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本发明涉及一种基于excel求解邓肯-张双曲线模型中参数的方法，属于岩土工程技术领域。

三轴压缩试验是测定土体抗剪强度的一种方法，通常用3～4个土样，分别在不同的围压下施加轴向压力，进行剪切直至破坏。1963年，康纳根据大量的三轴压缩试验的试验结果，提出了土的应力应变之间呈双曲线关系，即

式中：σ1—轴向主应力

σ1-σ3—主应力差；

邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被广泛应用的增量弹性模型，一般被称为邓肯-张双曲线模型。

以下就单个试样叙述邓肯-张双曲线模型中八个模型参数的理论求解过程：

(1)切线变形模量中参数的求解过程

在三轴压缩试验中，式(1)可以表示为

可以发现与ε1近似成线性关系，其中a为直线的截距，d为直线的斜率，参见图1。

在三轴压缩试验中，由于围压恒定，所以切线变形模量为

在试验的起始点，ε1＝0，et＝ei，则

表明a是起始变形模量ei的倒数。在式(1)中，如果ε1→∞，则

即d代表极限主应力差(σ1-σ3)ult的倒数。

由a和d即可求得起始变形模量和主应力差的渐近值。按下式计算破坏比：

绘出起始变形模量比大气压取对数值lg(ei/pa)与围压比大气压取对数值lg(σ3/pa)关系图，可以发现二者近似呈直线关系，参见图2。可得起始变形模量与固结压力有以下关系：

k，n分别为lg(ei/pa)与lg(σ3/pa)直线的截距和斜率。根据莫尔-库伦强度准则：

其中c和f分别是单个试样莫尔破坏包线的截距和倾角。

由以上各公式组合变换，可得切线变形模量：

由以上求解过程，可得切线变形模量公式中的5个模型参数：k、n、c、f和rf。

(2)切线泊松比中参数的求解过程

邓肯等人根据试验资料，假定常规三轴压缩试验中轴向应变ε1与侧向应变-ε3之间也存在双曲线关系，参见图3(b)，即

从式(10)可以看出，与-e3关系近似为直线关系，从而可以确定截距f和斜率d，参见图3(a)，f＝vi，vi即为初始泊松比。

试验表明土的初始泊松比vi与围压σ3有关，将它们画在对数坐标中，可假设是一条直线，参见图3(c)，即

g和f分别为vi-lg(σ3/pa)关系直线中截距和vi的极差。

由式(4)、式(11)、式(12)以及其变换公式，可得：

至此，已求出邓肯-张双曲线模型中8个参数：模型参数k、模型参数n、黏聚力(c)、内摩擦角(f)、破坏比rf、模型参数g、模型参数f和模型参数d。

由上述求解过程可以看出，三轴压缩试验数据处理时，手工计算及绘图工作量大，需要做大量的重复性工作，且作图法亦引入一些人为误差。也有学者做了三轴压缩试验数据处理的excel电子表格，但若干个莫尔应力圆的强度包线采用绘制一条直线，用鼠标调整该直线的两端点使其与图中各莫尔应力圆尽量相切，这种方法人为影响因素大，准确度较低，且效率不高。

本发明的目的是提供一种基于excel求解邓肯-张双曲线模型中参数的方法，利用excel的函数计算功能自动求解邓肯-张双曲线模型中各参数，利用excel的“规划求解”功能简单准确地计算三轴压缩试验的抗剪强度指标，并利用其绘图功能自动绘制若干个莫尔应力圆及强度包线，实现了操作在可视化界面上进行，操作简单、计算结果准确、自动绘图、图形美观。

为了实现上述目的，本发明提供一种基于excel求解邓肯-张双曲线模型中参数的方法，包括如下步骤：

(1)将三轴压缩试验原始数据导入到excel工作表中；

(2)利用excel对四种围压下三轴压缩试验原始数据进行处理，

得到四种围压下三轴压缩试验最基本指标；

(3)利用excel计算公式对四种围压下三轴压缩试验最基本指标

进行计算得到四种围压下三轴压缩试验初始指标；

(4)利用excel计算公式对四种围压下三轴压缩试验最基本指标

和四种围压下破坏主应力差进行计算，得到部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数；

(5)利用excel计算公式对四种围压下三轴压缩试验最基本指标

进行计算，得到四种围压下莫尔应力圆参数；

(6)利用四种围压下莫尔应力圆参数编辑目标函数表达式，利用excel软件规划求解功能求解出目标函数中k、b两个变量，利用k、b两个变量求解出三轴压缩试验抗剪强度指标；

