八、课程目标达成度评价

参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。

九、本课程各个课程目标的权重

依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下：

根据学生的课堂出勤、课堂表现、平时作业、平时测验情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、期中测试及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况；根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，借鉴优秀专业经验，在本学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。

十一、推荐教材及参考书目

[1]，，高等代数(第五版)，北京：高等教育出版社，2007.

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，高等代数（第四版），北京：高等教育出版社，2013.

[2]丘维声.高等代数(上下册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2015.

[3]孟道骥. 高等代数与解析几何(上下册) (第三版)[M].北京:科学出版社,2014.

[4]，，高等代数辅导与习题解答(第四版)，北京：高等教育出版社，2013.

[5]，，大学数学学习方法指导丛书:高等代数(第三版)，上海：复旦大学出版社，2015.

本书作者阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。

人民邮电出版社，2016年

作者谢尔登·阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的猫，取自其个人主页/

在中国，线性代数一般等同于矩阵论，这主要是受华罗庚先生的影响，他的矩阵功底炉火纯青，因此他的学生曾肯成教授这样说：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞。”所谓“打洞”，就是用相似变换或其它矩阵变换将矩阵化成标准型（其中有很多元素为0，即“洞”）。据华罗庚的另一得意弟子陆启铿院士讲，当初邀请华罗庚访问美国普林斯顿高等研究所的外尔（//video/av/

致谢：感谢美国南密西西比大学丁玖教授和付晓青博士对初稿提出了有价值的建议！原文出自《数学文化》，推送时略作修订。

作者简介：林开亮，首都师范大学基础数学专业博士，现任教于西北农林科技大学理学院。

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1、第二学期第一次课第五章 §3实与复二次型的分类1复、实二次型的规范形：定理 复数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形其中是的秩. 复二次型的规范形是唯一的.证明 复数域C上给定二次型) ()设它在可逆线性变数替换XTZ下变为标准型 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换 使对称双线性函数f（，）在新基下的矩阵成对角形，即 设中有r个不为零。只要把的次序重新排列一下，就可以使不为零的排在前面，而后面nr个全为零。因此，不妨设f的标准型为 （，f的矩阵为A=(),有 因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非零元素个数rr（D）r（A）f的秩。因为在复数域内任意一个数

2、都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换（其中为的任一平方根）： 于是f变作 定理 实数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数（称为的符号差），是的秩. 实二次型的规范形是唯一的.证明 在实数域R上给定二次型 ()设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换XTZ，使f化为标准型 其中为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个: 为正数，而余下rp个：为负数。因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变数替换 于是二次型化作 其中.现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确

3、定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个规范型 按命题2.2的推论，这表明在R上n维线性空间V内存在一组基，使当时 在V内又存在一组基，使当时， 现令M=L()，则当时， (不全为零)。于是。又令NL（）。则当时，有 于是。这表明。按维数公式，我们有 这表明，即。由于p，q地位对称，同理应有，于是pq。第二学期第二次课2正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；设A（）为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式为方阵的顺序主子式。定理 设是实二次型，则下述四条等价：（i） 正定；（ii） 的矩阵，其中为可逆阵；（iii

4、） 对应的二次型函数R;（iv） 的矩阵的所有顺序主子式都大于0.证明 由命题2.2知（i）与（ii）等价。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大于零。（i）（iii）：在V的某一组基下的解析表达式为：若， 显然有R。（iii）（i）：设的规范型为 则上式为在V的某一组基下的解析表达式。若r<n,则0，与假设矛盾。故rn。而若p<r=n,则1，与假设矛盾。于是p=r=n,即f正定。（i）（iv）：设f在基下矩阵为A。令ML（）。把f限制在M内，在M的基下它的矩阵为 因。由（i）与（ii）的等价性的推论知 >0.(iv):对n做数学归纳法。n=1时结论是显然

