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π的历史作者简介: 张功耀:张功耀， 1956年11月生，男，湖南人，现为科学技术与社会发展研究所所长，教授，硕士研究生导师，主攻科学技术哲学与科学技术史。（中南大学科学技术与社会发展研究所，长沙，410083）内 容 提 要本文从π的符号、计算方法和实数性质的证明三个方面全景式地勾画了π的发展史。历史表明，中国的圆周率计算发展到公元五世纪就已经停滞不前了。而西方数学界却一直孜孜不倦地发展了关于π的理论与计算方法。关键词：π ；历史文献1－8均已不同程度地论及了π的历史，但都未触及其思想。它们都将π理解为“圆周率”（为简便计，以后出现这个概念时不再加引号）。尽管圆周率在表面上是一个可以说得过去的概念，但是，它似乎并没有被国际数学界所接受。至少，在英文版的数学术语辞典中没有圆周率这个词。事实上，把π解释成圆周率蕴含了一个逻辑循环：圆周率决定圆的周长；圆的周长又反过来决定圆周率。有鉴于此，本文的讨论从历史上如何使用“π”这个符号开始。一、关于“π”的不同用法现在我们都使用π作为圆周率的默认符号。但是，π这个符号在历史上却拥有“周长”、“圆周长”、圆周率三个不同的数学含义。相传，公元前225年，Archimedes就已经使用过π表示一个数学实体。但是，至今没有人知道，Archimedes的π是什么含义？[9]π的语源含义，取自希腊语πειφερεια（“周围”之意）的第一个字母。第一个在数学中使用这个符号的可能是英格兰数学家、发明家William Oughtred（）。他最早于1647年，将π用来表示任意一个几何图形的“周长”[10]，圆周率则用 表示[11]。稍后，英国数学家、神学家、牛顿的指导教师Issac （）也师从William Oughtred在“圆的周长”的意义上使用了符号π。1706年，英国数学家Willianm Jones（）在他的《最新数学导论》（Synopsis Palmariorum Matheseos）一书中用π表示3.14159...。[12]但是，Willianm Jones不是在圆周率的意义上使用这个术语的。最早把π当作圆周率来使用的可能是牛顿。我们已知，用定积分写出的π，依据周长是： ；依据面积是： 。不过，迄今没有证据证明，牛顿是否使用过这个术语。以后，J•伯努利（John Bernoulli ，）曾经使用过C来表示这个数值[13]，L•欧拉（Leonhard Euler,）也曾使用过P（1734年）和C（1736年）来表示我们今天的π[14]。1736年，欧拉在对正弦函数进行级数展开时，使用了π。但是，他不是在圆周率的含义上来使用这个符号的。他从研究正弦函数 出发，写出了这个级数和的表达式（限于篇幅，演绎过程从略）：。这样，π就有了一个与求级数和相关的数学内含，而且第一次有了精确的定量表达。1742年， Goldbach（）正式将π作为与圆周相关联，其数值大致为3.1415926….的符号来使用了。欧拉的著作公开出版以后，这种用法便被数学界普遍接受了[15]。但是，即使是欧拉，也没有把π＝3.1415926….定义为圆周率。二、关于π值的表达式迄今为止，π值的表示法已经不下40种[16]。其中的数学含义，不外圆周率和级数和两类。一、古代关于π值的计算方法。显然，古代数学家是有一个朦胧的圆周率概念的。公元前2000年的巴比伦人认为圆周率的值是3或 。稍后，埃及人将圆周率的值定为 ，此公式的原式现在仍可见于林德纸莎草纸书（Rhind Papyrus）。将它写成小数就是3.16049。在，公元前5世纪的Anaxagoras (500BC~428BC)研究了一个有趣的几何学问题：求作与一已知圆相等面积的正方形。这是古希腊三大数学难题之一。很明显，要解决这个问题，必须首先解决圆周率的问题。因此，极有可能Anaxagoras是最先精确地研究圆周率的人。但是，流传下来的史料尚不足以使我们了解其细节。公元前240年，在他的论文《圆的量度》中记载了这样一个方法：从圆内接和外切正六边形开始，每次把边数加倍，用一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆周，从而求得圆的周长与其半径之比。Archimedes求得了圆内接与外切正九十六边形的周长，得到 。在古印度宗教建筑方法中，有一种“绳子规则”，它给出的π值是：。这个数值等于3.088，比π=3精确不了多少，但在计算方法上明显有着自己的特色。此外，在老那教（公元前6世纪在印度兴起的一种宗教）的经典中，还可以找到另外一个圆周率π =3.162。我国最早的圆周率是“径一周三”的古率。但是，《九章算术》在计算圆的面积时，却不用这个古率，而是按“半周半径相乘得积步”的经验方法来计算[17]。此后，数学史家曾经用以今演古的方式研究刘歆时期铸造的律嘉量斛上的铭纹，断定汉代的圆周率是π=3.1547。