(7)利用excel计算公式对步骤4)中部分邓肯-张双曲线模型的

第一部分辅助参数进行计算，得到邓肯-张双曲线模型的第二部分辅助参数；

(8)利用excel计算公式对邓肯-张双曲线模型的第二部分辅助参

数进行计算，再加上步骤6)中计算得到的三轴压缩试验抗剪强度指标，求得全部邓肯-张双曲线模型的模型参数；

(9)利用excel计算公式对步骤5)中四种围压下莫尔应力圆参数

进行处理得到四种围压一系列莫尔应力圆坐标点，选中四种围压一系列莫尔应力圆坐标点，利用excel绘图功能在同一图上自动绘出四种围压莫尔应力圆；

(10)结合步骤(5)中四种围压下莫尔应力圆参数和步骤(6)中三轴压缩试验抗剪强度指标，利用excel计算公式进行处理得到一系列强度包线坐标点，选中一系列强度包线坐标点，利用excel绘图功能在步骤(9)图上自动绘出强度包线。

进一步地，步骤(2)所述的四种围压下三轴压缩试验最基本指标包括：主应力差、轴向应变和侧向应变。

进一步地，步骤(3)所述四种围压下三轴压缩试验初始指标包括：轴向应变与主应力差之比和侧向应变与轴向应变之比。

进一步地，步骤(4)所述部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数包括：模型参数d、轴向应变与主应力差之比-轴向应变直线的截距(a)、轴向应变与主应力差之比-轴向应变直线的斜率(d)、初始泊松比、辅助参数a、辅助参数b和破坏主应力差。

进一步地，步骤(5)所述四种围压下莫尔应力圆参数包括：轴向主应力、莫尔应力圆圆心坐标和莫尔应力圆半径。

进一步地，步骤(6)所述三轴压缩试验抗剪强度指标包括：内摩擦角和黏聚力。

进一步地，步骤(7)所述全部邓肯-张双曲线模型的第二部分辅助参数包括：起始变形模量、极限主应力差、起始变形模量比大气压取对数值和围压比大气压取对数值。

进一步地，步骤(8)所述全部邓肯-张双曲线模型的模型参数包括：模型参数d、内摩擦角、黏聚力、破坏比、模型参数k、模型参数n、模型参数g和模型参数f。

进一步地，步骤(3)所述四种围压下三轴压缩试验初始指标的计算公式如下：

轴向应变与主应力差之比＝轴向应变/主应力差；

侧向应变与轴向应变之比＝侧向应变/轴向应变。

进一步地，步骤(4)所述部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数的计算公式如下：

模型参数d＝slope(n个侧向应变与轴向应变之比，n个侧向应变)；

轴向应变与主应力差之比-轴向应变直线的截距(a)＝intercept(n个轴向应变与主应力差之比，n个轴向应变)；

轴向应变与主应力差之比-轴向应变直线的斜率(d)＝slope(n个轴向应变与主应力差之比，n个轴向应变)；

初始泊松比＝ntercept(n个侧向应变与轴向应变之比，n个侧向应变)；

辅助参数a＝lookup(15，n个轴向应变,n个主应力差)；

辅助参数b＝max(n个主应力差)；

破坏主应力差＝if(辅助参数a<＝辅助参数b,辅助参数b)。

进一步地，步骤(5)所述四种围压下莫尔应力圆参数的计算公式如下：

轴向主应力＝破坏主应力差+围压；

莫尔应力圆圆心坐标＝(轴向主应力+围压)/2；

进一步地，步骤(6)所述规划求解目标函数中k、b两个变量的计算过程如下：

在目标函数单元格输入：

在excel软件“工具”栏下拉菜单中找到“规划求解”，或“加载宏”将“规划求解”加载进来；单击“规划求解”，出现“规划求解参数”对话框；设置目标单元格，在“等于”选项中选“最小值”，输入可变单元格，在“约束”中单击“添加”后，逐个输入k、b大于零的约束条件公式，最后按“确定”；

