因为你希望有加法的交换性。如果我们不要求交换性，那么可以有： \omega = 1+\omega < \omega+1 至于你说的一样大是为什么，其实也很简单，甚至不需要引入基数的一一对应的直觉，我们在序数的层面上就可以看到原因了： \omega = 1 +\omega
。与其说那些技术细节的问题，不如这样说，当我们得到新序数的时候，有两种完全不同的路径。一种是以后继的形式定义，比如说 S(n) = n\cup\{n\} ，这种情况下“最大”的概念是存在的。新加进去的这个 n 就是这个后继序数下的最大元。而在极限的情况下，因为不存在最大的概念，所以我们根本就不需要考虑所谓的最大的元素是多少，而从这个意义上来说，你从 0 开始，从 1 开始，从 2 开始，……从葛立恒数开始数，“一直下去直到最大的那个”是不存在的，但是如果仅仅是“一直下去”，那你得到的玩意儿都是一个相同的 “ \omega ”。1.希尔伯特旅馆悖论假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。或许有人会认为此时这一旅馆将无法再接纳新的客人（如同有限个房间的情况），但事实上并非如此。有限个新客人设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间，以此类推，这样就空出了1号房间留给新的客人。重复这一过程，我们就能够使任意有限个客人入住到旅馆内。无限个新客人另外，我们还能使可数无限个新客人住到旅馆中：将1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到4号房间、n号房间原有的客人安置到2n号房间，这样所有的奇数房间就都能够空出来以容纳新的客人。无限个客车且每个客车有无限客人我们甚至能够将可数无限个客车上的人（其中每个客车上有可数无限个客人）安排进旅馆。不过，这需要有一个前提条件：所有客车上的每个座位都已经编好了次序（即旅馆管理员对客人的安排满足选择公理）。首先，如同前面一样将所有奇数房间都清空，再将第一辆客车上的客人安排在第3*2^n号房间（n=1, 2, 3, ...）、第二辆客车上的客人安排在第5*2^n号房间（n=1, 2, 3, ...），以此类推，将第i辆客车上的客人安排在第p*2^n号房间（其中，p是第i+1个质数）。另外，还能够通过客车的车牌号与客人的座位号来解决这一问题。先将旅馆设为第0号客车，然后将车牌号与座位号交替书写，即能得到客人的房间号码。如果客人是在1729号房间则移动到01070209号房间，如果客人是在198号客车上的4935座则移到第4199385号房间。这一问题虽然被称作“悖论”，但事实上它并不矛盾，而仅仅是与我们直觉相悖而已。在有无限个房间时，“每个房间都客满”与“无法入住新的客人”两者其实并不等价。无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然总是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所假想的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的集合的势与包含所有奇数号房间的子集的势相同。事实上，无限集合都拥有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。对于可数集，其势记为（阿列夫零）。另外，我们还可以说，对于任意可数无限集，都存在由这一集合至自然数集的双射，即便这一集合（如有理数集）本身就包含了自然数集。2.无穷大的数学定义设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。}

两者区别很大，我们知道实数轴这条直线向两边无限延长，正负无限大的数不管多大它还是在实数轴上，而无穷大不在实数轴上，它们在超实数轴上，实数轴只是超实数轴的一部分，无限大的极限属于第二类极限的内容，同样存在很多复杂几何结构，这种几何结构是庞大的实数空间几何，需要借助超实数轴去理解，会涉及到非实数的超实数与实数的奇点（边界）问题，会发现存在很多的实数不在标准分析的框架里，连续统假设存在两类反例，并且连续统假设跟两类极限思想都有冲突。总之，无穷大对应的数的绝对值大于任何一个实数，无限大对应的数在实数轴上。}