第一章： 行列式的定义与性质

第一章第二次 单元测验

第一章 第一次单元测验

2、n阶行列式的定义（）
    A、n阶行列式表示所有可能取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中元素的行按自然顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号。
    B、n阶行列式表示所有可能取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中元素的行按自然顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取负号，是奇排列则取正号。
    C、n阶行列式表示n行n列的n个元素乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中元素的行按自然顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号。
    D、n阶行列式表示n行n列的n个元素乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中元素的行按自然顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取负号，是奇排列则取正号。

第一章第一次 单元作业

2、利用行列式的性质，计算

3、已知，则和 的系数分别为___和_____

第一章(续)： 行列式的展开和计算，克拉默法则

第一章第三次 单元测验

第一章第二次 单元作业

2、设四阶行列式的第二行的4个元素分别为1,2,-1,-1,它们的代数余子式分别为2,-2,1,0，则行列式D=_________.

第二章：矩阵的定义和矩阵的初等变换

2-1 线性方程组的基本概念随堂测验

2-2 线性方程组的消元法随堂测验

2、用消元法求解方程组时，可以将方程不同未知量的系数加起来。

2-3 利用消元法解一般线性方程组随堂测验

2-4 矩阵的基本概念随堂测验

第二章 第一次单元测验

第二章 第一次单元作业

1、1. 将矩阵化为行最简行矩阵，正确的是：

2、将矩阵化为行最简行矩阵，正确的是：

4、若矩阵为非齐次线性方程组的增广矩阵，则该线性方程组的解为

第二章（续1）： 矩阵的运算

第二章 第三次测试矩阵的概念与运算、逆矩阵 单元测验

第二章 第二次单元测试

第二章 第二次单元作业

3、关于矩阵的运算和性质，下列哪个选项正确？ A. B. C. D.

4、关于矩阵的运算和性质，下列哪个选项正确？ A. B. C. D.

第二章（续2）： 分块矩阵、 初等矩阵、 矩阵的秩

第二章 第四次单元测验

第二章 第三次单元作业

5、对矩阵A进行__________操作，可改变其秩。 A. 转置 B. 初等变换 C. 乘一个奇异矩阵 D. 乘一个非奇异矩阵

第三章： 线性方程组有解的条件、向量组的线性相关性

第三章第一次 单元测验

第三章第一次 单元作业

第三章：线性方程组的结构、向量空间

第三章 线性方程组解的结构 单元测试

1、已知线性方程组， （1）讨论a为何值时，方程组有唯一解、无穷多个解或无解； （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系）.

2、 （1）讨论a,b为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解； （2）在方程组有无穷多解时用方程组对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。

3、 （1）讨论为何值时，方程组有唯一解、无穷多个解或无解 （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系）

第四章： 特征值和特征向量 矩阵的对角化

第四章第一次 单元测验

1、试用Schmidt正交化方法将下列向量组正交化:

4、已知方阵，问a,b,c满足什么条件时，A为正交矩阵。

6、求矩阵的特征值和全部特征向量

第四章：特征值和特征向量 矩阵的对角化

第四章第二次 单元测验

第四章第二次 单元作业

《高等数学 ( 一 ) 》复习资料

8. 当 x 时，下列函数中有极限的是（）。

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1、1,第一节 线性方程组的求解,一、克拉默法则 二、线性方程组的消元法 三、小结,第二章 线性方程组,2,一、克拉默法则,下面是行列式在一类特殊的线性方程组中的应用,利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n， 且系数行列式不为零的线性方程组,3,定理2.1.1(克拉默法则),如果线性方程组,的系数矩阵,的行列式,则方程组(2.1.1)有唯一解,(j=1,2,n). (2.1.2),4,其中,(j=1,2,n).,若线性方程组(2.1.1)无解或有两个以上不同的解, 则,齐次与非齐次线性方程组的概念,常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组,推论2.1.1,5,对

2、于n个未知量n个方程的齐次线性方程组,(2.1.5),(i=1,2,n)为齐次线性方程组(2.1.5)的解,将其称为该方程组的零解.,齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.,6,若齐次线性方程组(2.1.5)的系数行列式 ，,推论 2.1.2,则齐次线性方程组(2.1.5)只有零解.,推论 2.1.3,若齐次线性方程组(2.1.5)有非零解,则其系数,行列式 .,7,例1 解线性方程组,解 因该方程组的系数行列式为,由推论2.1.2, 该方程组仅有零解,8,例2 解方程组,解 方程组的系数行列式为,依克拉默法则知，该方程组的唯一解为,又,9,例3 设齐次线性方程组,有非零解, 试求常数,

