遵义师范学院课程教学大纲（理论课）

《高等代数Ⅰ》课程教学大纲

课程类别：专业核心必修课

课程团队：代数与几何教研室

1．《高等代数》，张禾瑞，郝炳新主编，高等教育出版社，2007年第五版

2．《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社，2007年第二版

课程与毕业要求/毕业要求指标点对照表

注：H代表章节对课程目标高支撑，M代表章节对课程目标中支撑，L代表章节对课程目标低支撑。

通过本课程的学习，使学生达到以下目标：

课程目标1：践行社会主义核心价值观，贯彻党的教育方针，以立德树人为己任。遵守中小学教师职业道德规范，具有依法执教意识。具有坚定的教育情怀和从事山乡教师工作的专业认同感和乐于奉献的精神。【毕业要求3 学科素养】

课程目标2：熟悉初级中学数学课程标准和数学教材，懂得数学教学的基本理论和方法，能独立开展数学教学设计、实施课堂教学，并对教学结果进行评价，具备一定的数学教学研究能力，能创造性地解决初级中学数学教学及管理中出现的问题。【毕业要求4教学能力】

（二）课程目标与毕业要求的关系

3.2 有较好的逻辑推理、分析归纳和空间想象能力；具有获取知识、提出问题、分析问题、综合运用数学知识解决实际中学数学教学中的数学问题的能力。

4.2 通过试讲、见习、实习、研习等教育实践获得教学体验，能将学科知识融入备课、上课和作业批改等教学环节中，掌握多媒体课件制作等教学基本技能，达到教师普通话等级水平的任职要求，具有良好的语言表达、人际协调能力和良好的心理素质，具备初步的初中数学教学能力。

（一）课程内容与课程目标的关系

1.认知类目标：掌握集合的概念、运算，证明集合相等的一般方法；

2.方法类目标：通过实例及中学所学集合知识，学会用数学语言表示集合的包含关系，学会证明集合相等的一般方法；

3.价值类目标：在学习集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度。

1. 重点：集合的概念和运算；

2. 难点：集合相等的证明。

1. 认识集合的概念及表示方法；

2. 结合中学所学的集合包含关系，学会用数学语言来表示集合包含关系；

3. 理解集合的相等，并掌握集合相等的证明方法；

4. 掌握集合的运算及其性质。

1.认知类目标：掌握映射的概念、映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断；

2.方法类目标：渗透特殊与一般的思想，通过实例及中学所学映射知识，学会判断满射、单射、可逆映射的思想方法；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解知识点的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断；

2. 难点：满射、单射、可逆映射的判断。

1. 认识映射的相关概念，理解映射相等和映射的像；

2. 理解映射的相等，单射、满射、可逆映射的判断；

第3讲 §1.3 数学归纳法

§1.4 整数的整除性质

1.认知类目标：了解数学归纳法的依据，理解掌握整除及其性质，掌握最大公因数的性质和求法，理解互素、素数的简单性质；

2.方法类目标：利用最小数原理，把数学分析与高等代数联系起来，加深学生对数学归纳法的认识。

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解知识点的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：整除、最大公因数性质、互素的相关证明；

2. 难点：整除、最大公因数性质、互素的相关证明。

1. 认识数学归纳法的依据——最小数原理；

2. 理解掌握整除及其性质，掌握最大公因数的性质和求法；

3. 理解互素、素数的简单性质；

第4讲 §1.5 数环、数域

1.认知类目标：理解掌握数环与数域的概念及性质，掌握数环数域的判别方法；

2.方法类目标：渗透特殊与一般的思想，通过数集中任意两个数的运算结果，得到数环数域的概念及判断；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解知识点的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：数环、数域的概念及性质；

2. 难点：验证数集是数环、数域的方法。

1. 理解数环、数域的概念及性质；

2. 掌握证明数集是数环、数域的方法；

3. 了解近世代数中群的定义与数环、数域的联系。

第5讲 §2.1 一元多项式的概念及运算

1.认知类目标：了解一元多项式的概念，理解多项式的加法、乘法运算及运算规律，掌握多项式和的次数及次数定理；

2.方法类目标：渗透特殊与一般的思想，通过对比中学所学多项式概念，强调多项式是定义为一种形式表达式；

3.价值类目标：通过多项式形式表达式的理解，对变量由具体数字到文章符号的转变，使学生认识到由特殊到一般的数学思想。

1. 重点：多项式的运算规律，多项式和的次数，乘积的次数定理；

2. 难点：多项式和的次数，乘积的次数定理。

1. 掌握多项式的定义及运算；

2. 掌握多项式的运算律，理解多项式对于加法和数乘构成多项式环；

3. 掌握多项式和与乘积的次数定理。

第6讲 §2.2 多项式的整除性

1.认知类目标：了解多项式整除的定义，理解多项式整除的性质，掌握多项式的带余除法和多项式的综合除法；

2.方法类目标：通过对比整数的整除性质，学会类比推导出多项式的整除性质；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解整数整除与多项式整除的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：多项式的带余除法、多项式整除的定义和性质、综合除法；

