第二节 二重积分的计算 一 直角坐标系中的计算方法 二 极坐标系中的计算方法 一 直角坐标系中的计算方法 计算二重积分的基本思想： 化为两次定积分 o x y a b c d 分别用平行于 x 轴和 y 轴的直线对区域进行分 割，如图。 Δ x Δ y Δ σ 可见，除边缘 外，其余均为矩形，其面 积为 y x ? ? ? ? ? 可以证明： ?? ?? ? D D dxdy y x f 分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关 键。这主要由积分区域 D 所确定。所谓 先积线，后积点 以第一种情况为例加以说明： 如图： o x y a b ) ( 1 x y ? ? ) ( 2 x y ? ? D x 区间 [a,b] 是 x 的取值范围。 在此区间内任取一点 x ， 过该点自下而上作一条平行 于 y 轴的射线， 先 穿过的边界 ) ( 1 x y ? ? 是 y 法一

计算二重积分的几种方法摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在数学分析这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理1 若函数在闭矩形域可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且证明 设区间与的分点分别是 这个分法记为.于是，分法将闭矩形域分成个小闭矩形，小闭矩形记为 设，有.已知一元函数在可积，有.将此不等式对相加，有，其中，即.再将此不等式乘以，然后对相加，有.此不等式的左右两端分别是分法的小和与大和，即 . (1) 已知函数在可积，根据定理有 又不等式（1），有，即类似地，若在闭矩形域可积，且定积分存在，则累次积分，也存在，且.也可将累次积分与分别记为和.定义1 设函数在闭区间连续；函数在闭区间连续，则区域和分别称为型区域和型区域.如下图（1）和（2）所示 . 定理2 设有界闭区域是型区域，若函数在可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且.利用极坐标计算二重积分公式：例1 计算二重积分，其中解 被积函数在R连续，则有 = = = = 例2 计算二重积分，其中是由直线和双曲线所围成，既是型区域又是型区域，如图（3）所示. 解 先对积分，后对积分.将投影在轴上，得闭区间.,关于积分，在内的积分限是到，然后在投影区间上关于积分，即 . 先对积分，后对积分.因为的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式和给出的，所以必须将图（3）所示的区域分成两个区域与，分别在其上求二重积分，然后再相加，即.例3 设函数在上连续，并设求解 因为 所以 所以.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算.定理3若函数在有界闭区域连续，函数组 （2）将平面上区域变换为平面上区域.且函数组(2)在上对与对存在连续偏导数，,有则 （3） 证明 用任意分法T将区域分成n个小区域：.设其面积分别是.于是，在上有对应的分法,它将对应地分成n个小区域.设其面积分别是.根据定理可得，有 ，在对应唯一一点，而.于是， (4)因为函数组（2）在有界闭区域上存在反函数组，并且此函数组在一致连续，所以当时，也有.对（4）取极限，有.例4 计算两条抛物线与和两条直线与所围成区域的面积，如图（4）所示.解 已知区域R的面积.设这个函数将平面上的区域R变换为平面上的区域，是由直线和所围成的矩形域. 由定理3可知, 本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。2.3 极坐标下的换元法例5 计算二重积分，其中如图（5）所示. 解 由于区域由圆的一部分组成，所以可以用极坐标变换来求解.设，则在极坐标下，被积函数为，积分区域为型区域.