一、圆锥曲线的第二定义平面上到一个定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离之比是一个常数 e 的点的轨迹是圆锥曲线，其中点 F 是它的焦点，直线 l 是它的准线，比值 e 是它的离心率。 当 0<e<1
时，轨迹是椭圆；当
e>1 时，轨迹是双曲线；当
e=1
时，轨迹是抛物线.二、直角坐标系下圆锥曲线的统一方程如图建系： 图中：设坐标原点 O
为焦点 F ， l 为准线， l 的方程为 x=-p . 动点 M 的轨迹为圆锥曲线，且 MH\bot l 。由定义得： \frac{|MF|}{|MH|}=e ，
MH|=|x+p
，
MF|=|MO|=\sqrt{x^2+y^2} ;可得 e|x+p|=\sqrt{x^2+y^2} ，两边平方之后整理可得：(1-e^2)x^2+y^2-2pe^2x-p^2e^2=0 .这就是圆锥曲线在直角坐标系中的统一方程. 其中点 F 为椭圆的左焦点，双曲线的右焦点，抛物线的焦点（开口向右）； p 为焦点到准线的距离： p=|c-\frac{a^2}{c}|=|\frac{c^2-a^2}{c}|=|\frac{b^2}{c}
；如果是抛物线， p 就是抛物线方程中的 p .三、极坐标系下圆锥曲线的统一方程如图建系：其实只是把M的坐标换了一下，y轴留作参照上面直角坐标系的方程推导之后，极坐标的就好算了，还是按照上面的计算。设坐标原点 O
为焦点 F ， l 为准线，
OK|=p . 动点 M 的轨迹为圆锥曲线，且 MH\bot l 。点 M 到 y 轴的距离为 \rho \cos{\theta} ，
OK|=p ，那么就有
MH|=\rho\cos\theta+p e=\frac{|MF|}{|MH|}=\frac{\rho}{\rho \cos{\theta}+p} ，整理可得：\rho=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}} .这就是圆锥曲线在极坐标系中的统一方程. 其中点 F 为椭圆的左焦点，双曲线的右焦点，抛物线的焦点（开口向右）； p 为焦点到准线的距离： p=|c-\frac{a^2}{c}|=|\frac{c^2-a^2}{c}|=|\frac{b^2}{c}
.极坐标系中的焦点弦长公式设焦点弦为 AB ， A,B 两点均在圆锥曲线上， A(\rho_1,\theta) ， B(\rho_2,\theta+\pi)，那么
AB|=\rho_1+\rho_2=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}}+\frac{ep}{1-e\cos{(\theta+\pi) }} ，化简可得：|AB|=\frac{2ep}{1-e^2\cos^2{\theta }} ①.其中 e 为离心率，p 为焦点到准线的距离： p=|c-\frac{a^2}{c}|=|\frac{c^2-a^2}{c}|=|\frac{b^2}{c}
， ep=\frac{b^2}{a} 为半通径.如果是抛物线， p 就是抛物线方程中的 p .将 e,p 代入之后，可得：|AB|=\frac{2ab^2}{|a^2-c^2\cos^2{\theta}|} ②.题目今年（2022）新高考一卷的填空压轴题，可以用极坐标系的焦点弦长公式秒：（2022新高考一卷16）已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ， C 的上顶点为 A ，两个焦点为 F_1，F_2 ，离心率为 \frac{1}{2} ，过 F_1 且垂直于 AF_2 的直线与 C 交于 D,E 两点，
DE|=6 ，则 \triangle ADE 的周长是______________.打字匆忙，如果有错误，敬请指出。}