§2.1 数怎么又不够用了(一)

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.

(三)情感与价值观目标:

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

一、创设问题情境,引入新课

［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.

［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

［生乙］因为 ，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.

［师］在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.

［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

(一)课本P35随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.

为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？

解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.

1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.

2.能判断一个数是否为有理数.

五、课后作业：见作业本。

§2.1 数怎么又不够用了(二)

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.

2.会判断一个数是有理数还是无理数.

1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.

2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.

(三)情感与价值观目标：

1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.

2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.

1.无理数概念的探索过程.

2.用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

1.无理数概念的建立及估算.

2.用所学定义正确判断所给数的属性.

一、创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.

1.导入：［师］请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.

［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.

［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？

［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.

［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.

［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.

［生］我的探索过程如下.

［师］还可以继续下去吗？

［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？

［生］a=1.…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.

［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)

［生］b=2.…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.

［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.

［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.

请大家把下列各数表示成小数.

3，，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.

［生］3， 是有限小数， 是无限循环小数.

［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

像上面研究过的a2=2,b2=5中的a，b是无限不循环小数.

除上面的a，b外，圆周率π=3.…也是一个无限不循环小数，0.…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.

3.有理数与无理数的主要区别

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.

(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3.14，－， ，0.…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).

解：有理数有3.14，－ ， . 无理数有0.….

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

解：有理数有0.4583， ，－ ，18. 无理数有－π.

(1)有理数与无理数的差都是有理数.

(2)无限小数都是无理数.

(3)无理数都是无限小数.

(4)两个无理数的和不一定是无理数.

解：(1)错.例π－1是无理数.

(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.

(4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0.

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

［生］有理数集合填0， ，－3.

无理数集合填－π，－ π，0.….

本节课我们学习了以下内容.

1.用计算器进行无理数的估算.

3.判断一个数是无理数或有理数.

五、课后作业：见作业本。

1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。

2、会求一个正数的算术平方根。

3、了解算术平方根的性质。

教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。

教学难点：算术平方根的概念、性质。

1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正方形的边长究竟是多少？

（1）完成课本P32的填空：

（2）a，b，c，d，e，f中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？

集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。

算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么，这个正数 就叫做 的算术平方根。记为：“ ”读做根号 。特别地，0的算术平方根是0。

这样的话，一个非负数的算术平方根就可以表示为 。

例1 分别写出下列各数的算术平方根

（要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）

例2自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？

学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。

师生互动：完成引例中的 ，则 ，以后我们可以利用计算器求出这个数的近似值。

三、随堂练习：P39 1

①算术平方根的定义、表示；

转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。

1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。

2、会求一个正数的平方根。

3、了解平方根和算术平方根的性质。

4、了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方根。

教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。

教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。

1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。

2、9的算术平方根是 ，3的平方是 ，

还有其他的数的平方是9吗？

平方等于 的数有几个？平方等于0.64的数呢？

学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。

一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么，这个数 就叫做 的平方根。也叫做二次方根。

3和—3的平方都是9，即9的平方根有两个3和—3；9的算术平方根只有—个，是3。

求出下列各数的平方根。

（1）一个正数的有几个平方根？

（2）0有几个平方根？

一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

正数的两个平方根有什么关系吗？

一个正数 有两个平方根，一个是的算术平方根，“ ”，另一个是“ ”，它们互为相反数。这两个平方根合起来，可以记做“ ”，读作“正、负根号”。

开平方：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方。其中叫做被开方数。（已知指数和幂，求底数的运算是开方运算）

开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。

例1 求下列各数的平方根：

五、随堂练习：P36 1、2

通过例2，要学生进一步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。

师生互动，讨论交流得出：≥0）

1. 平方根的定义、表示方法、求法、性质。平方根和算术平方根的区别和联系。

2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。

1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；

2.理解开立方的概念；

3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别.

重点：立方根的概念及求法.