2. 难点：多项式的带余除法，多项式整除的性质。

1.利用整数的带余除法类比得到多项式的带余除法；

2. 从整数整除的概念，得出多项式整除的概念；

3.通过整数整除的性质类比出多项式整除性的性质；

4. 掌握多项式的综合除法。

第7讲 §2.3 多项式的最大公因式

1.认知类目标：理解最大公因式的定义、性质，掌握最大公因式的求法(辗转相除法)。理解两个多项式互素的定义，掌握两个多项式互素的基本性质；

2.方法类目标：通过对比整数的最大公因数，整数的互素，学会类比推导出多项式的最大公因式，多项式的互素性质；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解整数与多项式的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：最大公因式的定义和求法，多项式互素的定义和性质；

2. 难点：定理1证明过程的理解，多项式互素基本性质的应用。

1.类比整数最大公因数的定义得到多项式最大公因式的定义；

2. 从定理证明得到求最大公因式的求法——辗转相除法；

3.类比整数互素的概念及性质得出多项式互素的概念及性质；

4. 掌握多项式证明的一些基本方法。

第8讲 §2.4 多项式的分解

1.认知类目标：了解多项式的因式分解唯一性定理的证明方法,理解不可约多项式的概念、多项式的因式分解唯一性定理,掌握不可约多项式的性质;

2.方法类目标：通过对比素数、整数的标准分解，学会类比推导出不可约多项式、多项式的唯一分解相关性质；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解整数整除与多项式整除的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：多项式的因式分解唯一性定理；

2. 难点：多项式的因式分解唯一性定理的证明。

1.类别素数概念给出不可约多项式的定义；

2. 类别素数的性质给出不可约多项式的性质；

3. 类别整数的标准分解给出多项式的标准分解；

4. 给出多项式唯一分解定理的应用，了解两个多项式的标准分解式，就可以直接写出两个多项式的最大公因式。

§2.6 多项式函数 多项式的根

1.认知类目标：了解多项式导数的定义和求导法则，理解重因式的定义、性质，掌握判别有无重因式的方法; 了解把多项式看成函数的思想，理解多项式的值、根与重根的概念，掌握余数定理，n次多项式根的最多个数；

2.方法类目标：从函数的角度，以根为中心研究多项式的一次因式，是整除性理论和因式分解理论的一种表现形式，为3种特殊数域上的多项式讨论奠定基础；

3.价值类目标：通过根与重因式的关系，让学生了解多项式既可以看成形式表达式，又可以看成函数.把字母x看成变量。

1. 重点：重因式的定义、性质、判别有无重因式的方法；多项式的值、根与重根的概念，余数定理，n次多项式根的最多个数；

2. 难点：重因式概念的理解，重根与重因式的区别与联系。

1.通过整数整除的概念，给出重因式的概念，强调三个条件缺一不可；

2. 通过引入导数，得出判别重因式是否存在的方法；

3. 通过导数得出重因式的性质；

4. 从函数的角度出发，给出重根与重因式的关系，余数定理，n次多项式根的最多个数。

第10讲 §2.7 复数和实数域上多项式

1.认知类目标：了解代数基本定理，理解实系数多项式的非实复根两两成对，

掌握复系数和实系数多项式因式分解定理、根与系数的关系；

2.方法类目标：通过代数基本定理，得到复系数多项式的标准分解式；理解“实系数多项式的非实复根成对出现”对实系数多项式因式分解定理的重要意义，加深对实系数多项式因式分解的本质的理解；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解复数域与实数域上多项式分解的相互联系与区别，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：复系数和实系数多项式因式分解定理、根与系数的关系；

