摘 要：在一般的微分方程理论中，对于高阶常系数线性微分方程组通常情况下采取待定系数的计算方法，即取指数函数形式的试探解代入，再求解它们的系数，计算较为复杂。本文中，将从线性变换和其共有的线性无关的特征向量的角度出发，用所有可能的线性无关的共同特征向量为基底构造待求方程组的解空间，从而给出一种常系数线性微分方程组的代数解法，与以往的方法相比，结构合理，并且计算较为方便。

关键词：微分方程 线性空间 线性变换 特征向量

我们来讨论形如，这样s个方程构成的方程组。其可写成矩阵形式：

通常，人们寻找形如的s个未知函数，代入后求解。我们将采用另一种方法，在这之前，先给出关于方程（1）的一些性质。

式（2）称作（1）的齐次导出组。若x（t）是（2）的通解，u（t）是（1）的一个特解，则x（t）+u（t）是方程（1）的通解。

我们先考虑方程组解的存在性和唯一性，这利用压缩映射原理可以证明结论i。

再分析齐次方程（2）解的性质和结构，n阶s元线性微分方程组有n×s个积分常数，解空间由n×s个线性无关的解构成。我们要求，方程中任意的，都满足对易式。可以证明方程中的系数矩阵都具有一组共有的特征向量。

证明：n=1时，，取的一组特征向量作为基底，时。矩阵乘法，得，如果没有简并，只要，，，也是对角矩阵，也是的一组特征向量。如果有简并，也就是存在一些特征值，与几个不同的特征向量对应，对每一个属于同一特征值的特征向量而言，对应的矩阵元一般不等于零。把属于同一特征值的几个特征向量进行各种线性组合的结果仍是该特征值的一组特征向量；从中总可以找出一组线性组合使对应的各个非对角矩阵元都等于零。由此可见，这样的情况下还是可以求得一套特征向量是，的共同特征向量。一个构造性的方法如下：定义集合是矩阵所在线性空间V的各个子空间，其维数，特征向量构成的向量组。在这样的基底中，相同特征值出现的次数就是重根的重数。。能够看出，此时矩阵是按对角分块的，只要将每个分块矩阵全部化为对角形式，最后也变成了对角矩阵。用同样的方法，将求出的一组共有特征向量进行线性组合，使之也是的一组特征向量。以此类推，最后求得的一组共有特征向量。进行这样的步骤，等价于将同时化为对角矩阵。

方程组中除了矩阵变换还有从0至n的各阶导数，导数运算是线性运算，并且各阶导数间的乘积运算当然是对易的，。因此集合中任意两个运算都是对易的。则利用上面得到的共有特征向量也可以构造出一组，的共有特征向量（构造方法将在第3部分给出）。

我们将方程组（2）改写成，

， 。假设存在，的共有特征向量顺序与相对应。此时的作用相当于一个常数的乘积。每一个确定的j可以解出共n个根， （3）。因此有n×s个，n×s个，共有的特征向量来构成方程（2）的通解。

用另一种方法表示上述关系，将全部同时对角化得即此时的是共有的特征向量，也是对角矩阵所在线性空间的基底。将看作基变换后的坐标，方程组（2）可写成：

再进行一次基变换，使也变换为对角的线性变换。，容易看出对于第j列一组确定的有n个根，得到s个方程本质和（3）式一样。

我们给出方程组（1）的解法。

（1）找到的s个共有特征向量，即将同时对角化，这时存在有无简并两种情况，即矩阵的特征方程是否存在重根，I是单位矩阵。无简并时，一个特征值对应一个特征向量，共s个；有简并时，每个重根对应的若干线性无关的特征向量，根据谱定理，如果可以对角化则依然存在s个线性无关的特征向量，是所有重根对应的各特征向量。于是得到一组的共有特征向量。