[18]这种以今演古的研究方法实不足取。依笔者之见，中国数学史上真正意义上的圆周率是从刘徽开始的。公元263年，三国时代的刘徽首创了利用圆的内接正多边形的面积接近与圆的面积的方法来计算圆周率，即割圆术。刘徽的割圆方法，概括为一般的几何学问题，实际上就是求解单位圆内接正n边形和外切正n边形与圆周率的关系。以 An、Bn 分别表示单位圆内接正n边形和外切正n边形的面积，则有下列两式成立：； ，并且， 。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周和体，而无所失矣。”（《九章算术•方田》）他的方法是以1尺为半径作圆，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出正十二边形、正二十四边形、正四十八边形和正九十六边形的面积，舍弃了分数部分后得 。后人为纪念刘徽，称这个数值为“徽率”。据《隋书•律历志》记载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，胬数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈胬二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最著也。所著之书名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”其中，密率π＝355/113是祖冲之独创的。1912年，日本数学家三上义夫提出将这个数值称为“祖率”。1585年，荷兰数学家Adriaen Anthoniszoon（）巧合性地重新得出了π 的“祖率”。 但是，这个纪录很快就被突破了。1593年，法国数学家Francois Viete（）利用 计算π值正确到了第九位。同一年，Adriaen van Rooman（）利用 230 (=1,073,741,824) 边形又计算到了第15位。1610年，德国的Ludolph
Geuleu（）用2 边形计算到小数点后第35位。这一工作几乎耗费了Ludolph毕生的精力。他去世以后，人们为了纪念他，将这一π值铭刻在他的墓碑上，并称为Ludolph数。1621年，Willebrod Snell 使Archimedes求解π值更加精确。1630年，π值被精确计算到了小数点后39位。这是用古老的几何方法计算π值的最后的而且是较为重要的尝试。以上列举可知，17世纪以前的π值是圆周率。令人遗憾的是，中国历史上关于π 值的计算发展到公元5世纪就停滞不前了。二、17世纪以后的π值计算。17世纪，随着分析学的建立和扩展，人们相继发现了许多有关π的表达式。例如1656年，英国数学家，微积分学的先驱者John Wallis（）发表《无穷代数》，把π表达成 。此后，1671年James Gregory发现反正切数列之后，Gottfried Wilhelm Leibniz于1673年发现了 …。这个级数通常又被称为Leibniz-Gregory-Madhava级数。1737年，Leonhard Euler利用反函数 ，根据Gregory的展开式将右边展开为：这就是有名的欧拉级数。1844年L.K. Schulz von Stassnitzky 和Johann Dase使用了下面的公式，将π的值计算到小数点后205位：，1874年英国数学家William Shanks利用Machin公式：（其实，以上的Leibniz-Gregory-Madhava级数就是该式 的情形）将π算到了707位小数。1945年， D.
Ferguson用手工计算机对William Shanks的结果进行了核查，他发现William Shanks的π值在第528位错把5写成了4，结果后面的计算全错了。1947年，Ferguson 用一年的时间计算出了精确到小数点以后808位的π值。1996年，加拿大西蒙•富拉泽大学（Simon
）的Peter Borwein，Simon Plouffe）和David
合作共同发现了π值另外一种表达式：这是目前世界上最新的关于π值的表达式。俗称“数列”。值得注意的是，所有这些都写成了级数和的形式，而且它们都不是从古代那种计算圆周率的算法中得出来的。从这里可以看出，正如e是数列 当n趋近于无穷大时的极限一样，π也是某些数列或级数的极限，其中包括计算圆周率所得的那些极限。这可能是π真实的数学意义所在。三、计算机时代对π值的计算。1946年，世界上第一台电子计算机问世。从此，π值的计算速度直线上升，π值的精确位数也越来越多。详见下表：计算机时代对π值的计算一览表完成者 完成时间 小数点后的精确位数 所使用的计算机
Desk calculatorFerguson, Wrench
calculatorSmith, Wrench
Desk calculatorReitwiesner et al.
