）求二次型的矩阵A；

（2）求矩阵A的特征值及全部特征向量； （3）判断矩阵A是否可以对角化； （4）判断它是否为正定二次型. 八、综合题：(每小题5分，共10分)

2、应用题：已知某公司生产两种产品B,C，对每美元价值的产品B，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用，对每美元价值的产品C，公司需耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设公司希望生产x1美元产品B和x2美元产品C，试给出描述两种产品的“单位美元产出成本”向量和该公司花费的各部分成本（材料，劳动，管理费用）的向量。

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