5、的.现设对n-1个变元的实二次型命题成立.考察V的子空间M=L(),f限制在M内,在基下的矩阵为 其各阶顺序主子式>0.按归纳假设, .于是, .于是M内存在一组基,使f在此基下的矩阵为.将添加成为V的一组基.令 则与等价,也是V的一组基.且.故f在下的矩阵为 B与A合同,有 于是 令则为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为,即A合同于,从而f正定.最后，我们指出，n元实二次型可分为如下5类：1） 正定二次型：正惯性指数秩n；2） 半正定二次型：正惯性指数秩；3） 负定二次型：负惯性指数秩n；4） 半负定二次型：负惯性指数秩；5） 不定二次型：其他。第二学期第三次课第六章 带度量的线性空间

6、§1欧几里得空间设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,则():=称为向量的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧氏空间）；对任意定义为向量的长度或模.时,称为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间V内任意两个向量,有 证明 (+t,+t)0对任意tR成立,而 (+t,+t)=(,)t+2t()+,故由命题1.1可定义二向量的夹角<> <>=如果()=0,则称正交.设是n维欧氏空间V的一组基.令 称G为内积()在基下的度量矩阵.G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的.命题1.2 设欧氏空间

7、V内s个非零向量两两正交,则它们线性无关.证明 假如两边用作内积,得,(i=1,2,s).如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆阵T,使.现令()=()T.易验证就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R上n阶方阵T满足 则称T是正交矩阵.命题1.3 是V的一组标准正交基,令 ()=()T则是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵.证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 即,T是正交矩

8、阵.充分性:T是正交阵,故可逆.于是也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,则,从而是标准正交基.命题1.3给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩阵.下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。把问题提得一般一些:给定V中一个线性无关的向量组 要求作出一个新向量组 满足:(1) L()=L()(2) 两两正交.具体做法如下: 不难看出满足所要求的条件.设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义 称为M的正交补.显然也是V的子空间.命题1.5 设是维欧氏空间的子空间，则.证明 设,则由正交补的定义

9、得()=0.所以.这说明是直和.取M的一组标准正交基,先将它扩为V的一组基,.将它先正交化,再单位化.由于已经是两两正交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到,.显然与M中向量都正交,故.于是 V=L()+L()V从而.推论 维欧氏空间中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为的标准正交基.证明 设M=L(),在中取出一组标准正交基,则,就是V的一组标准正交基.最后介绍一下欧氏空间同构的概念.设是两个欧氏空间,如果存在的一个映射,满足(1) 是的线性空间的同构映射(2) 保持内积关系.则称是欧氏空间的同构映射,称同构.第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换1正交变换设V是n维欧

10、氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意都有(AA=则称A是V内的一个正交变换.正交变换的四个等价表述:命题2.1 A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等价: (1) A是正交变换;(2) A把V的标准正交基变为标准正交基;(3) A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;(4) 对任意,|A.证明 (1)(2):设是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义:|A|=1(A

A,从而A.于是构成群.由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.第二学期第五次课第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换(续)命题 正交矩阵的特征多项式

12、的根的绝对值等于1.证明 设C是正交矩阵A的特征多项式的根,则0.齐次线性方程组(E-A)X=0在C内有非零解向量=显然A=1从而|=1.推论 正交矩阵的特征值只能是1.命题 设A是维欧氏空间上的正交变换，若A的特征多项式有一个根e，则在内存在互相正交的单位向量，使得A A 证明见课本22-23页.命题 维欧氏空间V上的正交变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.证明 取V的一组标准正交基,使是M的标准正交基,而是的标准正交基.由A,，A仍是V的标准正交基,及A(i=1,2,r) 可知A(j=r+1,n).于是仍是不变子空间.定理 设A是维欧氏空间上的正交变换，则A在的某组标准正交基下的矩