Nicholson, Jeenel
NORACFelton
PEGASUSGuilloud
704Guilloud, Bouyer
7600Miyoshi, Kanada
FACOM M-200Tamura
MELCOM 900IITamura, Kanada
M-280HGosper 26200 SYMBOLICS 3670Bailey 60111 CRAY-2Kanada, Tamura
51 HITACHI S-820/80Chudnovskys 229270 未详Kanada, Tamura 1225466 未详Kanada 2450938 未详Kanada, Takahashi
HITACHI SR2201Kanada, Takahashi
HITACHI SR8000资料来源：A chronology of pi，http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~/HistTopics/Pi_chronology.html三、关于π是无理数和超越数的证明一、关于π 是无理数的证明。1761年
Lembert（）最早证明了π 是无理数。详细叙述Lembert的证明过程是冗长的。事实上，他首先证明了将 写成连分式的展开形式，当x是一个非零的正整数时， 是一个无理数。因为 ，这就意味着 是一个无理数。此后，还有Legendre（1794年）, Hermite （1873年）, Nagell（1941年）, Niven（1947年）, Struik（1969年）,K&nigsberger（1990年）, Schr&der （1993年）, Stevens （1999年）给出过“ 是一个无理数”的证明。值得顺便指出的是，关于 是无理数证明至今并没有被推翻。国内有媒体报道说，π已经被证明为一个有理数。这是不负责任的哗众取宠。读者当细心辨之。二、关于 是超越数的证明。当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不管这个数是实数还是复数，则这个数都可以被定义为代数数。否则，就是超越数。这就是说，如果存在非零的有理数 使得方程 成立，我们就说式中的 是一个代数数。而当 为一个超越数时，这个数就不是任何一个含非零的有理数系数的多项式方程的根。1882年，德国数学家 Lindemann () 证明，圆周率 就是这样一个超越数。这个证明回答了古代希腊的一个重要的数学难题：在欧几里德空间里面，不可能获得与一个圆的面积完全相等的正方形。Lindemann的证明是冗长的。即使要对它进行简化表达，也依然十分困难。1955年，Felix
曾经给出过Lindemann证明的简单描述。事实上，早在1873年，Hermite就已经率先证明了自然对数的底 是一个超越数。就是说，不可能存在这样一个有限方程： ，式中的 和 等各项均为非零的有理数。把这个定理中的非零系数项，推广为代数数的情况，证明在 和 等各项均为代数数的情况下，也不存在 的方程。由形状如此的欧拉方程 判断，其中 和其他系数为0，此时 ，均为代数数，所以 必不为代数数，而应该是一个超越数。但 为代数数，故 为一超越数。参 考 文 献[1]、吴文俊主编，中国数学史大系（M），北京师范大学出版社，1999年版。[2]、梁宗巨，世界数学史简编（M），辽宁人民出版社，1980年版。[3]、（日）堀场芳数著，π的奥秘（M），，1998年版。[4]、王幼军、金之明编著，著名数学家和他的一个重大发现（M），山东科学技术出版社，1998年版。[5]、, C.H., The Historical Development of the Calculus（M）,Springer-verlag,1979.[6]、, M.H.,The Origins of the Infinitesimal Calculus（M）, Dover, 1987.[7]、, T.L.,A History of Greek Mathematics（M）, Vol.II, , 1981.[8]、Boyer, C.B., A History of Mathematics（M）, Revised by U.C. Merzbach, John Wiley & , INC., 1991.[9]、Merriam-Webster New International Dictionary, 2nd , article "Pi."[10]、Florian Cajori, A History of Mathematics（M），New York: Macmillan, 1929, p. 158[11]、W. W. Rouse , A
Account of the History of Mathematics（M），London: Macmillan, 1935,
394[12]、Smith, History, Vol. II, p. 312. Also, David Eugene , ed., A Source Book in Mathematics(1st edition) （C）,New York: McGraw-Hill, 1929,
346-347[13]、W. W. Ball, Mathematical Recreations & Essays (C)，revised by H. S. M. Coxeter，New York: Macmillan, 1947), p. 338.[14]、David Eugene Smith, ed., A Source Book in Mathematics (1st edition)（C） ,New York: McGraw-Hill, 1929, p. 312[15]、 W. Ball, Mathematical Recreations & Essays (revised by H.