难点：立方根与平方根的区别.

一、复习：请同学回答下列问题：

(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平方根?

(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?

(3)当a≥0时，式子a，－a，±a，的意义各是什么?

答：(1)如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的平方根，表示为x=±a.

(2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0.

(3)a≥0，a表示a的算术平方根，－a表示a的负平方根，±a表示a的平方根.

指出：上面各题是已知底数和乘方指数求三次幂的运算，也叫乘方运算.

怎样求下列括号内的数?各题中已知什么?求什么?

答：已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”.

一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果=a，那么x叫做a的立方根.数a的立方根用符号“ ”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数.(注意：根指数3不能省略).

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.

例1 求下列各数的立方根：

分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求.

问：除2以外，还有什么数的立方等于8?也就是说，正数8还有别的立方根吗?

答：除2以外，没有其它的数的立方等于8，也就是说，正数8的立方根只有一个.

(2)因为 =8，所以－8的立方根是－2即　 =－2

问：除－2以外，还有什么数的立方等于8?，也就是说，负数－8还有别的立方根吗?

答：除－2以外，没有其他的数的立方等于－8，也就是说，－8的立方根只有1个.

问：一个正数有几个立方根?一个负数有几个立方根?零的立方根是什么?

答：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍旧是零.

指出：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的.

例2 求下列各式的值：

(1)4的平方根是2；(2)8的立方根是2；

(2)下列判断中错误的是

A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数

B.一个数的两个平方根之积负数

C.一个数的立方根未必小于这个数

D.零的平方根等于零的立方根　　

3.求下列各数的立方根：

1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数a的立方根?a的取值范围是什么?

2.数的立方根与数的平方根有什么区别?

答：1.如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，用符号3a表示，a为任意数.

2.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方根；负数有一个负的立

3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求.

六、作业：见作业本。　　

1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.

1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识.

2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力.

1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.

2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.

掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.

同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？

“猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法.

问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.

(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？

(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)

提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么它们之间有怎样的联系呢？

（因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000米2，根据面积公式就能找到它们的关系式.可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：

在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.

下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答.

大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？

大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为下一步的估算作准备.由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题.

所以x应为400多，再继续估算，估计十位上的数字是几.

因为题目要求误差小于10米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园的宽x应为440米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤.

2.确定最高位上的数字(如百位).

3.确定下一位上的数字.(如十位)

4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位.

在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式.

因为102=100，，所以x应是两位数，又因为152=255，162=256，所以x就比15大比16小，应为15点几，所以应为15米.）

在题目中要求误差小于1，而不是精确到1，所以15米和16米都满足要求，即x应为15米或16米.

(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.

(2)你能估算的大小吗？(误差小于1).

（2）第2个错.因为10的立方是1000，900比1000小，所以900的立方根应比1000的立方根小，即小于10，所以估算错误.

（3）第3个错.因为60的平方是3600，而2536小于3600，所以 应比60小，所以估算错误.

第(2)小题请大家按总结的步骤进行.

因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.

(2)确定个位上数字.

因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.

［例1］（课本40页例1）

［例2］通过估算，比较 的大小

分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可.

［补例3］已知 的整数部分为a，小数部分为b.求 的值.

［补例4］已知 的整数部分和小数部分分别为，求 的值

(二)补充练习：比较与3.4的大小.

本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并能用估算来比较大小.

六.课后作业：习题2.6

§2.5 用计算器开方

1.会用计算器求平方根和立方根.

2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.

1.鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲.

2.鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法.

3.能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

(三)情感与价值观目标

让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力.

1.探索计算器的用法.

2.用计算器探求数学规律.

1.探索计算器的用法.

2.用计算器探求数学规律.

我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算. 比如23=8，2叫8的立方根，8叫2的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方.对于10以内数的立方，20以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方.

［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起.这样便于大家互相讨论问题.如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤熟悉一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家8分钟时间进行探索.

