在学习完数项级数(每一项都是确定的数字)及其审敛法后，我们开始学习含有未知数的级数，通常称为函数级数，而这里我们介绍的是幂级数(Power series)及其敛散性的判断。型如：\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots 称为以 x=0 处展开的幂级数；\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\ldots+a_{n}(x-a)^{n}+\ldots 称为以 x=a 处展开的幂级数。注：感觉就是在每一项 a_n 后乘了一个 x^n 或 (x-a)^n 。1.幂级数敛散的判断幂级数中含有未知数 x ,所以其敛散性一般受到 x 取值的影响，而且 x 取值的不同每一项的正负性也不一样，所以这里我们判断敛散性时借助了数项级数绝对收敛(absolute converge)的性质：如果级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 通项的绝对值所构成的正项级数 \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right
收敛，那么原级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 必定也是收敛的。因为 u_n\leq
u_n
，根据比较审敛法(Comparision test)，大敛小敛。进一步，如果把幂级数的每一项都加了绝对值，那么我们就可以仿照正项级数用比值法(Ratio test) \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}
来判定其敛散性了。于是，对于幂级数我们先计算通项比极限 \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\cdot x\right|=\lambda 或\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}(x-a)\right|=\lambda （1）当 0 \leq \lambda<1 时，幂级数收敛；（2）当 \lambda >1 时，幂级数发散；（3）当 \lambda=1 时，敛散性未定，需进行端点验证。注：所以在后面对于收敛区间的端点是要进行验证的，就是把端点值代入原幂级数，通过数项级数的审敛法来判断其敛散情况。2.幂级数收敛半径和收敛区间通过上述式子我们可以发现， \lambda 其实是关于 x 的一个函数，而我们关心的是幂级数的收敛区间也就是 x 取什么值时幂级数收敛，所以可以解一个关于 \lambda(x)<1
的不等式。在解这个不等式的过程中，我们会得到
x|<r 或者
x-c|<r ，那么我们称 r 为该幂级数的收敛半径(Converge radius)。注：好像是在数轴上以0或 c 为圆心，把距离圆心距离不超过 r 的数带入到原级数中，原级数都收敛。那么收敛区间该怎么算呢？其实很简单，知道了收敛半径，我们只需要把
x|=r 或
x-c|=r 的值带入原级数，判断其端点值的敛散情况，那么就知道 x 取哪些值的时候收敛。下面我们通过两道习题来打个样：For what values of x do the following series converge?(a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n}}{2 n}=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{6}}{6}-\cdots (b) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(10 x)^{n}}{n !}=1+10 x+\frac{100 x^{2}}{2 !}+\frac{1000 x^{3}}{3 !}+\cdots 详解：（a） \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right
&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+2}}{2 n+2} \cdot \frac{2 n}{x^{2 n}} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n}{2 n+2}\right) x^{2}\\ &=x^2 \end{aligned} 于是， x^2<1\Rightarrow
x|<1 收敛半径为 1 ，接下去判断端点值，当 x=1 时，原级数变为 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n} ，根据交错级数审敛法，该级数收敛；当 x=-1 时，原级数变为 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n} ，同理，该级数收敛。于是，原级数的收敛区间为 [-1,1] 。（b）\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_{n}}\right
&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{|10 x|^{n+1}}{(n+1) !} \cdot \frac{n !}{|10 x|^{n}} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{|10 x|}{n+1}=0 \end{aligned} 于是，原级数对于所有的 x 都收敛。注：可能这个不太好理解为什么极限为0，这里我们可以这样想，当 x 取特定值时，那么就是一个定值比上无穷，那么极限就等于0。3.总结及注意点综上，我们可以发现计算幂级数的收敛半径或者收敛区间其实就是解 \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_{n}}\right|<1 这样一个不等式。这里还有一个注意点：对幂级数的每一项进行求导和积分，得到的新级数收敛半径与原级数一样，但是收敛区间会不一样。这里我们通过一道Barron题来看一下：(AP Cal BC Barron Model Test 2)Let f(x)=(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(x-1)^{3}}{9}+\frac{(x-1)^{4}}{16}+\cdots The interval of convergence of f'(x) is ？详解：这里我们先写出 f(x)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n^2} ，那么 f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n-1}}{n} 接下去我们计算一下 f'(x) 与 f(x) 的收敛半径及收敛区间：首先考虑 f'(x) \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_{n}}\right
&=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{(x-1)^n}{n+1}}{\frac{(x-1)^{n-1}}{n}}\right|\\&=|x-1|<1 \end{aligned} 于是收敛区间为 1 ， 0<x<2 接下去带入端点值当 x=2 时， \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ，发散；当 x=0 时， \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} ，根据交错级数审敛法，收敛。综上， f'(x) 的收敛半径为1，收敛区间为 [0,2) 。接下去考虑 f(x) \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_{n}}\right
&=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{(x-1)^n}{n^2}}\right|\\&=|x-1|<1 \end{aligned} 于是，收敛区间为1， 0<x<2 接下去带入端点值当 x=2 时， \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ，收敛；当 x=0 时， \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} ，根据交错级数审敛法，收敛。综上， f(x) 的收敛半径为1，收敛区间为 [0,2] 。于是，我们就可以发现 f'(x) 与 f(x) 收敛半径相同，但是收敛区间不同。其实，我们发现幂级数的收敛半径与区间还是比较容易的，就是算一个极限解一个不等式就可以了，大家会算极限、熟悉数项级数审敛法就可以了。今年AP微积分BC改成45分钟简答题了，这部分大家还是要重视一下，因为考察了幂级数其实也同时考察了数项级数，因为端点值的敛散判断就是数项级数的判断。想了解更多国际数学竞赛及课程的知识，可参阅：}

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展开全部利用阿贝尔定理：1、如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。2、反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。如果幂级数不是仅在x0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在，使得（1）当|x|小于R时，幂级数绝对收敛；（3）当|x|大于R时，幂级数发散；（3）当|x|等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。扩展资料：幂级数的和函数的性质：性质一：幂级数的和函数s（x）在其收敛域I上连续。性质二：幂级数的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
收起展开全部幂级数Σa_n*x^n（n从0到+∞）在收敛半径之内绝对收敛，在收敛半径之外发散。在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散。所以面对一个幂级数应该首先求出它的收敛半径，然后判断收敛区间端点上的敛散性。而因为区间端点对应确定的x值，此时的幂级数就变成了一个数项级数，因此按照数项级数的审敛准则来判断敛散性，例如p-级数、交错级数等。
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