圆周率π的非零有理数次方是有理数还是无理数怎么证明？

点击联系发帖人 时间：2022-10-01 05:38

圆周率无理数证明

上一回我们为大家介绍了，那是数学家兰伯特使用的类似于连分数的方法。不过，由于这个证明方法过程比较冗长，在上次的文章中，我们跳过了许多关键步骤，给小朋友的感觉是：这个证明类似于把大象放进冰箱里。

这一回，我们再为大家介绍一下历史上最简洁的证明方法，那是1947年，数学家伊万.尼云所给出的方法。这个证明在发表时，占用的篇幅不到一页纸。

数学家们惜字如金，这篇论文对于普通的同学来讲还是有一点困难。不过，理论上只要具有高二以上数学水平，学了微积分，就能够理解这个证明。下面我就把这篇论文翻译一下，一旦看懂了，你一定会赞叹数学是如此美丽，就好像上一次我们讲尺规作图那样。

1构造一个函数f(x)

假设圆周率π是一个有理数，则π一定能写成两个互质的整数p、q的比：

大家看，这个函数分母是阶乘形式，如果用二项式定理将分子展开，一定能写成下面的多项式求和的形式：

也就是每一项的分子都是一个整系数的幂函数形式，而且这个幂次在n与2n之间。

下面我们要对f(x)求导数，为此我们首先复习一下幂函数的求导法则，根据

我们可以得出：如果对幂函数求k次导数，有如下三种可能：

于是，对于函数f(x)的每一项，k次求导后的结果

大家看：对于第一类项，这一项是0，是一个整数。对于第二类项，由于m在n与2n之间，m!除以n！是个整数，因此这一类项也是整数。对于第三类项，如果取x=0, 则该项也会等于整数.cn致力于打造中学理科（数学、物理、化学、生物）精品课程，致力于让优秀的课程服务更多的学生，所有老师均毕业于北大、清华、北师大等著名学府，并拥有国内一流中学十年以上教学经验。目前，网校已经累计开设直播课、专题课、公开课、讲座等数千小时。只需一次点击，让你和名师0距离。了解更多资讯和视听课程快戳这个链接：

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我发现圆周率π不是无理数！是有理数。为什么？
圆周率π的发现者 祖冲之 当初是怎么发现圆周率的呢？是周长于直径的比值。也就是 周长：直径＝π 我们可以把比例式看成分式，也就是 周长/直径＝π 我们知道分式中 只要分子分母不是无理数，那么整个分式就一定不是无理数。那么一个园的周长和直径可能是无限不循环的小数吗？绝对不可能。只是我们无法量出具体数值而已。所以 周长/直径＝π 是有理数！初中的教材错了！就是这样。
大家反映很激烈啊。。。但是！！！让我们先搞清楚。是现有周长和直径？还是现有π？当初发现π的祖冲之先是用四边形然后到十六边形然后。。。。。历史证明是先有周长与直径然后在求出π。以后我们就用现成的π来求周长或者直径。 还有周长和直径可能无限不循环吗？？可能会无限吗？？？？？如果周长和直径的其中一个是无限那还能构成园吗？我承认现在我们无法量出一个线段的具体数值。但是我肯定一个线段（把线段围起来就是圆的周长，直径也是线段）的长度不是无理数！不是无限小数！我相信总有一天我们会量出绝对精确的值的。还有分式中没有无理数那么分式肯定是有理数不信可以去试试或者问别人！

无理数,因为不循环小数是无理数
你对课本提出疑问是好的,但那么多代学下来都没人提出错误,你是不是有点鸡蛋里挑骨头啊??

谁告诉你分子分母不是无理数了呢？
圆的周长与直径必然有一个是无理数

“我们知道分式中 只要分子分母不是无理数，那么整个分式就一定不是无理数。”
你的这句话没有经过考证，实际上分子分母有一个是无理数
则值必为无理数

No,you are wrong!
直径是有理数的话，那么周长就是无理数！而若周长是有理数，直径则是无理数，这是真理，不容质疑的！

不对
π=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...)
这是莱布尼兹公式
如果π是有理数，设π=p/q（p,q均为整数且互质）
则p=q*4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...)
因为p,q均为整数，所以q能被所有奇数整除
所以p只能是2的幂，否则与pq互质矛盾
但又由这个级数的通项知p肯定不是2的幂，矛盾
所以π是无理数

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圆周率是有理数还是无理数根据无理数定义,圆周率是无限不循环小数,所以是无理数.但是,它可以用分数来表示,即分母为直径分子为周长,而有理数的定义是整数和分数统称有理数.那么,圆周

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