2. 难点：实系数多项式因式分解定理、根与系数的关系。

1.通过代数基本定理，得出复系数多项式的标准分解式；

2. 根据复系数多项式的标准分解式，得出根与系数的关系；

3. 根据“实系数多项式的非实复根成对出现”，得出实系数多项式的标准分解式；

4. 从复数域和实数域分别得到不可约多项式的情况。

第11讲 §2.8 有理数域上的多项式

1.认知类目标：了解一些无理数的证明方法，本原多项式的定义和性质，艾森斯坦因判别；理解有理系数多项式问题可以归结为整系数多项式问题；掌握求有理根的方法；

2.方法类目标：从有理系数多项式的问题总可以化为整系数多项式的问题这一思想，得到有理根的求法，让学生加深对此方法的理解；

3.价值类目标：通过分析、讨论、启发和类比，让学生了解任何一个有关有理系数多项式的问题总可以化为整系数多项式的问题来解决。

1. 重点：有理根的求法；

2. 难点：有理根的求法。

1.高斯（Gauss）引理的证明过程通过引入整数的整除性揭示本原多项式的乘积性质，为后面的定理证明奠定了基础；

2. 由本原多项式给出从有理系数多项式的问题总可以化为整系数多项式的问题这一思想；

3. 由整系数多项式中有理根分母、分子与最高处项系数、常数项之间的关系，得出有理根的求法；

4. 利用艾森斯坦判别法判断整系数多项式在有理数域上是否可约的问题。

第12讲 §3.1 线性方程组和行列式

1.认知类目标：了解引入行列式这一工具的目的，理解如何利用行列式来求解线性方程组的解。了解排列的概念，对换改变排列的奇偶性。理解反序数的定义、奇偶排列的定义和性质；掌握反序数的求法、奇偶排列的判定；

2.方法类目标：利用消元法求解二元三元方程组的解的思想，得出行列式与方程组的解之间的关系，让学生了解到引入行列式这个工具的意义；

3.价值类目标：通过特殊到一般，让学生从二阶、三阶行列式的结构规律，推导出n阶行列式的规律，从而得到行列式的概念。

1. 重点：如何利用行列式来求解线性方程组的解，反序数的定义和求法、奇偶排列的定义和性质；

2. 难点：行列式来求解线性方程组的解，反序数的求法。

1. 由特殊的线性方程组的求解，引入行列式这一工具；

2.首先要弄清楚二阶和三阶行列式的结构规律，然后根据所得的规律来推广行列式的概念；

3. 从行列式中展开项的符号问题，引出排列的概念；

4. 讨论排列的相关性质，会求排列的反序数。

1.认知类目标：了解行列式的定义可以按行下标排列也可以按列下标排列，理解行列式的定义，掌握行列式的相关性质；

2.方法类目标：通过行列式的概念，让学生认识到行列式中行与列的地位是相同的，因此在行列式的性质讨论中，只需讨论行或列即可；

3.价值类目标：让学生通过行列式性质的讨论，增强学生对行列式概念的理解，培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度。