13、阵呈准对角形，其主对角线由和如下的二阶子阵组成： 证明 对n做数学归纳法.第二学期第六次课第六章 §3 对称变换设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对V，都有（A,）=(, A)则称A是V内的对称变换.命题 维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵A是实对称矩阵.证明 设=()X, =()Y,则 （A,）=,(, A)=由（A,）=(, A)可得.命题 实对称矩阵A的特征根都是实数.证明 设是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=X.于是,从而;另一方面, .得到.命题 维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值的特征向量必正交.证

14、明 A=,A=,于是()=(A,)=(,A)=()由于,故()=0.命题 维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.证明 M, ,因AM,有 0=（A,）=(, A),这表明A,故是不变子空间.定理 设维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形.证明 对维数n做数学归纳法.推论 设是阶实对称矩阵，则存在阶正交矩阵，使得为对角阵.证明 把 A看作V上对称变换A在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理, A在另一组标准正交基下的矩阵是对角阵.设过渡矩阵为T,则易证是对角阵.推论 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形.提示: 元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由

15、上一推论可得.最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法（亦即用正交线性变数替换将元实二次型化为标准形的计算方法）。1) 计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) ;2) 对每个,求齐次线性方程组(E-A)X=0的一个基础解系,.它们是解空间的一组基.3）在欧氏空间R内将,正交化,再单位化,得的一组标准正交基.此时 (j=1,2,) 即为V的一组标准正交基.而所寻求的正交矩阵T应为到的过渡矩阵,其列向量组应为 此时相应的对角矩阵D为 第二学期第七次课第六章 §3 酉空间设V是复线性空间.VV上的一个函数(,),如果满足:(i) (,)对第一个变量是线性的;(ii) ()

16、=;(iii) V,(,)0,且(,)=0=0.则称()为向量的内积，具有内积的复线性空间称为酉空间（欧氏空间在复线性空间上的推广）.|=称为酉空间中向量的长度, |=1时,称为单位向量.()=0时,称二向量正交.同欧氏空间类似,我们有如下命题:命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的. 类似地,我们把n维酉空间V中由n个两两正交的单位向量组成的向量组称为V的一组标准正交基.标准正交基的求法: 施密特(Schmidt)正交化 设U是n阶复矩阵,如果,则称U是一个酉矩阵.命题3.2 是n维酉空间V的一组标准正交基,令 ()=()U则是一组标准正交基当且仅当U是酉矩阵.证明 必要性:若是标准

17、正交基,则()=.而U的第j个列向量为在下的坐标,故 ()=这表示,U为酉矩阵.充分性:若U为酉矩阵,则 ()=是标准正交基.设M是n维酉空间V的一个子空间,定义 称为M的正交补.显然也是V的子空间.命题 设是维酉空间的子空间，则；证明 同欧氏空间.推论 维酉空间中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为的标准正交基.设是两个酉空间,如果存在的一个映射,满足(1) 是的线性空间的同构映射(2) 保持内积关系.则称是酉空间的同构映射,称同构.酉空间V上的线性变换U如果满足(U,U)=()(对一切V),则称U是一个酉变换（正交变换在酉空间上的推广）.酉变换的四个等价表述:命题 U是n维酉空间V上的线

设U在标准正交基下的矩阵U是酉矩阵.由命题3.2知U, U也是标准正交基.设=,=,则 U=U+U U=U+U于是 (U,U)=(,)即U是酉变换.命题 维酉空间上的酉变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为维酉变换群，记为U(n)

19、.证明 与正交变换群类似.平行地，阶酉矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为阶酉群，也记为 U(n).第二学期第八次课设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A满足,V,有(A,)=(,A)则称A是A的共轭变换. A为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置. 共轭变换的五条性质: 1)E=E 2)(A)= A 3)(kA)=A 4)(A+B)=A+B 5)(AB)=BA如果A = A,则称A是一个厄米特变换.设A是n阶复矩阵,如果=A,则称A是一个厄米特矩阵.n个复变量的二次齐次函数 ()称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。（酉变换和厄

