考研数学，线性代数，二次型的标准型如何转化为规范型化为标准型，我化成了规范型会扣分吗？

点击联系发帖人 时间：2022-12-03 11:31

二次型的标准型如何转化为规范型

一、线性代数中重要的概念

1.行列式的定义2.代数余子式的定义3.矩阵的定义

4.方阵、三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵的定义

5.矩阵转置、对称矩阵与反对称矩阵

7.矩阵的初等变换和初等矩阵

8.正交矩阵9.正定矩阵

10.矩阵的等价、相似、合同的定义11.方阵的行列式

12.向量组的线性相关及线性无关的定义

13.向量组的极大无关组和向量组的秩的定义

15.齐次线性方程组及基础解系的定义

16.非齐次线性方程组、系数矩阵、增广矩阵的定义

17.特征值、特征向量的定义

18.二次型、二次型的标准形及规范形的定义

19.向量空间、基维数、基变换、过渡矩阵的定义

二、线性代数的重要性质

1.行列式的性质：1-6条

(1)反身性、对称性、传递性

(2)相似矩阵的秩相等

(6)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值

3.逆矩阵、转置矩阵的性质

5.特征值与特征向量的性质

(1)属于不同特征值的特征向量必线性无关

(2)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交

8.初等变换不改变初等矩阵的秩

9.若A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则A，B的行向量组等价，而A中任何k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性

12.通解方程组系数矩阵的秩相等

17.若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关

18.合同一定等价，相似一定等价，实对称矩阵相似一定合同

19.两同阶实对称矩阵相似的充要条件：特征值相同

20.两同阶实对称矩阵合同的充要条件：秩相同，正惯性指数相同

21.两同型矩阵等价的充要条件：秩相同

四、线代中若干基本解题方法

(1)用性质化成三角行列式(2)展开法(3)用矩阵的行列式计算

(4)求特征值(5)利用已知结论

(2)定义法:(不为0的子式的最高阶数

(4)利用线性方程组的有关结论

① 利用齐次线性方程组基础解系含解向量的个数与系数矩阵秩的关系

② 同解方程组的系数矩阵的秩相等

③ 利用非齐次线性方程组有解的充要条件：r(A)=r(A,b)

5.求特征值、特征向量的方法

6.化二次型为标准形的方法

7.证明(判别)向量组线性相(无)关的方法

(1)用线性相(无)关的定义

(2)利用求矩阵的秩的方法

(4)利用一些重要结论

② 部分组相关=整体相关整体无关=部分组无关

③ 向量组所含向量的个数大于维数则相关

④ 向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出

8.证明(判别)矩阵是否为正定的方法

(1)用定义(2)顺序主子式0 (3)证实对称矩阵的特征值全大于0

9.证明矩阵相似的方法

(1)用定义(2)证与同一个对角矩阵相似

10.判断矩阵是否可对角化

(1)A有n个不相等的特征值:A可相似对角化

(2)充要条件:A有n个线性无关的特征向量

三、向量组的线性相关性

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将二次型转换成标准形的方法有很多，除了正交变换法之外，还有配方法。对于同一个二次型，采用不同的变换方法得到的标准形是不一样的。但是，不同的标准形中包含的正项个数与负项个数是相同的。

我们将标准形中正项个数称为正惯性指数，负项个数称为负惯性指数。对于一个实二次型，不管怎样的坐标变换，将其化成标准形，它的正惯性指数与负惯性指数都是不变的，这就是惯性定理。一个二次型的标准形中正、负项的系数是多少并不重要，相比之下，我们更关注的是这些系数中正项与负项的个数。因此，对于一个二次型来说，我们关注的不是它的合同标准形是怎样的，而是关心它的正、负惯性指数是多少。既然如此，我们就在二次型的标准形的基础上，继续化简，得到一个只保留正、负惯性指数的形式，即二次型的规范型。

将标准形中的正项系数化为1，负项系数化为-1，就可以得到二次型的规范型。若一个二次型合同变换变成一个规范型，就将其称为该二次型的合同规范型。

由于，任何一个二次型都可以化成标准形，然后再根据惯性定理得到其合同规范型，所以任何一个二次型都可以化成合同规范型，并且合同规范型是可以确定的。

由此，我们可以得到两个二次型合同的充要条件：两个n元二次型合同的充要条件就是它们的正、负惯性指数相同。因为，每一个二次型都可以合同变换变成合同规范型，若两个二次型合同，他们的合同规范型是相同的，所以他们的正、负惯性指数是相同的。由于，正、负惯性指数其实是正、负特征值的个数，所以，以后我们在判断两个二次型是否合同时，只需判断这两个二次型的正、负特征值的个数是否相同就可以了。

接下来，我们再介绍一种特殊的二次型——正定二次型。

若对任意的非零向量X，都有，这样的二次型被称为正定二次型。从考试角度来讲，正定二次型在这一块的考点只有一个，就是正定二次型的判定。总的来说，二次型的判定方法有三种，每一种有其适用范围。

第一种方法，顺序主子式法。若二次型矩阵的所有顺序主子式均大于零，则该二次型正定。所谓顺序主子式是指，二次型矩阵的前行，前列元素组成的阶行列式。当二次型矩阵中的元素能够写出来时，可以用顺序主子式法。

第二种方法，特征值法。若二次型矩阵的所有特征值均大于零，则二次型正定。若所给的二次型是抽象的，并且题目与特征值或行列式相关时，可以采用特征值法。

第三种方法，定义法。当所给的二次型是抽象的，并且第二种方法不能用时，就可以采用定义法。只要对任意的非零向量X，都有，则二次型正定。

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由题知，二次型 $f$ 的秩为 $2$, 即：

接着，对矩阵 $A$ 进行初等变换：

于是，可知，矩阵 $A^{\top}A$ 的特征值依次为：

进行化简显然是不对的。不过，我们可以对由 $(\lambda E-A^{\top}A)$ 这个整体得来的矩阵进行化简。

于是可知，正交变换 $x=Qy$ 中的矩阵 $Q$ 为：

于是，在正交变换 $x=Qy$ 下，二次型 $f$ 的标准型为：

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