1. 重点：行列式的定义、行列式的转置行列式，行列式的性质；

2. 难点：行列式定义的理解，行列式性质的证明。

1. 由三阶行列式的展开式，推出n阶行列式的定义；

2.利用行列式概念计算一些简单的行列式；

3. 给出行列式与转置行列式的关系；

4. 讨论行列式的相关性质，掌握化三角形求行列式的方法。

第14讲 §3.4 子式和代数余子式,行列式的依行依列展开

1.认知类目标：了解行列式的代数余子式的定义，理解行列式的展开定理，掌握行列式的代数余子式的求法，会用行列式的展开定理计算特殊行列式；

2.方法类目标：通过行列式的性质，由特殊到一般，得到行列式的展开定理；

3.价值类目标：让学生通过行列式展开定理的讨论，增强学生对行列式性质的理解，培养学生严谨的逻辑思维能力。

1. 重点：行列式的展开定理；

2. 难点：行列式的展开定理的证明。

1. 通过练习让学生会找行列式的余子式和代数余子式；

2. 通过行列式的性质，由特殊到一般，得到行列式的展开定理；

3. 理解行列式的展开定理，相当于把n阶行列式化为n-1阶行列式；

4. 掌握计算行列式的方法，先将行列式的某一行（列）化成只有一个非零元素的行（列），然后再应用展开定理的相关公式来计算。

1.认知类目标：理解克拉默（Cramer）规则，掌握克拉默（Cramer）规则解线性方程组的条件；

2.方法类目标：通过用二、三阶行列式来解二、三元线性方程组，从特殊到一般，使学生学会用n阶行列式来解n个未知量n个方程的线性方程组；

3.价值类目标：让学生通过行列式求解方程组的解，让学生意识到行列式的重要作用，开拓学生的解题思路和方法。

1. 重点：利用克拉默规则解线性方程组；

2. 难点：克拉默规则的应用。

1. 用二、三阶行列式来解二、三元线性方程组，推广到用n阶行列式来解n个未知量n个方程的线性方程组；

2. 强调克拉默规则只在方程组的系数行列式不为零的情况下才能用, 也只能当方程组的未知量个数与方程个数相等时才能用克拉默规则；

3. 关于系数行列式等于零的情况将在一般的线性方程组中讨论。

1.认知类目标：了解线性方程组的矩阵表示，线性方程组的初等变换，理解矩阵的初等变换，掌握利用矩阵的初等变换解线性方程组的方法；

2.方法类目标：让学生通过中学的加减消元法求解线性方程组，理解代入消元法实际上就是线性方程组的初等变换，对线性方程组进行初等变换就是对它的增广矩阵进行初等变换；

3.价值类目标：让学生理解消元法的本质，意识到消元法与方程组的初等变换、增广矩阵的初等变换之间的联系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：利用矩阵的初等变换解线性方程组的方法；

2. 难点：矩阵的初等变换。

1. 把中学中消元法与矩阵相联系，初步感受矩阵解法的好处，得出线性方程组的初等变换的本质；

2. 理解对线性方程组进行初等变换就是对它的增广矩阵进行初等变换；

3. 强调解线性方程组时初等列变换不能应用的原因；

4. 掌握将方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵，并根据阶梯形矩阵的不同情况会判断方程组的解的情况。

第17讲 §4.2 矩阵的秩 线性方程组有解的判别法

1.认知类目标：理解矩阵的子式的概念，矩阵秩的定义。掌握矩阵秩的子式求法， 掌握判别线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解的方法；

2.方法类目标：让学生通过子式来理解矩阵秩的概念，理解初等变换求矩阵秩的方法；

3.价值类目标：让学生理解矩阵秩的本质，意识到矩阵的初等变换与矩阵秩之间的联系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：初等变换求矩阵秩的方法，线性方程组有解的判断定理；

2. 难点：求矩阵秩的方法，线性方程组有解的判断定理的证明。

1. 理解矩阵秩的概念是利用子式来定义的；

2. 掌握矩阵秩的子式求法；

3. 掌握线性方程组的解的判定定理；

4. 理解利用矩阵的初等变换求矩阵的秩就是将该矩阵进行一系列初等变换化为阶梯型矩阵，其不为零的行数就是它的秩。

第18讲 §4.3 线性方程组的公式解

1.认知类目标：理解线性方程组的公式解的推理、演算过程，掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别与联系，掌握对含有参数的线性方程组有解、无解的讨论的一般方法；

2.方法类目标：通过线性方程组的解的判定定理，类比推导出齐次线性方程组有非零解的判定定理；

3.价值类目标：让学生理解去掉某些方程对原方程组的解没有影响，更好掌握初等变换的应用，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

1. 重点：掌握齐次线性方程组解的判定定理；

2. 难点：掌握带参数的线性方程组的解的讨论。

1. 复习线性方程组的消元法，线性方程组解的情况；

2. 理解利用增广矩阵的初等变换对方程组进行化简；

3. 了解求线性方程组的公式解总是比较麻烦的，因而在实际问题中，经常使用矩阵消元法。

四、课程考核评价方式和教学目标达成度评价方法

（一）课程考核评价方式

总评成绩100分=闭卷考试成绩80%+过程考核成绩20%

1）闭卷考试80%：根据课程教学目标，重点考核学生对基本知识、重难点知识的理解和应用情况，能反映学生的分析问题、自主学习等能力；考核内容与类型应能支撑课程目标的达成。

2）过程考核20%：过程考核一方面强调学生独立完成作业的重要性，培养学生分析问题、独立思考并解决问题的能力。同时鼓励学生课堂上积极参与讨论、交流，勇于表现自我，提高学生沟通表达等能力，任课教师应充分利用现代化技术方法和手段提高课堂活跃度。

（二）课程目标达成度评价方法

[1]．《高等代数》，张禾瑞，郝炳新主编，高等教育出版社，2007年第五版

[2]．《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社，2007年第二版

学习通及中国大学慕课网等相关学习资源

遵义师范学院图书馆（电子图书190多万册, 纸质文献总量为121万册）

1.参与人：李湘、陈晓艳、何军、冉杰

2.制定依据：依据2019年数学与应用数学专业培养方案制定。

3.执行对象：从2019级学生开始执行。

 硕士研究生入学考试大纲已公布，大家可以根据大纲进行复习。小编给大家整理了“上海财经大学2022年硕士研究生初试自命题科目《807高等代数》考试大纲”相关内容，一起来看下吧!

《高等代数》考试是为招收数学各专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试。它的主要目的是测试考生对高等代数各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有相应的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法和考试时间

高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

三、考试主要内容和考试要求

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