M. Coxeter) (New York: Macmillan, 1947), p. 338 ；
Eugene Smith, ed., A Source Book in Mathematics (1st edition) （C），New York: McGraw-Hill, 1929， p. 522[16]、putation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html[17]、《九章算术》（M）第一章云：“今有圆田，周三十步，径十步，问田几何。答曰：七十五步。术曰：半周半径相乘得积步。”其中，没有提到圆周率。[18]、钱宝琮：，中国数学史（M），科学出版社，1981年，第66页。A
Of PiBy zhang gong-yao( Of ,
University,Changsha,410083)This paper have perfectly outlined a historical
of pi by discussing the symbol of pi introduced, the calculations of pi, and the proving out the characters of pi as a transcendental, irrational real
in its history . According to the conclusion of the paper, it is very clear that the development of pi have had been stagnated since the fifth
in China and, while on the contrary, the
world of mathematics have kept developing without stagnation the calculating
and ways for the pi. : history
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而二百五则就是“半封”，而“半封”又与“半疯”谐音，装疯卖傻，所以现在用来形容人半疯半傻二百五古代把500两银子叫做“一封”
1．“东道国”的由来
“东道国”是由“东道主”一词演变而来的。春秋时期，秦晋围郑，郑派烛之武劝秦退军。烛之武对秦穆公说：“秦如果不灭掉郑国，而叫它成为东方道上的主人，秦国使者来来往往，缺少的资材食用由郑来供应，这对您也没有什么害处。”秦从其言撤军。郑在秦的东方，故称东方道上的主人。后来，“东道主”便成了一个固定的名词，泛指居停之所的主人或以酒食请客的人，其方位的含义便不复存在了。
“东道国”就是以主人的身份接待他国国宾的国家，或在国际活动中处于聚会居停之所和主办其事的国家。
2．“马虎”的来历
人们都喜欢用“马虎”来形容某人办事草率或粗心大意，殊不知在这个俗语的背后，原来有一个血泪斑斑的故事。
宋代时京城有一个画家，作画往往随心所欲，令人搞不清他画的究竟...
东西的来历
　　我们往往把一切物体统称为“东西”。但为什么称“东西”，而不称“南北”呢？原来我国古代把木、火、金、水、土称为“五行”（分别代表东、西、南、北、中五个方位），把甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸称为“天干”，又把“五行”、“天干”对应起来，组成“五方”，即东方甲乙木、南方丙丁火、西方庚辛金、北方壬癸水、中方戊己土。从上面可以看出，东方属木，代表一切植物，如花草、树木、蔬菜、庄稼等；西方属金，代表一切金属矿物，如金、银、铜、铁、锡等等；南方属火，火是一种化学现象；北方属水，中方属土，由于水、土和火是最常见的物质或现象，以致被古人忽视。而木（植物）和金（金属矿物）最受人们的重视，可以代表一切有用物质。于是，人们就把代表“木”和“金”的两...
　　我们往往把一切物体统称为“东西”。但为什么称“东西”，而不称“南北”呢？原来我国古代把木、火、金、水、土称为“五行”（分别代表东、西、南、北、中五个方位），把甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸称为“天干”，又把“五行”、“天干”对应起来，组成“五方”，即东方甲乙木、南方丙丁火、西方庚辛金、北方壬癸水、中方戊己土。从上面可以看出，东方属木，代表一切植物，如花草、树木、蔬菜、庄稼等；西方属金，代表一切金属矿物，如金、银、铜、铁、锡等等；南方属火，火是一种化学现象；北方属水，中方属土，由于水、土和火是最常见的物质或现象，以致被古人忽视。而木（植物）和金（金属矿物）最受人们的重视，可以代表一切有用物质。于是，人们就把代表“木”和“金”的两个方向联在一起...
．“东道国”的由来“东道国”是由“东道主”一词演变而来的。春秋时期，秦晋围郑，郑派烛之武劝秦退军。烛之武对秦穆公说：“秦如果不灭掉郑国，而叫它成为东方道上的主人，秦国使者来来往往，缺少的资材食用由郑来供应，这对您也没有什么害处。”秦从其言撤军。郑在秦的东方，故称东方道上的主人。后来，“东道主”便成了一个固定的名词，泛指居停之所的主人或以酒食请客的人，其方位的含义便不复存在了。“东道国”就是以主人的身份接待他国国宾的国家，或在国际活动中处于聚会居停之所和主办其事的国家。
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