20、米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.）如果AA= A A,则称A为一个正规变换.（将酉变换的性质推广，有一般的结果：）命题 酉空间V上的线性变换A的不变子空间M的正交补是共轭变换A的不变子空间.证明 M, ,有 (,A)=(A,)=0这表明A.命题 酉空间上的正规变换A的属于特征值的特征向量的是共轭变换A的属于特征值的特征向量.证明 按假设,有A=则 (A-,A-)=(A-E),

21、有(,)=0.定理 维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.证明 对维数n做数学归纳法.推论 维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.命题 厄米特变换的特征值都是实数.证明 若A=,则 =A=A=是实数.推论 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.定理 厄米特二次型在适当的酉变数替换下可以化为标准形其中都是实数.证明 f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使 为实对角矩阵.令X=UY,即可.（推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换）数域上的维线性空间的任一满秩双线性函数都可以定义上的度量（以及一组基的度量矩阵）；在此度量

22、下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:设A是V上线性变换,如果存在线性变换A,使 f(A,)=f(,A) ,V则称A是A的(关于f的)共轭变换. 如果线性变换A满足 f(A,A)=f(,) ,V则称A为(关于f的)正交变换.在给定的基（度量矩阵为）下一个线性变换A（矩阵为）的共轭变换的矩阵，（这是因为f(A,)=f(,A),从而）如果A是正交变换，A的共轭变换等于A。(因为f(,)=f(A,A)=f(,AA)故f(,(AA-E)=0,由f非退化知AA= E.).第二学期第九次课第六章 §4四维时空空间与辛空间在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称

23、为四维时空空间.在R上规定一个特殊的度量f()= (其中=(,=(),称为四维时空空间的度量.令 在R内取定基 （1，0，0，0）， （0，1，0，0）， （0，0，1，0）， （0，0，0，1）设(，)X, =(，)Y,则f()=.如果R上的线性变换A关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换.命题4.1 设A是四维时空空间R上的一个线性变换,则有:(i)A为广义洛仑兹变换它在基，下的矩阵A满足;(ii)实数域上4阶方阵A满足它满足;(iii)如果A为广义洛仑兹变换,设它在基，下的矩阵为,则|1. 证明 (i) A为广义洛仑兹变换f(A,A)=f(,),而这又等价于. (ii)若,则,这说

24、明,两边左乘I,得.反之,若,则得. (iii) 按(i),有,考察两边方阵的第四行第四列元素,得 即.向量( 如果满足 则则称为类时向量,若还有则称为正类时向量.若,则称A为洛仑兹变换.命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭.证明 设A在基，下的矩阵为A,如果为正类时向量,则A在，下的坐标为 因A为广义洛仑兹变换,故 =f(A,A)=f(,) =<0即A仍为类时向量.而 由于,比较两边第四行第四列元素,有 由柯西-布尼雅可夫斯基不等式,得 ()() <(即.现因为正类时向量,故.由此可知 命题得证.命题 洛仑兹变换所组成的集合L（关于映射的复合

现设为一正类时向量,假如A不是正类时向量,但它仍为类时向量.由于AL,故A(A)=不是正类时向量,矛盾. 由(i)、（ii）、（iii）可知,L是一个群.定义 设V是复数域C上n=2m维线性空间,f()是V内一个满秩的反对称双线性函数.定义V内两个向量的内积为()=f()具有这种内积的线性

26、空间称为辛空间.若()=0,则称正交.设为V的一组基.令 = (i,j=1,2,，n)称为这组基的度量矩阵，它就是f在这组基下的矩阵.命题 设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基,其度量矩阵为,其中这样的基称为第一类辛基. 证明 对m作数学归纳法. 推论 设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基,其度量矩阵为 其中E为m阶单位矩阵.这种基称为第二类辛基. 证明 设是V的一组第一类辛基.令 通过计算,不难验证即为所求的基.定义 设V是n=2m维辛空间,A是V上一个线性变换.如果A满足(A,A)=(,) ,V则称A是V内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换）.命题 偶数维辛空间上的线性变换A

