怎么做...
怎么做
展开
选择擅长的领域继续答题？
{@each tagList as item}
${item.tagName}
{@/each}
手机回答更方便，互动更有趣，下载APP
提交成功是否继续回答问题？
手机回答更方便，互动更有趣，下载APP
展开全部',getTip:function(t,e){return t.renderTip(e.getAttribute(t.triangularSign),e.getAttribute("jubao"))},getILeft:function(t,e){return t.left+e.offsetWidth/2-e.tip.offsetWidth/2},getSHtml:function(t,e,n){return t.tpl.replace(/\{\{#href\}\}/g,e).replace(/\{\{#jubao\}\}/g,n)}},baobiao:{triangularSign:"data-baobiao",tpl:'{{#baobiao_text}}',getTip:function(t,e){return t.renderTip(e.getAttribute(t.triangularSign))},getILeft:function(t,e){return t.left-21},getSHtml:function(t,e,n){return t.tpl.replace(/\{\{#baobiao_text\}\}/g,e)}}};function a(t){return this.type=t.type
"defaultTip",this.objTip=s[this.type],this.containerId="c-tips-container",this.advertContainerClass=t.adSelector,this.triangularSign=this.objTip.triangularSign,this.delaySeconds=200,this.adventContainer="",this.triangulars=[],this.motherContainer=i.createDom("div"),this.oTipContainer=i.getDom(this.containerId),this.tip="",this.tpl=this.objTip.tpl,this.init()}a.prototype={constructor:a,arrInit:function(){for(var t=0;t0&&function(t,e,n,r){var i=document.getElementsByClassName(t);if(i.length>0)for(var o=0;o展开全部lim(z->0) f(z)/(2z)=(1/2)lim(z->0) f(z)/z=(1/2) f'(0)=(1/2)(2-i)
本回答被提问者采纳
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：
下载百度知道APP，抢鲜体验使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。扫描二维码下载
×个人、企业类侵权投诉
违法有害信息,请在下方选择后提交
类别色情低俗
涉嫌违法犯罪
时政信息不实
垃圾广告
低质灌水
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。说明
做任务开宝箱累计完成0
个任务
10任务
50任务
100任务
200任务
任务列表加载中...
}

阅读之前建议有微积分基础，基础好的同学建议从第三大部分开始看。一，什么是复数？首先，我们从一个二次函数开始说起。ax^2+bx+c=0 我们在初中都学过，要想方程有解必须满足b^2-4ac\geq0 但为了让方程在 b^2-4ac<0 的时候有解，我们发明了复数， i^2=-1 , i 为复数单位z=a+bi
其中
a 为实部， b 为虚部二，复数与复数平面（1）复数的四则运算加法： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 减法： (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 乘法： (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 除法： \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i （2）共轭复数与绝对值 复数 z=a+bi
的共轭复数表示为 \bar{z}=a-bi 共轭复数满足以下关系\bar{(\bar{z})}=z
2. \bar{(z_1\pm z_2)}=\bar{z_1}+\bar{z_2} 3. \bar{(z_1z_2)}=\bar{z_1}\bar{z_2}
4. \bar{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}} 复数 z=a+bi 的绝对值表示为 \left
z \right|=\sqrt{a^2+b^2} \left
z \right|^2=z\cdot \bar{z}
2. \left
z_1\cdot z_2 \right|=\left
z_1 \right|\cdot\left
z_2 \right
（3）复数平面与实数一样，复数存在的平面我们称之为复数平面（或高斯面）复数平面上两点距离表示为 \left
z_1-z_2 \right|=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2} （4）极形式与指数形式除了用实部和虚部表示复数以外，我们还有另一种方式来表示复数--极形式z=a+bi=r(cos\theta+isin\theta) 其中 a=rcos\theta ， b=rsin\theta r=\left
z \right
, \theta=argz 极形式的乘除可以表示为z_1z_2=r_1r_2(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2) =r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)] \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+isin(\theta_1-\theta_2)] 我们再介绍一个定理——棣莫弗定理即 z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta) 除了极形式以外，复数还有一种指数形式e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta
(欧拉公式)z=a+bi=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} \bar{z}=e^{-i\theta} 三，复变函数及其微分（1）初识复变函数复变函数就是复数为变量的函数，表示为w=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y) 复变函数的极限性质与实数函数的极限性质相同。已知 \lim_{n \rightarrow ∞}a_{n}=\alpha, \lim_{n \rightarrow ∞}b_{n}=\beta ，则有(1) \lim_{n \rightarrow ∞}ka_{n}=k\alpha (2) \lim_{n \rightarrow ∞}(a_{n}\pm b_{n})=\alpha\pm \beta (3) \lim_{n \rightarrow ∞}(a_{n} b_{n})=\alpha\beta,
