所有积分都是同宗同源，不妨就说一下高数中常见积分的几何意义。定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。———————————————————已经不怎么玩知乎的我看到以前随手的一个回答竟然有一百个赞，而且还有追更hhh，那我就更一个在积分中比较有用的技巧——升维。升维就是在算一重积分的时候把他变为二重积分，而且这种方法在算一些没有初等函数形式的积分时很有用。升维的好处就在于每升一维方法就更多，比如定积分只有一个牛顿—莱布尼茨公式，而二重积分就有了极坐标，三重积分有了柱坐标，球坐标等等。放两个大家都熟悉的例子。此函数没有初等函数形式的原函数 通过平方升维求解该函数也没有初等函数形式的原函数 通过和其他函数升维求解 可以把这个用来升维的函数记住 有的时候会有意想不到的收获简单来说哈，一个函数的积分就是它与x轴围成的面积。那么如果一个函数有两个自变量（意思这个函数表示一个曲面），那么它的二重积分表示了这个曲面到某一平面投影，构成的物体的体积。看评论还有一些三重积分的问题，那我继续说
一次积分的本质为微元法，什么意思呢，我们都知道积分里面含有dx，意思是在一个函数f(x)在x轴方向分割成无限小段，每一小段的长度就是dx，f(x)表示函数值，不妨理解为这个矩形的长度，那么f(x)dx就是这个很窄的矩形的面积，前面再加一个积分号，表示求和，因此一次积分表示这个曲边梯形的面积。
那么二重积分呢，我们可以类比，顾名思义是有两个维度也就是dx dy，不妨把dx理解成长度，dy理解成宽 ，被积函数f(x,y)理解成高，那么f(x.y)dxdy就是这样一个细长长方体的体积，再来个积分号，表示这个区域内曲顶物体的体积了。
Ok那么三重积分呢，同样可以类比成dxdydz，那么算上被积函数f，一共有4个量，不妨可以把f理解为某一点的密度，dxdydz就表示某一点的体积，那么相乘就是这一点的质量，所以三重积分的几何意义就是一个不均匀物体的质量。评论中提出二重积分是不是三重积分的一种特例，我们可以这样来思考，被积函数f恒为1时，那么对1的二重积分1dxdy为高度恒为1的平顶柱体，也就是他的底面积，讨论面积的问题当然可以从二重积分降为一次积分去讨论。同样，对1进行三重积分，那么1dxdydz就可以理解为密度恒为1的物体的质量，也就是他的体积。既然是体积，那么理论上同样可以降维到二重积分讨论了，不过需要注意的是，上述我们理解二重积分讨论的是曲顶柱体，也就是侧面恒垂直于底面，不能用于不规则物体。那么不规则物体就不能研究了吗？当然不是，一切的思路都起源于微元法，我们可以通过各种方式拆分计算，再积分求和，当然这需要更多的计算和理解，就先不阐述了。}