单击“求解”后，会出现“规划求解结果”对话框，并提示求解的结果，单击“确定”，将最接近规划求解结果信息填充到工作表中的目标单元格和可变单元格，完成规划求解结果的保存；在可变单元格中输出k、b值。

进一步地，步骤(6)所述三轴压缩试验抗剪强度指标的计算公式如下：

进一步地，步骤(7)所述邓肯-张双曲线模型的第二部分辅助参数的计算公式如下：

起始变形模量＝1/a；

极限主应力差＝1/d；

起始变形模量比大气压取对数值＝log10(起始变形模量/101)；

围压比大气压取对数值＝log10(围压/101)。

进一步地，步骤(8)所述全部邓肯-张双曲线模型的模型参数的计算公式如下：

破坏比＝破坏主应力差/极限主应力差；

模型参数k＝10^(intercept(4个起始变形模量比大气压取对数值，4个围压比大气压取对数值))；

模型参数n＝slope(4个起始变形模量比大气压取对数值，4个围压比大气压取对数值)；

模型参数g＝intercept(4个初始泊松比，4个围压比大气压取对数值)；模型参数f＝－slope(4个初始泊松比，4个围压比大气压取对数值)。

进一步地，步骤(9)所述在同一图上绘出四种围压下莫尔应力圆过程如下：

首先在围压一下，在第一列两个单元格分别录入角度值0、5然后选定0、5数字应用拖动复制功能直至反黑的单元格内数字为180为止；在另两列单元格第一行处与第一列对齐分别输入：

然后选定上两列单元格应用鼠标拖动复制功能直至列数据的末端，在excel软件“插入”选项栏的“图标类型”中选择选择“xy散点图”，在“子图表类型”中选择“无数据点平滑线散点图”，绘出光滑圆顺的莫尔应力圆；

按照绘制围压一下莫尔应力圆的方法在同一图中绘制剩余围压下莫尔应力圆，从而绘制出四种围压下莫尔应力圆。

进一步地，步骤(10)所述在步骤(9)图上绘出强度包线的过程如下：

在第一个单元格中输入“0”，在第一个单元格下方输入：＝3*围压4下半径/4+围压4下圆心坐标；

在第二行第一单元格中输入：

选定第二行第一单元格应用鼠标拖动复制功能下拉一列，选定上述四个单元格数据区域，在excel软件“插入”选项栏的“图标类型”中选择选择“xy散点图”，在“子图表类型”中选择“无数据点折线散点图”，即可在步骤(9)图上绘出强度包线。

本发明利用excel的函数计算功能自动求解邓肯-张双曲线模型中各参数，尤其是利用excel的“规划求解”功能，简单准确地计算三轴压缩试验的抗剪强度指标，并利用其绘图功能自动绘制若干个莫尔应力圆及强度包线，实现了操作在可视化界面上进行，操作简单、计算结果准确、自动绘图、图形美观。同时，本发明可作为一个应用程序保存下来，可以反复使用，避免了繁琐的计算绘图处理，节约大量时间，提高了工作效率，实用性强，可以普遍应用于试验教学及科研中。本发明利用excel软件的函数计算、规划求解和绘图功能，求解邓肯-张双曲线模型中模型参数和三轴压缩试验抗剪强度指标，并实现自动绘图，绘制出在同一图中绘制四种围压下莫尔应力圆及强度包线，操作简便、计算结果准确、实用性强。

附图是用来提供对本发明实施例的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与下面的具体实施方式一起用于解释本发明实施例，但并不构成对本发明实施例的限制。

图1为邓肯-张双曲线模型中土的应力应变关系曲线示意图；

图3为邓肯-张双曲线模型中与切线泊松比有关的模型参数示意图；

图4为利用excel规划求解三轴压缩试验抗剪强度指标的方法原理示意图；

图5为在围压一下三轴压缩试验最基本及初始指标、部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数的计算示意图；

图6为在围压二下三轴压缩试验最基本及初始指标、部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数的计算示意图；

图7为在围压三下三轴压缩试验最基本及初始指标、部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数的计算示意图；