3、的值.,有非零解, 试求常数,的值.,有非零解, 试求常数k的值.,解 由定理2.1.2知该方程组系数行列式必为零, 即,k=3方程组有非零解.,10,二、线性方程组的消元解法, 解方程组，就是要通过一系列能使方程组保持 同解的变换，把原方程组化为容易看出是不是 有解并在有解时容易求出解的线性方程组 什么样的变换能使变换前后的方程组满足同解 要求? 同解变换能把方程组化为什么样的简单形式?,11,例4,解线性方程组,解,首先消去第二，三两个方程中含 x1 的项. 为此，将第一个方程的 -2 倍加到第二个方程，第一个方程的 -1 倍加到第三个方程，得到同解方程组,12,然后将第二个方程的 - 4

4、 倍加到第三个方程，,交换后两个方程,再将第三个方程等号两边同乘以 1/3，得到,最后求得方程组的解为,x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 9,13,在例4的解题过程中使用了如下的三种变换,用一个非零数乘以某个方程 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上 交换两个方程的位置,上述三种变换称为线性方程组的初等变换,14,用消元法解方程组实质上是对方程组的系数和常数项进行运算，因此为了简化运算过程的表达形式，可以只把线性方程组的系数按顺序写成一个矩形的数表，方程组（2.1.6）的系数可写成,15,对方程组作初等变换就相当于对增广矩阵作如下的行变换,用一个非零数乘以某一行 将一行的 k

5、倍加到另一行上 交换两行的位置,系数矩阵,增广矩阵,以上三种变换称为矩阵的行初等变换,16,例4的消元求解过程可以用增广矩阵的行初等变换来表示为,求得解为,其中B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵,x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 9,17,例5 解线性方程组,解 对增广矩阵作行初等变换, 将其化为行最简形矩阵,18,原方程组同解的线性方程组为,即,19,线性方程组的解写成下面的形式,其中k1,k2,k3为任意常数,上述解的表达式通常称为原线性方程组的通解,20,例6 求解线性方程组,解 对方程组的增广矩阵作行初等变换,上式中最后一个矩阵的第三行所表示的方程是一个 矛盾方程,故原

6、方程组无解,21,非齐次线性方程组解的判别定理,设线性方程组(2.1.6)的系数矩阵A的秩为r ,AX=的增广矩阵通过行初等变换一定可以化为,(2.1.11),22,对应（2.1.11）的方程组 CX= 为,方程组CX=与原方程组(2.1.6)AX=是同解方程组 只讨论同解方程组CX=解的情况,23,方程组 CX=在有解的情况下,当 r=n 时，方程组有唯一解 x1=d1, x2=d2,xn=dn,(2)当 rn 时,方程组有无穷多个解. 把每行第一个非零元所对应的未知量作为基本未知量.其余作为自由未知量,方程组AX=有解(即CX=有解)的充要条件是 dr+1=0,24,解得,其中,为任意常数

7、,25,n元线性方程组,有解的充分必要条件是,定理2.1.3,设,当 r=n 时，原方程组有唯一解,当 rn 原方程组有无穷多解,下面通过例子说明这个定理的应用,26,例7,t为何值时,下列方程组无解;有唯一解; 有无穷多解？并在方程组有解时求出解,解,对方程组的增广矩阵作行初等变换,27,(1)当t=-3时,28,当t=-3时，原方程组有无穷多解，同解方程组为,令自由未知量 x3 = k 得原方程组的解为,其中k为任意常数,29,(2)t=1时,原方程组无解,(3) t -3 且 t 1时,原方程组有唯一解,30,齐次线性方程组的解,求解方法与非齐次线性方程组相同,(2.1.13),定理 2

8、.1.4,设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵 A的秩为r,那么,(1)当r=n时,方程组AX=0仅有零解 (2)当rn时,方程组AX=0有无穷多解,31,推论2.1.13,若齐次线性方程组中,方程的个数m小于未知量 个数n，则必有无穷多解,定理2.1.5,设A为n阶矩阵,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A|=0,32,试确定常数k的值, 使3元齐次线性方程组,例8,有非零解, 并求出它的所有非零解,对方程组的系数矩阵作行初等变换, 将其化为 行阶梯形矩阵,解法一,33,当b= -3时，R(A)=23原方程组有非零解,34,当b= -3时,与原方程组同解的线性方程组为,因此，原方程组的所有非零解为,其中k为任意常数,35,该题的方程个数与未知量个数相同 可应用定理2