显然一根绳子能承受的最大拉力为100N，要是超过了100N它就会断裂，所以当人用的力是100N时，绳子就会断裂了，虽然左右两边的人是100N合力为零但是对于绳子是一个受力的物体，在人拉的过程中他始终是一个受力的物体，当外力到达它所承受的极限就损坏，这时仅仅是看到合力为零是不全面的分析方法，谢谢。物理友人两个人各100N时会断掉。合力为0只能说明物体静止或匀速直线运动，而这里绳子受力相当于一端绳子固定，另一端用100N拉，这两个是等效的。所以绳子能否被拉断就看其中一端的拉力（如果两端拉力相等的话）}

机械振动是高中物理的力学部分里比较特殊的运动类型，复杂的数学计算比较少，重点在于掌握最基本的运动模型，理解运动过程中牛顿运动定律发挥作用的方式，要能够根据物理模型和牛顿定律做出定性的判断和与之相应的数学处理。学习机械振动需要具备高中数学三角函数的基础。机械振动非常重要，它是后面将会学习的机械波的基础。一、生活中的机械振动先从现实生活中的例子直观感受下什么叫做机械振动，之后再来研究课本上的物理定义。机械振动在现实中很常见，比如荡秋千、老式摆钟的钟摆、拉或压弹簧后松手，都是机械振动。以荡秋千为例，一个小朋友坐在秋千上，大人用力一推，把秋千向后推到一个高度，然后松手，秋千顺着圆弧向前划下来，升到一个高度之后停下，又后退着划回去，如此这般不停地划来划去，高度越来越低，直到停下来（理想状况下如果没有能量的损耗秋千会一直荡下去）。钟摆也是类似，从左边摆到右边，再从右边摆到左边，好像从来都不会停下来。弹簧是后面研究分析的对象，这里就不描述了。总而言之，机械振动是一种物体具有某个初始状态（把秋千推高、把钟摆抬高，拉或压弹簧）之后，“自然而然”“来来回回”“不停重复”的感觉。二、机械振动的定义课本对机械振动的定义：物体在某一中心位置所做的往复运动叫做机械振动。逐一分析关键词：物体：机械振动的研究对象通常是宏观物体，或者可以等效看作是宏观物体的微观粒子。某一中心位置：有一个位置，不是2个或多个，这个位置是物体运动的中心，物体以该位置为中心做往复运动。往复运动：往：过去；复：回来；过去又回来。 合并在一起：物体以某个位置为中心，过去又回来，过去又回来，过去又回来......结合前面举的具体例子：秋千，就是秋千的座椅这个物体，以它的最低点这一中心位置，荡到前面又荡到后面，荡到前面又荡到后面，荡到前面又荡到后面......钟摆，就是钟摆这个物体沿，以它的最低点这一中心位置，摆到左边再摆到右边，摆到左边再摆到右边，摆到左边再摆到右边......弹簧，后面细讲。接下来将要展开的机械振动是在理想状况下：没有任何的摩擦，没有运动损耗，只有最为朴素的牛顿运动定律和已经明确给出的力在起作用。三、机械振动的过程用弹簧作为具体例子来说明机械振动的全过程3.0 原始，静止如上图，弹簧的一端固定在墙上，另一端连接一个小球，可以通过拉或推小球来拉伸或者压缩弹簧，遵循胡克定律，左右来回自由运动。将弹簧处于没有受到外力情况下的自然状态时，小球所在的位置规定为坐标原点（O点），以水平向右为正方向建立数轴，这样就能将小球的运动和受力状况转化为数字进行计算。3.1 拉长，静止现在，用力将小球拉到右边A点处，假设A点坐标为a（单位：米），相当于弹簧被拉长了a米。此时能明显地感觉到弹簧在把小球往左边拉，因为弹簧发生了弹性形变，具有恢复到发生形变前的趋势，这个趋势的具体表现就是产生了回复力，力的大小符合胡克定律F=ka，大小与形变的方向相反。这里首次出现了回复力，对于做机械振动的物体，它始终受到一个使它回到中心位置的力，这个力叫做回复力。回复力是按照这个力的作用效果命名的，它可以是弹力，也可以是电磁力，也可以是万有引力，或者其他的力。