我知道高阶无穷小的定义，但是如果分子分母两个分别求极限的话都为0

问 你这个问题其实可以归0是不是小这样问题 这边有史：1734年，英国哲学家、大贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。

这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。

他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。

无穷小及其分析是否合理

由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

导致了数学史上的第二次数学危机。

因为0是无穷小 所以你说的2个相加等于0也是满足条件的～～～

为什么（x+√x）与√x是等价无穷小

比值的极限为1，自然是等价无穷小。

至于你提到的加了个X相当于没加，确实是这样，因为比较无穷小的时候，阶数越低地位越高，至于阶数较高的，看成0都没有关系。

相应的，比较无穷大的时候，就变成了阶数越高地位越高，阶数低的同样可以无视

在求级数收敛时什么时候不能用等价无穷小代换

.说明如下：.1、等价无穷小代换，是国内热衷的，甚嚣尘上的计算极限的方法； 在无良、无德、无品的一些教师的炒作下，已经完全走火入魔。

楼主若参加国际考试，请千万谨慎，戒绝使用，以免自毁前程。

国际考试，并不吃这一套。

.2、级数有各种各样的形式，有代数函数式的、三角函数式的、对 数函数式、、、、等等等等，计算它们的收敛域时，就是计算 极限。

而计算极限，在国内的考试中，难免不使用等阶无穷小 代换，教师越lousy，使用率越高。

只要合理，在国内的考试 中，可以大胆使用。

使用时，注意不要出现正负抵消即可。

至 少在可预见的几十年内，等阶无穷小代换，在国内，还不会有 寿终正寝的可能。

还没有人有这样的道德勇气、权力地位，登 高一呼、万众响应的丝毫可能性，只要不继续变本加厉、雪上 加霜就是万幸

微积分中等价无穷小的替换条件到底是什么啊

什么情况下都能替换，就看你取的无穷小的阶是否达到要求，也就是取值是否足够精确。

如求 lim(x→0) (tanx-sinx)\\\/x^3 ，取 tnax=x，sinx=x 就不够精确（虽然得到极限，但极限不正确，这是由于无穷小的阶没取够），应该取到更高阶，也就是取 tanx = x+x^3\\\/3，sinx=x-x^3\\\/6 （再取更高阶也无用，反而增加计算麻烦）这其实就是用泰勒公式，取近似值时看具体问题要求。

什么是数学发展史上的三次危机

数学发展史上的三次危机无理数的发现---　　大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了。

当时的重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。

他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。

这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了。

　　　　到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的通过给比例下新定义的方法解决了。

他的处理不可通约量的方法，出现在第5卷中。

和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。

今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

对古希腊的数学观点有极大冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。

危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是上的一次巨大革命

---　　　　18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

　　　　1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓。

他指出：在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。

这里做了违反矛盾律的手续---先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。

他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。

无穷小及其分析是否合理

由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

　　　　18世纪的的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。

其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

　　直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。

从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

悖论的产生---第三次数学危机 　　　　数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。

这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。

由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

　　　　1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。

两年后，康托发现了很相似的悖论。

1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。

罗素悖论曾被以多种形式通俗化。

其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。

理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。

当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸

如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

　　　　罗素悖论使整个数学大厦动摇了。

无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。

于是终结了近12年的刻苦钻研。

　　承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。

尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。

现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。

所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

当x趋近于0时，e的1\\\/x次方的极限

x趋于0+时1\\\/x趋于正无穷那么e的1\\\/x趋于正无穷x趋于0-时，1\\\/x趋于负无穷那么e^1\\\/x趋于0左右极限不相等所以极限值不存在