\lim_{n \rightarrow ∞}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\alpha}{\beta} （2）复变函数的微分与正则函数我们以 f(z)=z^2 为例，来理解复变函数的微分f(x+iy)=z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy 对 x 进行偏微分( 即 x 方向上微分)，得到\frac{\partial f(x,iy)}{\partial x}=2(x+yi)=2z 对 iy 进行偏微分（即 y 方向上微分），得到\frac{\partial f(x,iy)}{\partial (iy)}=\frac{1}{i}\frac{\partial f(x,iy)}{\partial y}=\frac{2}{i}(-y+ix)=2z 任意方向上的增分（注意是增分，不是微分）则可以表示为\Delta f(x,iy)=(x+\Delta x+i(y+\Delta y))^2-(x+iy)^2 =2(x+iy)(\Delta x+i\Delta y)+(\Delta x+i\Delta y)^2 根据微分的极限定义，任意方向上的微分就可以表示为\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{\Delta f(x,iy)}{\Delta x+i\Delta y}}=\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}}=\frac{df}{dz}=2z 因此，在 z=z_0 处，如果极限值 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}} 存在，我们称 f(z) 在 z_0 处微分可能，极限值为f(z) 在 z_0 处的导数（微分），写作 f'(x) 微分可能的函数，我们叫做正则函数。 如果 f(z) 在 z_0 处微分不可能，我们称 z_0 为 f(z) 的特异点。（3）柯西黎曼方程首先，以 z=x+yi ， f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 为例（1）如果 \Delta z 沿实轴变化，则 \Delta z=\Delta x , \Delta y=0 f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{u(x+\Delta x ,y)-u(x,y)}{\Delta x}}+i\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{v(x+\Delta x ,y)-v(x,y)}{\Delta x}} =\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x } （2）如果\Delta z 沿虚轴变化，则 \Delta z=i\Delta y , \Delta x=0 f'(z)=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}{\frac{u(x ,y+\Delta y)-u(x,y)}{i\Delta y}}+i\lim_{\Delta y \rightarrow 0}{\frac{v(x ,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y}} =-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y } 如果 f(z) 在全领域微分可能，则上述(1)(2)两式应该一致。即 f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x }=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y } 所以正则函数的实部与虚部满足下列关系, \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y } ,
\frac{\partial v}{\partial x }=-\frac{\partial u}{\partial y} ，这就是柯西黎曼方程。因此，复变函数要想微分可能，就必须满足其本身的连续性与柯西黎曼方程。（4）拉普拉斯方程与调和函数在柯西黎曼方程的基础上，我们再对方程两边再求偏微分，得到\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y} ,
\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2v}{\partial y\partial x} \frac{\partial ^2v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} ,
\frac{\partial ^2v}{\partial y^2}=\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x} 整理一下，得到\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=0 ， \frac{\partial ^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2v}{\partial y^2}=0 上述的偏微分方程，我们称之为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的解我们称之为调和函数。四，正则函数及其相关性质（1）零点与极零点：使 f(z)=0 的点 z_0 称为 f(z) 的零点。如果点 z_0 为f(z)=0 的 k 重解，则我们称z_0 为f(z)=0 的 k 位零点。极：定义一个有理函数 R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} , 特异点 z_0 为 Q(z) 的 k 位零点时，
这个点 z_0
我们称为 R(z) 的 k 位的极。（2）指数函数，三角函数与双曲线函数指数函数：复数变数 z 的指数函数 e^{z} , 可以写成 e^z=e^x(cosy+isiny)
根据柯西黎曼方程，得出 e^z 为正则函数。三角函数：三角函数也可以写成指数函数结合的形式，
即 cosz=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) ,
sinz=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) 双曲线函数：同样双曲线函数也可以用指数函数的形式表示。sinhz=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}) ,