对于正在使用的弹簧的例子，它的中心位置就是弹簧出于自然状态下的位置O点。3.2 突然松手，开始返回这时，突然松手，在弹簧产生的回复力的作用下，小球从静止开始突然向左加速运动。根据胡克定律，随着小球向左前进逐渐接近O点，弹簧的弹性形变越来越小，小球受到的回复力越来越小，加速度也越来越小。虽然回复力越来越小，但是小球在回到O点之前始终是做加速运动的，只是加速度在逐渐减小，速度增加得越来越慢，但速度始终是在增加的。3.3 回到O点 继续向左当小球到达O点时，弹簧的弹性形变为0，弹力为0，小球在这一瞬间不受到弹簧的作用，加速度为0。此时小球依然具有向左的速度，此时速度为最大值（为什么是最大？后面会解释，最好这里能先想出来）。3.4 越过O点，继续向左当小球越过O点后，它仍然具有向左的速度，继续向左运动。但是此时弹簧的弹性形变是向左的，弹簧处于被压缩的状态，弹簧有恢复自然长度回到O点的趋势，因此弹簧产生的弹力是向右的，此时小球具有向右的加速度，与速度的方向想法也就是减速度，小球向左运动的速度越来越小。在通过O点前，小球做加速运动；在通过O点后，小球做减速运动。因此小球在通过O点的瞬间速度达到最大值。3.5 抵达最左端，开始返回随着小球继续向左运动，弹簧被压缩得越来越厉害，弹性形变越来越大，小球受到的向右的加速度（减速度）越来越大。直到某个时刻，小球的速度变为0。此时它抵达运动的最左端，设该点为B，在此处小球由向左运动转变为向右运动，在抵达该处的瞬间速度为0。同时，弹簧抵达被压缩得最厉害的时刻（位置），即压缩导致弹性形变最大的位置。由于没有任何损耗，OB=OA=a。根据胡克定律，此时弹力（回复力）为最大值，与小球在A处时的回复力大小相同、方向相反。小球此时的加速度也为最大值，与在A处时的加速度大小相同、方向相反。3.6 返回途中小球在弹簧拉力的作用下，向右做加速运动，速度始终逐渐增大。由于越来越接近O点，弹性形变越来越小，加速度越来越小。尽管加速度越来越小，但是小球始终是在做加速运动，因此速度越来越大，只是方向相反。这阶段的状态与3.2突然松手，开始返回之后相似。3.7 再次经过O点小球再次通过O点时，弹簧的弹性形变再次为0，回复力再次为0，小球的加速度再次为0，小球的速度再次为最大值，方向向右。这一瞬间与3.3 回到原点 继续向左相似。3.8 再次越过原点，继续向右小球再次越过O点后，弹簧由压缩状态变为拉伸状态，具有向左的弹力，随着弹簧被继续拉长，弹性形变越来越大，向左的弹力也越来越大。此时小球具有向左的加速度，加速度越来越大，速度逐渐减小，减小得越来越快。3.9 回到起始状态小球回到A点的瞬间，速度减为0。此时弹簧被拉伸到最长，与3.2 突然松手，开始返回的一瞬间的状态相同，弹力达到最大值，小球的加速度也达到最大值。接下来小球将继续重复前面的过程，开始不断的过去又回来，过去又回来，过去又回来，永不停歇。四、机械振动的图像（简谐运动）4.1 简谐运动有一类机械振动，运动物体（质点）所受的力的大小跟位移成正比、方向相反，总是指向平衡位置，这样的运动叫做简谐运动。在简谐运动中，中心位置也叫作平衡位置。做简谐运动的物体（质点）的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的位移-时间（s-t）图像是正弦曲线。这个运动关系的函数是通过数学推导并验证的，也经过实验测量验证。前面描述的弹簧阵子在没有能量损耗的情况下，做的就是简谐运动。前面对机械振动的回复力、加速度、速度做了定性的观察，接下来将进行定量的讲解。简谐振动是高中物理中最为重要和常见的机械振动。