［师］好，时间到，大家的程序掌握了吗？

［师］现在根据自己掌握的程序计算 ， +1， －π，然后和书中的数据相对照，检查自己做的是否正确.

利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)：

［师］哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢？

［例题］利用计算器比较 和 的大小.

［师］请大家用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字)

［师］刚才我们练习了10个小题，对于求平方根或者立方根的程序已基本熟练，在此基础上，下面我们来做一个判断题，看看题中已经求出的立方根与平方根是否正确.

［生］(1)正确.因为题目没有要求结果保留几个有效数字，所以正确.

(2)正确.和上面的原因相同.

(1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随开方次数的增加，你发现了什么？

［师］请大家每人找一个很大的正数，不同的人的数字不要相同，按要求去做然后总结.

［生］我找的数是，一直进行开平方运算，运算的结果是越来越接近1.

［师］其他同学的情况怎样呢？

［生］(齐声答)也是这个结果.

［师］哪位同学能做一下总结？

［生］任何一个大于1的数，不管它有多大，一直进行开平方运算，结果越来越近1.

［师］这位同学的语言表达能力很棒，这就是规律，再看(2)题.

(2)改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有规律.

［生］和上面的结果一样.

［师］既然结果相同，能否把它们合起来总结一下规律是什么？

［生］任何一个正数，不管它是大于1的数，还是小于1的数，一直进行开平方运算，运算的结果越来越接近1.

［师］非常棒.大家能否把(1)、(2)中的开平方运算改成开立方运算进行探索呢？

［生］结果也是越来越趋近于1.

［师］请一位同学总结一下.

［生］任何一个正数，利用计算器进行开立方运算，对所得结果再进行开立方运算…随着开方次数的增加，结果是越来越接近1.

1.利用计算器，比较下列各组数的大小. (1) ； (2) .

2.用计算器求下列各式的值.

1.探索用计算器求平方根和立方根的步骤，并能熟练地进行操作.

2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.

Ⅴ.课后作业:习题2.5(作为测验试卷)

1.了解无理数及实数的意义，并用类比的方法引入实数的相关概念等；

2.了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一个实数的相反数和绝对值；

3.灵活运用开方的有关知识解决问题；体现从有理数运算到实数运算的自然过渡。

1. 无理数和实数的概念；

2. 对无理数相反数和绝对值的求法。

1.区分偶次方根和奇次方根；

2.对无理数的意义的理解。

求a的n次方根的运算，叫做把a开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。

2. 奇次方根和偶次方根

将一个数开奇次方时，求得的方根叫做奇次方根；

将一个非负数开偶次方时，求得的方根叫做偶次方根。

3. 开方：求一个数的方根的运算，叫做开方。

开n次方与n次乘方互为逆运算。

整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数。

无限不循环小数叫做无理数（即开不尽方的数）无理数不能表示成分数的形式。

任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地给予表示。

有理数和无理数统称为实数。

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每点又都可以表示一个实数。（一一对应）

如果a表示一个实数，－a叫a的相反数，0的相反数是0。

【典型例题】例1. 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是正实数？

1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.

1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.

2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.

(三)情感与价值观目标:

时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.

.并能用规律进行计算.

1.类比的学习方法. 2.发现规律的过程.

上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.

1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律.

（加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.）

下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了.

所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题.

2.做一做（书上48页）

请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.

通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.

如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？

［例题］化简：（书上49页例题）

2.一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，求这个直角三角形的面积.

答：这个三角形的面积为7.5cm2.

五.课后作业：习题2.9

下面的每个式子各等于什么数？

由此能得到一般的规律吗？对于一个实数a、 一定等于a吗？

2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.

1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.

2.让学生根据实例进行探索，互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.

(三)情感与价值观目标:

1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.

1.两个法则的逆运用.

2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.

灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.

请大家先回忆一下算术平方根的定义.

（若一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根.）

下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.

问：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.请同学们互相讨论后得出结果.