coshz=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}) （3）洛必达法则以复变函数 f(z) 为例，用正则函数 h(z) 和 g(z) 表示f(z)=\frac{h(z)}{g(z)} 如果极限 \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)}=\lim_{z \rightarrow z_0}{\frac{h(z)}{g(z)}} 出现 \frac{0}{0} 的形式，我们则称之为不定形。不定形的极限我们可以通过对 h(z) , g(z) 分别求导得到即 \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)}={\frac{h'(z_0)}{g'(z_0)}} （此公式为洛必达公式）如果一次求导不行的话，我们还可以求更多次导。即 \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)}=\lim_{z \rightarrow z_0}{\frac{h'(z_0)}{g'(z_0)}}={\frac{h''(z_0)}{g''(z_0)}} 五，复变函数的积分（1）复数积分首先我们在复数平面选取两点 P，Q ，两点连接的曲线为 C C 用参数 t 表示为 z=z(t)=x(t)+iy(t) 复变函数 f(z) 沿曲线 C 的积分 I 表示为I=\int_{C}^{}f(z)dz=\int_{t_1}^{t_2}f(z(t))\frac{dz}{dt}dt 图像表示为C 称为复数积分的积分路径（2）复变函数积分性质a. \int_{C}^{}[\alpha f(z)+\beta g(z)]dz=\alpha\int_{C}^{}f(z)dz+\beta\int_{C}^{}g(z)dz b. \int_{C}^{}f(z)dz=-\int_{-C}^{}f(z)dz c. \int_{C}^{}f(z)dz=\int_{C_1}^{}f(z)dz+\int_{C_2}^{}f(z)dz （下图左）d. 环路积分 \oint_{C}^{}f(z)dz=\oint_{C_1}^{}f(z)dz+\oint_{C_2}^{}f(z)dz
(上图右)本节最后介绍一个常见的积分公式（后面还会见到）\oint_{C}^{}(z-\alpha)^ndz=\begin{cases}{0(n\ne-1) \\2\pi i(n=-1)}\end{cases} （3）柯西积分定理复变函数 f(z) 在闭曲线 C 围成的领域 D 内正则且连续则有 \oint_{C}^{}f(z)dz=0
成立。注：a. 复变函数的积分只与始末位置有关，与积分路径无关。
b. \oint_{C_1}^{}f(z)dz=-\oint_{C_2}^{}f(z)dz
（如下图）单连结领域：一个封闭曲线围成的领域。六，柯西积分公式与留数定理（1）柯西积分公式f(z) 在单连结领域 D 内正则，取 D 内任意一点 \alpha ，\alpha 周围的闭曲线 C
在领域 D 内，则有f(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(z)}{z-\alpha}dz （2）导函数的柯西积分公式根据柯西积分公式，点 z 对应的 f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d \xi同样，在 z+\Delta z 处有 f(z+\Delta z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(\xi)}{\xi-(z+\Delta z)}d\xi那么，导数就有，\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}=\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{1}{2\pi i\Delta z}\oint_{C}^{}[\frac{f(\xi)}{\xi-(z+\Delta z)}-\frac{f(\xi)}{\xi-z}}]d\xi 左右分别化简，得到f'(z)=\lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z-\Delta z)}d\xi f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}d\xi 一阶导数是这样，同样依次类推，我们可以得到高阶导数的柯西积分公式为f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi （3）留数定理之前我们在第五章第三节介绍了柯西积分定理，本节我们要讨论一下柯西积分定理中 f(z) 存在特异点的情况。首先，我们给出一个函数 f(z) ，特异点为 z_0 f(z)=\frac{\alpha_{-m}}{(z-z_0)^m}+\frac{\alpha_{-m+1}}{(z-z_0)^{m-1}}...+\frac{\alpha_{-1}}{(z-z_0)}+h(z) 然后两边同时沿闭合曲线 C 环路积分（运用第五部分第二节最后的公式）得到 \oint_{C}^{}f(z)dz=2\pi i\alpha_{-1} 此时，我们成这个 \alpha_{-1} 为留数。写作 Resf(z_0) 或 Res[f]_{z=z_n} 留数定理： f(z) 在闭合曲线 C 的内部存在特异点 z_1,z_2,...z_n ,
除去这些点，f(z) 在闭合曲线 C 的内部正则且连续的话，
则有
\oint_{C}^{}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{Resf(z_k)}留数求法a. 运用公式\alpha_{-1}=Resf(z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \rightarrow z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}{[(z-z_0)^mf(z)]} b. 如果 z_0 为 f(z) 的一位极，则有Resf(z_0)=\lim_{z \rightarrow z_0}{(z-z_0)f(z)} （4）实数定积分相关接下来我们介绍三种与与初等函数相关的定积分a. \int_{0}^{2\pi}f(cos\theta,sin\theta)d\theta 此类积分我们一般通过置换来解决，即设 z=e^{i\theta} 由此
cos\theta=\frac{1}{2}(z+z^{-1}) , sin\theta=\frac{1}{2i}(z-z^{-1}) 原式 \int_{0}^{2\pi}f(cos\theta,sin\theta)d\theta=\frac{1}{i}\oint_{C}^{}f(\frac{z+z^{-}}{2},\frac{z-z^{-}}{2i})\frac{dz}{z}再根据留数定理 原式就变为 2\pi \sum_{n=1}^{r}{Res[\frac{1}{z}f]_{z=z_n}} 例题： \int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+bcos\theta}(a>b>0) 设 z=e^{i\theta}，原式变为 \frac{2}{i}\oint_{C}^{}\frac{dz}{bz^2+2az+b} 一位的极为 z_\pm=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-b^2}}{b} 但只有 z_+ 在单位圆内，所以根据留数定理\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+bcos\theta}=\frac{2}{i}\oint_{C}^{}\frac{dz}{bz^2+2az+b}=\frac{1}{i}\cdot 2\pi iRes[\frac{2}{bz^2+2az+b}]_{z=z _+}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} b. \int_{-∞}^{∞}f(x)dx \int_{-∞}^{∞}f(x)dx=2\pi i \sum_{k=1}^{m}{Resf(z_k)}