4.2 简谐运动的位移-时间（s-t）图像、速度-时间（v-t）图像、加速度-时间（a-t）图像简谐运动的位移-时间、速度-时间、加速度-时间3个图像之间有非常强的关联性，同时分析3个图像会更容易理解。接下来依次给出3个图像，按照 三、机械振动的过程 中 3.2-3.9 的过程一并分析。用上面弹簧+小球的模型，以弹簧在不受任何外力时小球所处的位置（中心位置或平衡位置）为原点，向右（拉长的方向）为正方向。最大位移为a，最大速度为vmax，最大加速度为amax，分别描绘位移-时间（s-t）图像、速度-时间（v-t）图像、加速度-时间（a-t）图像，如下所示：图4-1 位移-时间（s-t）图像图4-2 速度-时间（v-t）图像图4-3 加速度-时间（a-t）图像图4-1为位移-时间（s-t）图像，按理说应该是一个非常典型的正弦函数，但是这里看上去是余弦函数。这是因为我们的例子中是把位移最大时作为时间的0点，如果把位移为0时作为时间的0点，就是标准的正弦函数。正弦函数和余弦函数的图像相差半个相位。图4-2为速度-时间（v-t）图像。图4-3位加速度-时间（a-t）图像，根据牛顿第二定律，也可以看作是回复力-时间（F-t）图像。把正弦函数相差半个周期）图4-2为速度-时间（v-t）图像，也是正弦函数，不过是倒过来的。现在开始对照上面三幅图像重讲 三、机械振动的过程。3.2 突然松手，开始返回对应3副图像中的红色0时刻，此时弹簧被拉到最长，弹性形变最大。位移为最大值a（s-t图）。速度为0（v-t图）。加速度（和回复力）为最大值，与位移方向相反，为负（a-t图）。3.3 回到O点，继续向左对应橙色的T/4时刻，质点逐渐从位移最大处返回原点，弹性形变由最大逐渐变小，最终为0。位移从a逐渐变为0。速度从0逐渐增加到最大值，由于是向着负方向运动，因此速度为负（-vmax）加速度（和回复力）由最大逐渐变小，最终为0。3.4 越过O点，继续向左对应橙色的T/4到绿色的T/2之间的一段，质点经过原点继续前进，弹性形变由0逐渐增加。位移从0逐渐增大为-a。速度在回复力的作用下从-vmax逐渐减小到0。加速度（和回复力）随着弹性形变的增加逐渐增大。3.5 抵达最左端，开始返回对应绿色的T/2时刻，质点抵达左边的最远端，弹性形变再次到最大。位移再次增大到最大，不过方向是负的，为-a。速度在此刻变为0，即将从向左移动转变为向右移动。加速度（和回复力）在此时再次随着弹性形变变为最大而达到最大，方向与位移相反，因此为正。3.6 返回途中对应绿色的T/2到蓝色的3T/4之间的一段，质点从左边的最远端向右边移动，逐渐接近原点，弹性形变从最大逐渐减小。位移从负的最大（-a）逐渐减小为0。在向右的回复力的作用下，获得了向右的加速度，速度从0逐渐增加。加速度（和回复力）在此阶段随着弹性形变的减小而逐渐减小，方向始终为正。3.7 再次经过O点对应蓝色的3T/4时刻，此时弹性形变再次为0。在原点处位移为0。此时速度再次到达最大值，且方向为正。加速度（和回复力）都为0。3.8 再次越过原点，继续向右对应蓝色的3T/4到红色的T之间的一段，此时小球越过原点，继续向右前进，弹性形变从0开始逐渐增大。位移从0开始逐渐增大。在弹簧回复力向左拉扯的作用下，速度逐渐减小。加速度（和回复力）因为弹性形变的逐渐增大而逐渐增大。3.9 回到起始状态对应红色的T时刻，与3.2 突然松手，开始返回（红色的0时刻）状态相同位移回到最大值a。速度再次减小为0。加速度（和回复力）再次为最大值，与位移方向相反，为负。不断重复前面3.2-3.9的过程，运动状态的周期性与三角函数的周期性相一致。