27、是辛变换的充分必要条件是A可逆且它的逆等于它的共轭变换.证明 如果A是辛变换,则V,有 (A,A)=(,AA)=(,)从而(,(AA-E)=0,由于内积是满秩的,故(AA-E)=0对V成立.故AA=E,A可逆且它的逆等于它的共轭变换.反之,若A可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有 (A,A)=(,AA)=(,)A是辛变换. 设A是辛空间V内一个辛变换,又设为V内一组第一类辛基.此时其度量矩阵为 A在此组基下的矩阵为A,则有.满足此条件的n=2m阶复方阵A称为一个2m阶辛矩阵.命题 维辛空间上所有辛变换构成群S，称为维辛变换群，所有的阶辛矩阵的全体构成群，称为阶辛群。证明 (i)显然ES;(ii)

线性变换的Jordan标准型§1幂零线性变换的Jordan标准型A是数域K上n维线性空间V上的线性变换,如果存在正整数m,使A=0,则称A是一个幂零线性变换.对数域K上n阶方阵A, 如果存在正整数m,使=0,则称A为幂零矩阵.命题 幂零线性变换的特征值等于0.证明 设是V上幂零线性变换A的特征值,则存在V中非零向量,使得 A=假设=0,则 A=0从而=0, =0.设A是数域K上

29、n维线性空间V上的一个幂零线性变换.取V中任意非零向量,则存在最小的正整数k,使得A0,但A=0.可以证明:向量组,A, A是线性无关的.令I()=L(,A, A),则I()为A的一个不变子空间,且dim I()=k.称I()为A的循环不变子空间.A限制在I()中,在基A,A,下的矩阵为 定义 形如 ,的准对角矩阵称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.命题 数域上的维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形的充分必要条件是可以分解为A的循环不变子空间的直和.证明 必要性 设A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形,则V可分解为A的不变子空间

30、的直和: 且在内存在一组基,使A限制在内在此基下的矩阵为 这表明=I(),即为A的循环不变子空间. 充分性 若 ,在每个I()内选取基A,，A,.则它们合并为V的一组基,在此组基下A的矩阵即为Jordan形矩阵.定理 数域上的维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形。证明 只用证V可以分解为A的循环不变子空间的直和.对n作数学归纳法.第二学期第十一次课第七章 §2一般线性变换的Jordan标准型定义 形如 ,的准对角矩阵称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.定理 设A是数域上的维线性空间上的线性变换. 如果A的特征值全属于，则A

31、在的某组基下的矩阵为Jordan形，并且在不计Jordan块的意义下Jordan形是唯一的.证明:对n作数学归纳法.定理 设是数域上的阶方阵. 如果的特征值全属于，则在上相似于Jordan形矩阵，并且在不计Jordan块顺序的意义下Jordan形是唯一的.证明:此定理就是上一定理用矩阵的语言叙述出来.Jordan 标准形的计算方法:设A是数域上的维线性空间上的线性变换,为求出A的Jordan标准型(假设存在),可按如下步骤进行:1) 先求A在的一组基下的矩阵A; 2) 求出A的全部不同特征值(假设都属于数域K);3) 对每个,令,由公式 计算出以为特征值,阶为l的Jordan块个数.从A的Jo

32、rdan形J的特征多项式容易看出:以为特征值的Jordan块的阶数之和等于特征值的重数,由此可知是否已找出全部特征值为的Jordan块;或者从等于J中以为特征值而阶l+1的Jordan块的个数这一点作出判断; 4)将所获得的Jordan块按任意次序排列成准对角形J,即为所求.第二学期第十二次课定义 设A是数域K上一个n阶方阵,g(x)是K上一个m次多项式.如果g(A)=0,则g(x)称为方阵A的一个化零多项式.HamiltonCayley定理 设A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项式,则f(A)=0.证明 A在C内相似于Jordan形矩阵J,即有C上可逆阵T使.显然对任意正整数k,有.由此