图8为在围压四下三轴压缩试验最基本及初始指标、部分邓肯-张双曲线模型的模型参数及第一部分辅助参数的计算示意图；

图9为四种围压下莫尔应力圆参数的计算示意图；

图10为利用excel软件规划求解三轴压缩试验抗剪强度指标的计算示意图；

图11为利用excel软件规划求解三轴压缩试验抗剪强度指标的计算示意图；

图12为利用excel软件规划求解三轴压缩试验抗剪强度指标的计算示意图；

图13为邓肯-张双曲线模型的第二部分辅助参数和全部邓肯-张双曲线模型的模型参数的计算示意图；

图14为利用excel软件的自动绘图功能在同一图中绘制四种围压下莫尔应力圆及其强度包线的方法示意图。

以下结合附图对本发明实施例的具体实施方式进行详细说明。应当理解的是，此处所描述的具体实施方式仅用于说明和解释本发明实施例，并不用于限制本发明实施例。

下面介绍利用excel规划求解三轴压缩试验抗剪强度指标的方法原理，参见图4：

绘制各莫尔应力圆的强度包线时，由于土样的不均匀性、人为误差及设备误差等原因，往往强度包线不能与所有莫尔应力圆相切，总是存在一些偏差。根据运筹学中规划求解理论，求解偏差的平方和的最小值，可以确定莫尔应力圆的强度包线，从而求解出三轴压缩试验抗剪强度指标。下面建立目标函数，确定约束条件将决策变量用数学公式表达出来，使需要优化的目标量化为这组变量的函数。

首先，任意一个莫尔应力圆圆心oi(xi，0)到直线y＝kx+b的距离为：

以4种不同围压绘制出4个莫尔应力圆，它们的圆心坐标为分别为o1(x1，0)、o2(x2，0)、o3(x3，0)、o4(x4，0)，半径分别为r1、r2、r3、r4，4个圆心到直线的距离分别为d1、d2、d3、d4，可以得出4个偏差d1－r1、d2－r2、d3－r3、d4－r4，它们的平方和表达式为：

上式有k、b两个变量，实际为非线性规划问题，求解目标函数的最小值，数学模型可写成：

在三轴压缩试验中，因为土的抗剪强度参数c、值为非负，所以约束条件为：k≥0，b≥0。

一种基于excel软件求解邓肯-张双曲线模型中模型参数和三轴压缩试验抗剪强度指标的计算方法包括如下步骤：

结合图5，在“围压一”工作表中进行如下步骤：

第一步，新建excel文件，导入初始数据。具体来说分别在a至d列导入轴向位移、钢环变形、孔隙压力和体积变化四项原始数据，每项数据从第6行依次导入至第61行。利用excel软件对四种围压下三轴压缩试验原始数据进行处理，得到围压一下三轴压缩试验最基本指标即主应力差、轴向应变和侧向应变，分别位于g、e和h列，且均位于第6行至第61行。