五、描述简谐运动的物理量5.1 振幅做简谐运动的物体（质点）离开平衡位置的最大距离叫作振幅。振幅是距离，不是位移，只能是正的，比如上面例子中就是|OA|=|OB|=a振幅是距离，标准单位为米（m）。振幅没有固定的代表字母。5.2 周期做简谐运动的物体完成一次全振动的时间叫作周期。周期通常用字母T表示。周期是时间，标准单位为秒（s）。所谓完成一次全振动就是从某个运动状态开始再次回到该运动状态，必须位移、速度、加速度都必须相同，不仅仅是大小相同，方向也要相同。比如在T/4和3T/4时刻，虽然位移都为0，加速度都为0，速度大小相同（都为最大值），但是由于速度的方向不同，因此从T/4到3T/4的过程并不是一个周期。从T/4到(T+T/4)的过程才是一个周期。振动的周期在数学上与对应图像的三角函数的周期是相同的。5.3 频率做简谐运动的物体每秒钟完成的周期数叫作频率。频率通常用字母f表示。频率的标准单位为赫兹（Hz）。频率与周期之间的关系为f=1/T。假设完成1个周期的时间长度为t秒，那么1秒能够完成的周期数就是1秒/t秒=1/t（次）。可以得知，频率的单位赫兹（Hz）其实就是1/s，即1Hz=1/s。其实频率完全可以很简单地被周期替代表示，但是由于使用习惯和为了方便的缘故，很多时候仍会使用频率。5.4 相位相位的概念在高中阶段很难有非常直观的理解，可以简单地理解为是做简谐运动运动物体的在某时刻的状态。相位的含义更多地是由“相位差”来体现。比如有两套完全相同的弹簧+小球的装置，当松手启动第一个装置后，等它第一个周期进行到一半（处于3.5 抵达最左端，开始返回状态）的同时，松手启动第二个装置，这样一来在任何时刻，这两个装置的状态都都相差半个周期。此时我们称第二个装置落后于第一个装置半个周期（如下图所示）。六、简谐运动的数学表达既然简谐运动的位移-时间关系遵从正弦函数，那么很容易写出它的数学表达：x=A sin(\omega t+\varphi) x是因变量，为质点的位移，标准单位为米（m）。t是自变量，为时刻，标准单位为秒（s）。A为振幅，通常为正值，标准单位为米（m）。可以看出，x的最大值和最小值分别为A和-A。ω与周期有直接关系，并且只与周期有关系，关系为：ω=2π/T，由此可知其单位为1/s。这组关系简要推导如下：周期是从某个状态再次到该状态的时间，即对任意的t都要满足：A sin(\omega t+\varphi)=A sin(\omega (t+T)+\varphi) 于是 [\omega t+\varphi]-[\omega (t+T)+\varphi]=2\pi 永远成立，化简后可得ω=2π/Tφ表示初始的时刻，即当t=0时，质点处于什么状态。比如前面举的错开时间松手启动两个相同装置的例子，第一个是在最远端启动的，其函数关系为：x_{1}=a sin(\omega t+\pi/2) 第二个是在第一个启动后半个周期后再启动的，其函数关系为：x_{2}=a sin(\omega (t-π/\omega)+\pi/2) （因为T=2π/ω，因此T/2=π/ω。第二个装置是延迟启动的，相当于函数沿着x轴向右移动，因此是减号。）化简后可得： x_{2}=a sin(\omega t-\pi/2) 七、单摆在机械运动（四）常见运动类型中简单地讲了单摆，现在来详细地研究。7.1 单摆把一根没有重量的绳子（或直杆）的一端固定住，绳子可以沿这个固定点自由地来回摆动。绳子的另一端系上有质量的重物，保持绳子自然伸长的情况下，把重物推到某个不太高的高度静止，然后突然松手，这个系着重物的绳子开始来回摆动，这个模型叫做单摆。现实中的荡秋千很接近单摆。