二阶非齐次微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)。其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

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1、第第六六节节 二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性 微分方程微分方程第第八八章章 微分方程微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程的一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。通解结构及特解的可叠加性。本节主要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程 (1)的解法，其中 为常数，是连续函数.它所对应的齐次方程为 (2)(xfqypyyqp,)(xf0ypyqy定理定理1 设设 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 的一个特解的一个特解。是与是与(1)对应的齐次方程对应的齐次方程(2)的通的通解，那么解，那么 (3)是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解的通

2、解。)(*xy()ypyqyf x)(xY)()(*xyxYy一、二阶常系数非齐次线性微分方程的一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。通解结构及特解的可叠加性。由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法在第四节中已得到解决，在这里只要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程特解 的求法。在这里主要讨论 取两种常见形式时，求 的待定系数法。*y)(xf*y1.情形二二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的求解的求解)()(xPexfmx)(xPeqypymx)0()(10 mmmmbxbxbbxP考察二阶常系数非齐次线性方程(4)其中 是常数，是 的一个m次多

4、xQeymx代入(4)式可确定这些系数，从而得到特解要使(4)式两端相等，则 必须为m次多项式，可设(2)是特征方程 的单根，即 ，但 。02qprr02qp02 p)(xQ)()(xxQxQm)(*xxQeymx用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解)(2*xQxeymx(3)是特征方程 的两重根，即 ，且 。要使(4)式两端相等，那么 必须为m次多项式，可设02qprr02qp02 p)(xQ)()(2xQxxQm用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解综上所述，我们可得到如下结论：如果 ，则二阶常系数非齐次线性方程(4)具有形如 的特解，其中 是与 同次的多项式，k是特征方程 中根 的

的实部(或虚部)，即是微分方程(8)的特解：*y*y这样，欲求微分方程 或 wxxPexfmxcos)()(wxxPemxsin)(对 (或 )，利用欧拉公式(或 )的特解，只要求微分方程(8)(或 )。对于微分方程(8)的特解求法，与前面部分相同，即有结论：，)(R

02qprriwiwiw其中 、是m次多项式，k是特征方程 含有复根 的重数.不是特征方程的根，k取0.是特征方程的根，k取1。sin)(cos)()(wxxPwxxPexfnlx 如果 ，则二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解可设为x