33、知f(A)=0当且仅当f(J)=0.设 ,则.f的每个根的重数Jordan块J的阶数.现在 对每个i,有f(J)=0,于是f(J)=0.设A是数域K上一个n阶方阵,A的首项系数为1的最低次化零多项式称为A的最小多项式.命题 设A是数域K上的n阶方阵, (x)是A的一个最小多项式.若把A看作C上的n阶方阵,它在C内的最小多项式为(x),则(x)与(x)次数相同.证明 (x)是A在C内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于(x),反之,设 ,(C, )则应有=0设,则上式可写成 上式是m+1个未知量的齐次线性方程组,其系数属于K.已知它在C内有非零解(即(x)不全为零的系数).于是它在K内也有非

34、零解.设,此时不妨设.于是有 ()故是A在K内一化零多项式,故mk(x)的次数.命题得证. 这个命题说明:A在K内的任一最小多项式也是A在C内的最小多项式.所以,只要把A看作C上的n阶方阵,决定出它在C内的所有最小多项式,那么A在K内的最小多项式也在其中了. 由方阵的Jordan 标准形可以用如下方法确定其最小多项式:命题 设A是数域K上的n阶方阵.设A的特征多项式f在C内全部互不相同的特征值为,A在C内的Jordan标准型J中以为特征值的Jordan块的最高阶数为,则A在K内的最小多项式是唯一的,它就是 证明 设A在C内的Jordan标准形为 ,则有复可逆方阵T,使.对任意复系数多项式g(x

35、),由于,故g(x)是A的化零多项式当且仅当g(x)是J的化零多项式.从而A与J有相同的最小多项式.因此只要找出J的所有最小多项式就可以了.设g(x)是J的一个首项系数为1的化零多项式.有 =0故g(J)=0当且仅当所有g()=0.而g()=0当且仅当为g(x)的零点,且其重数的阶.设A的(也是J的)全部互不相同的特征值为,而J中以为特征值的Jordan块的最高阶数为,则在C内,g(x)应表示为 其中,两两不同,且 (i=1,2,k).反之,若g(x)满足上述条件,则所有g()=0,从而g(J)=0.由此可以知道J的最小多项式应为 这表明J的最小多项式是唯一的,从而A在K内的最小多项式也唯一,

36、即为.第二学期第十四次课第八章 有理整数环§1 有理整数环的基本概念8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：1） 加法满足结合律；2） 加法满足加换律；3） 有一个数0，是对任意整数，；4） 对任意整数，存在整数，使；5） 乘法满足结合律；6） 有一个数1，是对任意整数，7） 加法与乘法满足分配律：；8） 乘法满足加换律；9） 无零因子：如果，则。我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用代表它。“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述

37、。现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。设是一个非空集合。如果在的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对中任意两元素，都按某法则对应于内的一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：（i） 结合律：；（ii） 中有一元素0，是对一切；（iii） 对中任一元素，有；（iv） 交换律：。又设内另有一种运算称作乘法，即对中任意两个元素，都按某个法则对应于内一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：（v） 结合律：；（vi） 加法与乘法有两方面的分配律：则成为一个环。如果一个环的乘法也满足交换律，则称为交换环；如果环内存在一个元素，使，则称为的单位元素，称为有幺元的环；如果环内存在