单摆模型有几个关键：绳子（或杆）没有质量（或可忽略），末端的物体有重量形状可忽略，绳子或杆可以沿着固定点（沿着某个方向）自由来回摆动，抬起的角度不大（θ通常不大于10°），整个系统没有摩擦力和阻力，摆动的幅度不太大且只在某个平面内摆动。7.2 单摆的回复力单摆的模型如上图所示，绳长为l（黑色），假设角度为θ（很小），则红色小球偏离平衡位置（O点）的位移为x（蓝色）。由于绳子被拉起的角度非常小，三角形AOB可以近似地看作是O为直角AB为斜边的直角三角形，于是有sinθ=x/l对于小球的重量mg，它在指向平衡位置的分力为mg·sinθ，即回复力的大小与偏离平衡位置的关系为：F=mg·sinθ=mgx/l，令mg/l=k，则该式可化为F=kx。二者方向相反，位移与回复力的关系式与弹簧振子相同，因此也是简谐振动。根据数学和力学计算，单摆周期的公式为 T=2\pi\sqrt{l/g} ，周期只与绳子的长度有关。这个计算高中数学还无法求出，得在大学系统学习微积分后才能推导。7.3 用单摆求重力加速度根据数学推导出的公式 T=2\pi\sqrt{l/g}，用实验测定周期T和绳长l之后，可以用该公式计算出重力加速度。这个计算本身没有难度。这里非常重要的方法在于：通过物理定律和数学公式的推导，可以通过测量一些比较容易测量的数据，比如该例子中的周期和绳长，来求出一些难以或无法测量的常数，比如重力加速度。高中物理的万有引力常数、高中化学中的阿伏伽德罗常数等非常多的数据都可以用这种思路比较准确地求出。八、外力作用下的机械振动前面介绍的振动都是在理想状况下的，没有外力影响，没有能量损耗（后面会详细讲“能量”），在现实中是不存在的。现实中的振动要么外力影响和能量损耗非常小，在一定范围内可以忽略不计，近似得用上面的模型来处理。要么就是如下两种状况：阻尼振动和受迫振动。8.1 阻尼振动在现实中，秋千荡上几个或十几个来回，最终会停下来。摆钟需要定期或不定期的给它上发条，否则最终也会停下来。弹簧在来回弹若干个来回后，最终也会回复到平衡位置，不再振动。这是由于受到摩擦力、空气阻力等因素，在振动过程中，实际上的回复力是比理想状况下小的，产生了能量的损耗，使得运动最终停止。这种振幅越来越小的振动叫作阻尼振动。8.2 受迫振动由于在摩擦力、阻力等的作用下，振动最终会停下来，那么可以根据振动的特点，周期性地给它提供外力，使其维持周期运动。比如秋千每次荡下来的时候再适当地推一把，定期给摆钟上发条，这样振动就能长期地维持下去了。这种周期性地添加用于维持振动的外力叫作驱动力。驱动力是根据里的作用效果命名的力，它的来源可以是推力，可以是电磁力，也可以是其他力。依靠驱动力所维持的振动叫作受迫振动。8.3 固有频率与共振做简谐运动的物体所受到的回复力，是它所在的系统本身所提供的，与外界环境无关。比如弹簧的弹力、单摆受到重力的分力，都是给定一个初始状态后，不再添加任何其他的力。做简谐振动的物体的振动频率（周期），也只与系统本身有关，比如弹簧阵子之于该弹簧本身的弹性系数k有关。这个由系统本身所决定的频率叫作该系统的固有频率。做受迫振动的物体，它是在周期性施加的驱动力的作用下振动的，它振动的频率完全由驱动力决定，与固有频率无关。比如一个秋千，可以近似看作是单摆，有它的固有频率。但是推秋千的人可以按照自己想要的频率推秋千，秋千实际上振动的频率完全是由推秋千的人决定的。在实际试验和生活中发现，当驱动力大小确定时，如果驱动力频率越接近固有频率，那么振动的幅度越大。当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振幅达到最大值，这种现象叫作共振。}