（2）求解s个n次1元代数方程。此时也存在k有无重根的情况，若没有重根，令；若是m重根，则令。这样得到了n×s个线性无关的解向量。

（3）的线性组合就是齐次方程（2）的通解，是所选数域F中的n×s个任意常数。

（4）求（1）的一个特解，用常数变易法，取其第p个分量是的第k个分量。方程（1）可以写成张量方程代入得，求出带回u即得（1）的一个特解，实际计算中通常无法求出。

（5）令就是方程组（1）的通解。

值得一提的是，当s=1时方程（1）退化为：，是众所周知的n阶常系数线性微分方程。

事实上，这就是两个全同固有频率为ω0的一维系统以-αxy耦合的运动方程。

[1] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[5] 張恭庆.泛函分析讲义（上册）[M].北京：北京大学出版社， 2001，12（1）.

[6] （俄罗斯）朗道，（俄罗斯）栗弗席兹，李俊锋，鞠国兴译校.力学[M].北京：高等教育出版社，2007（4）.

[7] 张立全.用压缩映射原理证明常系数线性微分方程组解的存在性与唯一性定理[J].武汉教育学院学报，1997，16（3）.

[8] （俄罗斯）朗道，（俄罗斯）栗弗席兹，严肃译.量子力学：非相对论理论[M].北京：高等教育出版社，2008（10）.endprint

【摘要】：本文主要研究两类问题,一类是非线性微分方程解析解构造方法的改进,一类是解析解构造方法在实际问题中的应用.本工作分为五个章节:第一章,介绍孤子理论,非线性气泡和解析解构造方法的历史及研究现状,并在此基础上给出本文的主要工作.第二章致力于同伦分析方法的改进,分别探讨了两种改进的方式:一种是为了克服传统的多项式表达的同伦分析解通常只在局部区域内有效的问题,本文应用形式幂级数理论,给出了各子区间上解的统一表达式,进而获得了在更大区域内有效的分段同伦分析解;另一种是应用牛顿迭代的思想,将优化的同伦分析解反过来修正初始猜测解,提高了级数解的收敛速度和精度.第三章,通过Hirota双线性方程,构造了非局部Boussinesq方程的拟周期波解,并通过分析其渐近行为给出了拟周期波解与对应孤子解的关系.第四章考虑了在不可压流体中描述气泡运动的Rayleigh-Plesset方程的解析解构造问题.通过不同的构造方法,分别给出了 Rayleigh-Plesset方程不同形式的解析解,并在此基础上分析了运动规律.第五章总结了本文的主要工作,并展望了未来的研究方向.

二阶常系数非齐次线性方程解法

(1) 弹簧的振动问题 欧拉方程的算子解法: 一、 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 例5. 的一特解. 求 求 的通解. 例6. 的一特解. 例7. 求 求解方程 例9. 例8. 求解方程 求解方程 例10. 补例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 * * 第三节 二阶微分方程 §5.3.1 特殊二阶微分方程 §5.3.2 二阶线性微分方程 §5.3.3 二阶常系数线性微分方程 积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数， 可由初始条件确定这两个任意常数. §5.3.1 特殊二阶微分方程 这种类型方程右端不显含未知函数 ，可先把 看作未知函数. 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 例 1. 求方程 的通解. 补例. 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 3. 型 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例 2 求解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解 如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称为二阶线性微分方程. 它的一般形式为 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. §5.3.2 二阶线性微分方程 现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性 质. 事实上，这些性质对 n 阶微分方程也成立. 证毕 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义: 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 ② 也是通解 . 定理 4. 是方程 的解, 分别是方程 的解. 如果 则 与 定理 5. 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程解的叠加原理) 例 1 求方程 满足初值条件 的特解. ? ? § 5.3.3? 二阶常系数线性微分方程 在生产实践可科学实验中，有时需要研究力学系统或电路系统的问题. 在一定条件下，这类问题的解决归结于二阶微分方程的研究. 在这类微分方程中，经常遇到的是线性微分方程. 如力学系统的机械振动和电路系统中的电磁振荡等问题，都是最常见的问题. 1. 两个例子 (1)弹簧的振动问题 (2)电磁振荡 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速