（由正方形面积公式得a2=8,b2=2.所以大正方形边长a= ，小正方形边长b= .）

问：那么a与b之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.

（大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以 =2 .）那么 根据什么法则就能化成2 呢？这就是本节课的任务.

请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？

请大家根据上面法则化简下列式子.

请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推

（.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.）

确实成立.下面再分析这些式子：

并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用式子表示出来？

.大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？

这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？

（是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成4，(6)中分母16，分子25移到外面变成4，5.）

也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子 叫不叫化简呢？（化简）

能否说一下它的特征呢？

如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？

（.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.）

上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？

一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则.

［例1］化简：（书上50页例2）

1.本章知识的网络结构.

(1)数怎么又不够用了，引出了无理数.(2)有理数与无理数的联系与区别.

(3)算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和平方根.

(4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根.(5)估算的方法.

(6)用计算器开方.(7)实数的定义，实数的运算法则和运算律.

1.熟练掌握本章的知识网络结构.

2.理解无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立方的定义.

3.理解有理数与无理数的区别与联系.4.开方运算和乘方运算有什么联系？

5.掌握估算的方法.6.正确运用实数的运算法则和运算律.

(三)情感与价值观目标:

通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良好的学习品质.

本章知识的网络结构，知识间的相互关系.

本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学的知识.

（本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方根的定义及求法；立方根的定义及求法；估算的方法，用计算器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律.）

本节课将对本章知识内容进行系统归纳，总结.

(1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别.

（由a2=2得a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，是无理数，就引入了无理数）.

(2)算术平方根与平方根的联系与区别.

若一个正数x2=a，则x叫a的算术平方根；若一个数x2=a，则x叫a的平方根.它们的联系有：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根与算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.

区别是：(1)从定义看不同.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同.正数a的平方根表示为± ，正数a的算术平方根表示为 .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.

(3)立方根的有关知识.

若x3=a，则x叫a的立方根.立方根的性质有：一个正数的立方根是一个正数.一个负数有一个负的立方根，零的立方根为零.

立方根、平方根、算术平方根都是通过什么运算得到的.这种运算和乘方运算之间有什么关系呢？

立方根、平方根、算术平方根都是通过开方运算得到的，开方运算和乘方运算是互为逆运算.

是公园有多宽，也就是估算.估算就是利用乘方运算来进行的.估算的步骤大致为：(1)估计是几位数；(2)确定最高位上的数字(如百位)；(3)确定下一位上的数字(如十位)；(4)依次类推，直到确定出个位上的数或者按要求精确到小数点后的某一位.

(5)实数的定义及实数的运算法则和运算律.

a.有理数和无理数统称为实数.

在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.

d.实数和数轴上点的对应关系.

实数和数轴上的点是一一对应的关系.

(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值都和有理数范围内的概念相同.

f.实数的运算法则和运算律.

(1)4的算术平方根是±2；(2)4的平方根是2；(3)8的立方根是±2；

(4)无理数就是“没有理由的数”；(5)不带根号的数都是有理数；

(6)无理数就是开方开不尽的数；(7)两个无理数的和还是无理数.

［例2］把下列各数写入相应的集合中.

－1， ，0.3， ，，0，0.…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).

注：正、负数集合是从数的符号来考虑的；有理数、无理数集合是从实数的分类来考虑的，正、负数可能是有理数或无理数，有理数，无理数包含正、负有理数，无理数.

［例3］你会估算吗？请估算下列各组数的大小，并作比较.

［例4］求下列各数的平方根与算术平方根：

注：这个题主要是区分算术平方根与平方根的概念而设置的.

1.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3．如下图所示,15只空桶(每只油桶底面的直径均为50厘米)堆在一起,要给它们盖一个遮雨棚,遮雨棚起码要多高?

解:设油桶底面的直径为d.

来源丨班班通教学系统 欢迎收藏及转发至朋友圈

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