38、两个非零元，使，则（）称为左（右）零因子，这时称为有零因子环；如果环至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称为一个整环；如果是一个整环，且对内任一非零元素都有逆元，则称为一个域。8.1.2 整除性理论命题（带余除法） 对任意，唯一的存在两个整数，满足：证明 存在性 如果，考虑整数序列则必落在该序列中的某两项之间，从而必存在，使得。令，则有如果，我们有唯一性 设另外有使，则进而得到|。如果，则等式的左端，但另一方面，即可知等式的右端。这个矛盾说明，从而。定理得证。用辗转相除法求二整数的最大公因子给定整数且，则由得。所以。同理可证，故。给定整数，做带余除法，。若，则。若，则再做带余除法因为

39、，所以经有限步后必有。这时，这种算法叫Euclid算法，也叫辗转相除法。8.1.3 有理整数环的理想定义8.1（理想的定义） 设是的一个非空子集，且满足下列条件：（i） 若，则；（ii） 若，则对任意有，则称为的一个理想。显然，单由0组成的子集0及自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，0称为零理想。的其他理想称为非平凡理想。定义8.2（主理想的定义） 任给，定义则称为由生成的主理想。显然，(0)=0,(1)= 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有以下简单的性质：1）且；2）。命题 有理整数环的理想都是主理想，即设是的一个理想，则存在非负整数，使。证明 若是零理想0，取=0即可

40、。现设，于是中必有非零之整数，现令为中的最小正整数，他显然存在且唯一。此时对任意都有，于是。反之，设为中任意整数，按带余除法，存在，使。又因，由的最小性知。故，即。于是。定义8.3（主理想整环（PID）的定义） 设为一交换环，如果中的理想皆为主理想，则称为主理想环。如果同时又为整环（即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子），则称为主理想整环。现在我们来看一下理想的性质：给定的两个理想，则1） 它们的交集也是的理想，称为此两理想的交；2） 定义则也是的理想，称为的和。我们不难得到关于理想的两个重要结论：结论1 设是两个非零整数，是的最小公倍数，则。结论2 设是两个不全为零的整数，则，其中。

41、作为结论2的推论，我们有一个重要的结果：命题 设是两个不全为零的整数，则下面命题互相等价：（i）互素，即；（ii）有，使；(iii).8.1.4 因子唯一分解定理定义8.4（唯一分解整环的定义）设为一整环（即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子）。如果满足下列两条件，则叫做一个唯一（因子）分解整环（也叫高斯整环）：1）的每个非零非单位的元素恒可以写成有限多个不可约元素的积；2）上述分解在相伴意义下是唯一的，即若元素有两种分解。则而且适当改变的角标可使（或在抽象意义下） 。在抽象代数课程中，我们将用（1）因子链条件（参见习题一第7题）和（2）整环中的不可约元即为素元素（即下面的引理）来证明

42、 定理 主理想整环是唯一分解整环。在这里，我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明，即有下面的定理：定理（算术基本定理） 任一正整数都能表成若干素数的乘积，为素数并且若不计的排列次序，上述表法唯一。先证明引理（有理整数环中的素因子即为不可约因子）设是素数，且。若，则或。事实上，因只有两个正因子1和，故或1。若，则；而若，即有使得，另一方面可设，于是故。运用数学归纳法，就有若素数整除，则整除某个因子。现在可以来证明定理本身了。存在性 对用数学归纳法。当时，结论显然成立。故可设，并设结论对的正整数已经成立。若是素数，则即为所求的分解式；若为合数，则。又归纳假设，均可表成若干素数的乘积，当然也有这样的

43、分解式。唯一性 若又有，为素数由引理可知必整除某个，不失普遍性，可设。因都是素数，故得。于是又归纳假设，对成立分解式的唯一性，从而得到的分解式的唯一性。又算术基本定理，每个的正整数都可以唯一的表成的形状，其中是素数，而是正整数，这叫做的素因子标准分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理。第二学期第十五次课§2 同余式8.2.1 有理整数环中的同余的定义定义8.5 设是一个正整数，若，且，亦即，则称与模同余，记作。不难得到，与模同余就是它们用做带余除法所得的余数相同。整数模同余为一等价关系，验证如下：1） 反身性：；2） 对称性：若，则；3） 转递性：若，则。关于这个等价关系划分为等价

