考研数学之线性代数解题技巧

　　线性代数这门学科在考研数学中占有重要的地位，它和高数与概率统计相比，有其自身的特点，而我们同学们在学习这门课时应该要注重对知识点的总结归纳。线性代数还是以计算题为主，证明题为辅，因此，这要求我们必须注重计算能力的培养及提高。现在的考研趋势是越来越注重基础，淡化技巧。下文中，考研名师吴老师就为考生总结了线性代数的解题技巧。

　　关于行列式这一块，它在整个考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这一块是考研数学中必考内容，它不单单考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也是很多的，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、方阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。因此，对于行列式的计算方法我们一定要熟练掌握。

　　关于矩阵这一块：矩阵是线性代数的核心知识，它是后面其他各章节的基础，在向量组、线性方程组、特征值、二次型中均有体现。矩阵的概念、运算及理论贯穿整个线性代数的知识部分。这部分的考点涉及到伴随矩、逆矩阵、初等矩阵、矩阵的秩以及矩阵方程，这些内容是有关矩阵知识中的一类常见的试题。

　　关于向量这部分：它既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多考生对这一块比较陌生，进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。这一部分主要是要掌握两类题型：一是关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题，二是关于一组向量的线性相关性的问题。而这两类题型我们一般是与非齐次方程组和齐次方程组一一对应来求解的。

　　关于线性方程组这一块;线性方程组在近些年出现的频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。所以对于线性方程组这一部分的内容，同学们一定要掌握。其常见的题型如下：(1)线性方程组的求解 (2)方程组解向量的`判别及解的性质(3)齐次线性方程组的基础解系(4)非齐次线性方程组的通解结构(5)两个方程组的公共解、同解问题。

　　五、特征值、特征向量

　　关于特征值、特征向量这一块：它也是线性代数的重点内容，在我们考研数学中一般都是题多分值大。因此我们要牢牢掌握这章节的内容，其常见题型如下：(1)数值矩阵的特征值和特征向量的求法 (2)抽象矩阵特征值和特征向量的求法(3)判定矩阵的相似对角化 (4)由特征值或特征向量反求A (5)有关实对称矩阵的问题。

　　关于二次型这一块：二次型是与其二次型的矩阵对应的，因此有关二次型的很多问题我们都可以转化为二次型的矩阵问题，所以正确写出二次型的矩阵是这一章节最基础的要求。而本章节的常见题型如下：(1)二次型表成矩阵形式 (2)化二次型为标准形 (3)二次型正定性的判别。

　　线性代数部分的知识点比较琐碎，但是整体不难，希望同学们认真学习。

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　　2016年考研已经落下帷幕，想必大家一定会有很多收获和感慨，这个时候同学们就会比较关心自己的成绩，也都非常希望了解今年数学试卷整体的概况，跨考教育数学教研室赵睿老师现就今年考研数学线性代数部分的考点及解题思路作如下的分析。

　　考研数学中，线性代数课程特点比较鲜明：概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。2016年的考题比2015年的考题难度大很多，也有一定的计算量;考试的内容没有发生任何变化，原因是大纲上没有发生变化，完全一致。下面从线性代数的六章内容分析一下今年线性代数部分的考点。

　　第一章行列式部分，从历年考试情况来看，抽象行列式的计算是一个重要的考点。今年数学二、数学三就考了一个抽象行列式计算的填空题，其中涉及到的知识点有：特征值乘积等于行列式，矩阵的函数对应的特征值就是对特征值做相同的变化。这道题只要找到所求矩阵特征值和已知矩阵特征值之间的关系，相对来说就 比较简单了。

　　第二章矩阵部分，从历年考试情况来看，伴随矩阵、矩阵的秩、初等变换和初等矩阵、可逆矩阵、分块矩阵等这些内容是考试的重点内容。今年数学考了矩阵求逆以及矩阵方程求解的问题。其实，矩阵的这部分这个知识点基本上每年都会有所涉及，大家要引起足够的重视。

　　第三章向量部分，从历年考试情况来看，线性相(无)关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间(数一)等内容是考试经常会涉及到的内容。今年这部分内容中没有涉及到。

　　第四章方程组部分，从历年考试情况来看，齐次(非齐次)线性方程组的求解及解的判定，解的结构、公共解、通解等是考试的重点内容。今年和09年都考了非齐次线性方程组的求解，但是这部分内容中，具体的求解是比较简单的，难的部分就是抽象方程组的求解，这样的题型涉及到解的结构，并且需要认真的分析才能够很好的解决问题。

　　第五章特征值、特征向量部分，从历年考试情况来看，特征值、特征向量的求解以及性质、矩阵的可相似对角化及可相似对角化的条件、实对称矩阵的相似对角化及一些相应的性质等是考试中涉及频率较高的考点。今年涉及到这部分的题目有：数一、数二、数三都涉及到的一道大题，已知矩阵相似反求特征值，再根据特征值求出特征向量，这样就求出可逆矩阵可把另一个矩阵对角化。

　　第六章二次型部分，从历年考试情况来看，将二次型化为标准形、判断二次型的正定等是主要考察的知识点。今年只考了一个二次型在正交变换下化为标准形的逆问题，已知标准型写出相似对角矩阵，然后根据初等矩阵的性质，去求另一种变化下的相似矩阵。

　　根据上面对今年试题的分析，对于2017的考生来说，线性代数部分的复习要重视基础，基本概念、基本性质和基本方法这也一直是考研数学的重点，线性代数更是如此。对于基本概念、基本性质和基本方法要在理解的基础之上进行记忆，多做一些基本题来巩固基本知识。线性代数的内容不多，但基本概念和性质较多，注重分析概念和方法之间的联系和区别。