第二步，在i6单元格输入0，在i7单元格插入函数＝e7/g7，然后选定i7单元格应用鼠标拖动复制功能直至i61，求得围压一下全部轴向应变与主应力差之比；

第三步，在j6单元格输入0，在j7单元格插入函数＝h7/e7，然后选定j7单元格应用鼠标拖动复制功能直至j61，求得围压一下全部侧向应变与轴向应变之比；

第四步，在l9单元格插入函数＝slope(i6:i61,e6:e61)，求得围压一下轴向应变与主应力差之比-轴向应变直线的斜率(d)；

第五步，在l10单元格插入函数＝intercept(i6:i61,e6:e61)/100，求得围压一下轴向应变与主应力差之比-轴向应变直线的截距(a)；

第六步，在l11单元格插入函数＝slope(j6:j61,h6:h61)，求得围压一下模型参数d；

第十步，在l15单元格插入函数＝if(l13<＝l14,l14)，求得围压一下破坏主应力差；

结合图6至图8，进行如下步骤：

第十一步，在“围压二”、“围压三”和“围压四”工作表中分别重复第一步至第十步的操作，求得各围压下第一步至第十步中的各指标和参数；

结合图9，在“三轴压缩试验抗剪强度指标”工作表中进行如下步骤：

第十二步，在工作表中输入四种围压，依次位于a3至a6。输入四种围压对应的破坏主应力差，依次位于b3至b6。

第十三步，在c3单元格插入函数＝b3+a3，然后选定c3单元格应用鼠标拖动复制功能直至c6，求得四种围压轴下轴向主应力；

第十四步，在d3单元格插入函数＝(a3+c3)/2，然后选定d3单元格应用鼠标拖动复制功能直至d6，求得四种围压轴下莫尔应力圆圆心坐标；

第十五步，在e3单元格插入函数＝(c3-a3)/2，然后选定e3单元格应用鼠标拖动复制功能直至e6，求得四种围压轴下莫尔应力圆半径；

结合图10，在“三轴压缩试验抗剪强度指标”工作表中进行如下步骤：

第十七步，在excel软件“工具”栏下拉菜单中找到“规划求解”，或“加载宏”将“规划求解”加载进来。单击“规划求解”，出现“规划求解参数”对话框。设置目标单元格：$h$3，在“等于”选项中选“最小值”，在“可变单元格”中输入$f$3：$g$3，在“约束”中单击“添加”后，输入$f$3>＝0，$g$3>＝0的约束条件公式，最后按“求解”。

结合图11至图12，在“三轴压缩试验抗剪强度指标”工作表中进行如下步骤：

第十八步，上一步单击“求解”后，会出现“规划求解结果”对话框，并提示求解的结果，单击“确定”，可以将最接近规划的目标函数求解结果填充到工作表中的$h$3单元格，完成规划求解结果的保存，并在$f$3和$g$3单元格中输出k、b值。

第十九步，在c8单元格插入函数＝atan(f3)*180/pi()，求得内摩擦角；

第二十步，在c9单元格插入函数＝g3，求得黏聚力；

结合图13，在“邓肯-张双曲线模型中模型参数”工作表中进行如下步骤：

第二十一步，在f2单元格插入函数＝1/b2，然后选定f2单元格应用鼠标拖动复制功能直至f5，求得四种围压轴下起始变形模量；

第二十二步，在g2单元格插入函数＝1/c2，然后选定g2单元格应用鼠标拖动复制功能直至g5，求得四种围压轴下极限主应力差；

第二十三步，在j2单元格插入函数＝log10(f2/101)，然后选定j2单元格应用鼠标拖动复制功能直至j5，求得四种围压轴下起始变形模量比大气压取对数值；

第二十四步，在k2单元格插入函数＝log10(a2/101)，然后选定j2单元格应用鼠标拖动复制功能直至j5，求得四种围压轴下围压比大气压取对数值；

第二十五步，在a8单元格插入函数＝average(i2:i5)，求得破坏比；

第二十七步，在d8单元格插入函数＝slope(j2:j5,k2:k5)，求得模型参数n；

第二十九步，在f8单元格插入函数＝-slope(d2:d5,k2:k5)，求得模型参数f；

结合图14，在“三轴压缩试验抗剪强度指标”工作表中进行如下步骤：

第三十一步，选定b12、c12单元格应用鼠标拖动复制功能直至b48、c48单元格，求得围压一下莫尔应力圆坐标；

第三十二步，选定b12至b48、c12至c48单元格数据区域，在excel软件“插入”选项栏的“图标类型”中选择选择“xy散点图”，在“子图表类型”中选择“无数据点平滑线散点图”，即可绘出光滑圆顺的围压一下的莫尔应力圆。

第三十三步，重复第三十步至第三十二步的操作，在同一图中绘制出围压二、围压三和围压四下莫尔应力圆。

第三十四步，在j11单元格中输入“0”，在j12单元格插入函数＝d6+3/4*e6。在k11单元格插入函数＝$f$3*j11+$g$3，选定k11单元格应用鼠标拖动复制功能下拉至k12单元格；

第三十五步，选定j11至j12、k11至k12单元格数据区域，在“图标类型”中选择选择“xy散点图”，在“子图表类型”中选择“无数据点折线散点图”，第三十三步所述图中绘出强度包线。

最后，本申请的方法仅为较佳的实施方案，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

以上结合附图详细描述了本发明实施例的可选实施方式，但是，本发明实施例并不限于上述实施方式中的具体细节，在本发明实施例的技术构思范围内，可以对本发明实施例的技术方案进行多种简单变型，这些简单变型均属于本发明实施例的保护范围。

另外需要说明的是，在上述具体实施方式中所描述的各个具体技术特征，在不矛盾的情况下，可以通过任何合适的方式进行组合。为了避免不必要的重复，本发明实施例对各种可能的组合方式不再另行说明。

此外，本发明实施例的各种不同的实施方式之间也可以进行任意组合，只要其不违背本发明实施例的思想，其同样应当视为本发明实施例所公开的内容。