则有于是有此题是应用极坐标换元法求解的.2.4 应用函数的对称性求二重积分定理4 如果积分区域关于轴对称，被积函数是关于的偶函数，是的位于轴右侧的部分，则有 如果积分区域关于轴对称，被积函数是关于的偶函数，是的位于轴上侧的部分，则有 证明 由于关于轴对称，不妨设y轴将区域分为和，则由二重积分对区域的可加性，得 （5）对积分作换元，即令，则面的区域对应面上的区域，如图（6）所示 又因为是关于的偶函数，于是可得 ，将上式带入（5）式得 用完全类似的方法可证明定理的第二部分.定理5 如果积分区域关于轴、轴都对称，被积函数关于、都是偶函数，是中第一象限的部分，则 证明 由于关于轴对称，不妨设为的位于轴右侧部分，又因为是关于的偶函数，由定理4得 （6）由条件知又关于轴对称，若是的位于轴上侧的部分，且因被积函数是关于的偶函数，由定理4的第二部分得： （7） 由上面（6）（7）式可得.定理6 如果积分区域关于轴（或轴）对称，被积函数是关于 (或)的奇函数，则 证明 由定理4的证明过程得.将上式代入（5）式得.例6 求圆锥截圆柱面所得有界部分立体的体积.解 立体在平面上的投影为根据积分区域是关于轴对称并且被积函数是的偶函数，那么所得立体体积为 ，令，则变为，所以有 .例7 计算二重积分，其中是平面以为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分如图（7）所示. 解 如图（7）所示，作辅助线OB，则 .因区域BOC关于轴对称，且为关于的奇函数，故又因为,而区域关于轴对称，为关于的奇函数，故为关于的偶函数，故.因此2.5 用分部积分法求二重积分 分部积分公式由两个函数乘积的求导公式得到，主要用于被奇函数是两个函数乘积时的积分求法，通常根据被积函数类型按次序“反对幂指三” 作为，其他的凑成，实现积分的转移。 当被积函数仅一类函数，且被积函数的原函数不易找到，一般也用此方法。 定理7 设是在上的连续可微函数，为定义在上的可微函数.如果在区域上有连续可微函数满足 （8）则证明 因为在区域上连续可微，为定义在上的可微函数，由含参变量累次积分的连续性、可微性可得，又由定积分的分部积分法、含参变量积分的连续性和可微性、含参变量累次积分的连续性和可微性得而，因此有即 推论1 设，与其偏导数在区域上连续，为定义在上的可微函数，且，则 证明由定理7知，令即则有： 推论2 设，与其偏导数在区域上连续，为定义在上的可微函数，且，则 例10 计算二重积分，其中区域是由与所围成第一象限的图形. 解 如果先对积分，后对积分， 由分部积分法可得 所以于是. 例11 计算二重积分是由直线及抛物线围成的区域. 解 对于型区域得显然，由上式易求出 .对于型区域得若用一般方法，想要求解非常困难，若用分部积分法，则易得结果.所以用分部积分法可得 3.结论 以上是对二重积分的常用计算方法的总结，通过以上总结使我们对二重积分的计算有了更深入的了解.在以后的计算过程中，我们可以通过函数的不同特点来选择不同的计算方法，以简化计算过程.更多的计算方法与技巧有待于我们今后做进一步的研究与探索.【参考文献】1刘玉涟.数学分析讲义M.高等教育出版社.2010年.第五版2李玲.对称性在二重积分中的应用J.黄山学院学报.2006年.第8卷.第3期3熊明.用元素法把二重积分直接化为单积分J.高等数学研究.2010年.第13卷.第4期4韩红伟.分部积分法在二重积分中的应用J.时代教育.2008年.第1期5孙幸荣.二重积分的分部积分法J.绵阳师范学院学报.2009年.第28卷.第11期Several

 其实也是可以先积θ,再积r的。只不过把直角坐标变换成析坐标时,可以很容易地找出角θ,而且有极坐标系中,也是常用r=r(θ)这一方程,并以之做为标准,因为这个方程也跟我们的日常习惯相符合(我们经常说某某地方在向东xx米处,并不说在xx米的东方处,足以体现长度是角度的函数),可以说这已经是我们的定性思维了,所以我们会感觉对于求一曲线的r=r(θ)方程时,多数情况会比求它的θ=θ(r)方程来得更容易,有时还有可能并不能求出来。
 
由于在求重积分时,先积r时,内积分的上下限需要方程r=r(θ) ,而若是先积θ时,内积分则需要方程θ=θ(r),可以看出后者在大多数情况下都会比前者难求,所以一般我们的首选是先积r再积θ,这在大多数情况下会减少我们的计算量,也符合我们的习惯。
 当然,若是题目要求先积θ,那就另当别论了,不过我觉得这样的题目本身并没有太大意义,因为从本质上来说先积r还是先积θ并没有区别,而只会徒劳地增加计算量而已,没有任何其它的作用。