44、类，给定整数，所有与模同余的整数属于一个类，称为以为代表的同余类。8.2.2 Euler-函数定义8.6(与互素的剩余类的定义) 设是一正整数。如果，则称为与互素的剩余类。在全部模剩余类中，与互素的剩余类的数目记作，称作Euler函数。引理 设是全部互不相同的与互素的剩余类，有设，则也是全部互不相同的与互素的剩余类。简证 因为，故，即为与互素的剩余类；由若，则，于是，从而，矛盾。定理（Euler定理）设是与正整数互素的整数，则证明 设全部互不相同的与互素的剩余类为，则由引理与上述个剩余类仅是排列次序不同而已，所以把它们连乘起来应该相等，即于是因，故。于是，注意，故命题成立。作为Euler定理的

45、推论，我们有定理（Fermat小定理）设为素数，若不整除整数，则。事实上，模的个剩余类，除外，均为与互素的剩余类，即。8.2.3 中国剩余定理定理（中国剩余定理） 设是个两两互素的正整数。任给个整数，必存在整数，使证明 首先，对一固定的。当时，则有，使。令另一方面有现在利用上面得到的构造整数当时，即，而，带入上式得定理得证。第二学期第十六次课§3 模的剩余类环8.3.1 模的剩余类环的定义定义8.7 设设一个正整数，定义将模的剩余类记作，现定义中的加法和乘法如下：此两种运算满足8.1.1中除第9）条以外的其余八条性质（其中称为的零元素，称为的单位元素），于是构成一个代数系统，称为模理

46、想的剩余类环或模理想的商环。8.3.2 个元素的有限域在所有模的剩余类环中，为素数的情况最为重要。引理 设为素数，是中一个非零元素，则必存在，使，将写成。即中非零元素都有逆元。事实上，意味着，从而，于是存在，使，于是。现在中有加、减、乘、除（令），且不难验证这些运算满足与数域相同的运算法则（即数域的加法、乘法所满足的九条运算法则），因此，我们把称为个元素的有限域，并用来表示它。对的深一步研究将在抽象代数课程中进行。8.3.3 关于有限域上的线性代数的说明现在，前面各章所阐述的线性代数理论，只要把其中数域换成有限域，那么所有的概念和命题仍然成立。因此我们有上的线性方程组，上维向量空间，上矩阵所组

47、成的集合，上方阵的行列式，上的线性空间及其上的线性映射、线性变换理论等等。第二学期第十七次课第九章 一元多项式环§1一元多项式环的基本理论9.1.1 域上的一元多项式环的定义定义9.1 设是一个数域，是一个不定元。下面的形式表达式（其中属于，且仅有有限个不是0）称为数域上的一个不定元的一元多项式。数域上一个不定元的多项式的全体记作。下面定义内加法、乘法如下：加法 设则定义为和的和。乘法 设令定义为和的乘积。容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：1） 加法有结合律；2） 称为零多项式，满足3） 都有逆元使得；4） 加法有交换律；5） 乘法有结合律；6） 称为（乘法的）幺元，使

48、得有；7） 乘法有交换律；8） 加法与乘法有分配律：定义9.2 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 上的一元多项式环。相应的系数，次数等概念在中学已教授。9.1.2 整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义定义9.3 给定。若存在一，使，则称整除，记作，称为的因式，称为的倍式。若不能整除，则记作。定义9.4 如果，不全为零多项式，设，若，则称为，的一个公因式。如果还满足：（i）是首一多项式；（ii）对，的任意公因式，都有，则称为，的最大公因式，记作。如果=1，则称，互素。定义9.5 设是内一多项式，如果在内的因式仅有零次多项式及，这里，则称是内的一个不可约多项式，否则称其为可约多项式。定义