（ z_k 虚部 > 0）推导过程省略，想知道的欢迎私信。例题： \int_{-∞}^{∞}\frac{dx}{x^2+a^2}（a>0） 第一步求得一位的极为 x_{\pm}=\pm ia 根据上面的公式，极要满足虚部大于0，所以只有 z_+ 结果为 \int_{-∞}^{∞}\frac{dx}{x^2+a^2}=2\pi iResf(z_+)=\frac{\pi}{a}c. \int_{-∞}^{∞}f(x)e^{iax}dx (a>0) \int_{-∞}^{∞}f(x)e^{iax}dx=-2\pi i\sum_{k=1}^{r}{Res[f(z)e^{iaz}]_{z=z_k}}（ z_k 虚部 < 0 且 a<0 ）\int_{-∞}^{∞}f(x)e^{iax}dx=2\pi i\sum_{k=1}^{r}{Res[f(z)e^{iaz}]_{z=z_k}} （ z_k 虚部 > 0）同样推导过程省略，想知道的欢迎私信例题： \frac{1}{2\pi i} \int_{-∞}^{∞}\frac{e^{iax}}{x-ib}dx
( b>0 )求得一位的极 z=ib ，根据公式得到\frac{1}{2\pi i} \int_{-∞}^{∞}\frac{e^{iax}}{x-ib}dx
=\begin{cases}{e^{-ab}(a>0) \\0
(a<0)}\end{cases} 上式思考一下 b\rightarrow 0 的极限， \lim_{b \rightarrow 0}{e^{-ab}}=1
得到\lim_{b \rightarrow 0}{}\frac{1}{2\pi i} \int_{-∞}^{∞}\frac{e^{iax}}{x-ib}dx =\theta (a)
这个 \theta(a)=\begin{cases}{1(a>0) \\0(a<0)}\end{cases} 就是阶梯函数（step function）题目就是阶梯函数的积分表示七，级数展开（1）幂级数与收束半径幂级数我们一般可以理解为无穷个幂函数相加，常见的形式为 \sum_{n=0}^{∞}{a_nz^n} 当 n 趋近于∞时，如果幂级数极限存在，我们称这个幂级数收敛。例： f(z)=\sum_{n=0}^{∞}{z^n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z} \left
z \right|<1 时极限存在， f(z) 收敛。此时，我们称 1 为 f(z) 的收敛半径收敛半径 r 可以通过下列公式求得a. \lim_{n \rightarrow ∞}{\sqrt[n]{\left
a_n \right|}}
存在时， \frac{1}{r}=\lim_{n \rightarrow ∞}{\sqrt[n]{\left
a_n \right|}} b. \lim_{n \rightarrow ∞}{{\left
\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}} 存在时， \frac{1}{r}=\lim_{n \rightarrow ∞}{{\left
\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}} （2）泰勒(Taylor)展开与麦克劳林(Maclaurin)展开首先，我们来看一下函数 f(z) 上点 z 沿闭合曲线 C 的环路积分f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(w)}{w-z}dw 其中 \frac{1}{w-z} 可以稍微无限展开，得到\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)}=\frac{1}{w-z_0}\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{w-z_0}} =\frac{1}{w-z_0}[1+\frac{z-z_0}{w-z_0}+...]=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^{n+1}}} 代回原式，得到 f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{} \sum_{n=0}^{∞}{\frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^{n+1}}}dw =\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{∞}{(z-z_0)^n}\oint_{C}^{}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}dw 上式右边的环路积分，根据导函数的柯西积分公式\oint_{C}^{}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}dw=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0) 代回原式，得到f(z)=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)(z-z_0)^n}
=f(z_0)+\frac{1}{1!}f^{(1)}(z_0)(z-z_0)+... 这就是函数 f(z) 以 z=z_0 为中心的泰勒展开其中 z_0=0 时又叫麦克劳林展开接下来，我们来看一些初等函数的泰勒展开a. f(z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n}=\sum_{n=0}^{∞}{z^n} b. f(z)=e^z=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)z^n=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{1}{n!}z^n}} c. f(z)=cosz=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}} d. f(z)=sinz=\sum_{n=0}^{∞}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}} （3）洛朗（Laurent）展开这个展开我们不推导，直接看公式。（想知道推导过程的同学欢迎私信）f(z)=\sum_{n=0}^{∞}{a_n}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{∞}{a_{-n}(z-z_0)^{-n}} a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(w)dw}{(w-w_0)^{n+1}}
(n=0,\pm1,\pm2,...) }