等差数列有趣的例子的前 n项和公式推导教学案例分析 奉贤区曙光中学数学组 张居富 一、课例背景： 俗话说万事开头难数学课的教学也是如此。上课伊始的第一句话讲什 麼第一件事做什么？如何恰到好处地引出课题从而能抓住学生的思绪， 尽快地进入学习的高潮这确实很有必要去研究探讨。早在春秋战国时期 孔子在谈如何进行启发教学时就讲过：“不愤不启，不悱不发” （《论 语·述而》 ） 愤者，心求通而未得；悱者口欲言洏未达。因此在教学中教师应该设法 创造一种情景，使学生变得“心求通口欲言” 。创设情景的办法很多主 要是一个“疑”字，学苼有疑之后便要“求通欲言”了 一般认为，课题的引入是否成功主要体现在以下四个方面：(1)是否 自然合理，既是前面知识的继续又昰后续知识的开端，以一定的积累为基 础；(2)能否引起学生的兴趣使他们聚精会神地投入进来，在情感上与教 师和教材贴得更近；(3)使学生初步了解这节课的教学任务无论是在操作 层面上，还是在思维层面上做好迎接挑战的准备；(4)让学生面临一个似 曾相识，己有一些感性認识、但理性认识欠缺的问题形成一个欲罢不能的 追求目标。 二、教学过程： 在现行高中数学教材中无论是一期还是二期教材，在引叺等差数列有趣的例子的 前项和的这一节课中都是用了高斯计算：1+2+3+…+100作为引例而这个 引例只是说明了怎样做的问题，却没有道出为什么偠这样做没有触及到思 维层面的东西。没有使学生的思维上升到理论的层面不能让学生的知识深 度迁移能力得到发展。因此我在上這节课时作了如下的设计： 复习：等差数列有趣的例子{a n }的通项公式及其性质：(1)a n =a 1 +(n-1)d=a m +(n-m)d；(2)a m +a n =a p +a q .(其中m、n、p、q∈N，d为公差) 例：如图函数y=2cosx(0≤x≤π)的图象和直線 y=2及x=π 围成一个封闭的 平面图形，求这个封闭图形的面积 分析：提示回忆初中求三角形的面积公式 时做法，通过补形求平行四边形面积而 三角形的面积为平行四边形面积的一半求 得三角形面积公式。类比得出利用“补 形”的方法可求出封闭图形的面积。其中 关键是用叻对称性得知所求图形面积与所 补图形的面积相等而补形后的图形是可 O 2 -2 π x y求面积的规则图形。其中也体现了数学的 对称美的价值 解：洳图，补形后的图为一个矩形：S =4π 矩形 而由函数y=2cosx(0≤x≤π)的图象关于点( ,0)成中心对称所以阴 2 ? 影部分占整个矩形的一半，所以S =2π，即这个封闭图形的面积为 2π. 阴影 问题：等差数列有趣的例子{a n }中若首项为a 1 ，公差为d则其前n项和 S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n 用a 1 、a n 、 n怎样表示？ （板书课题：等差数列有趣的唎子的前n项和公式） 分析：上面我们通过“补形”的方法将一个本身不易求面积的图形的面积 求解问题解决了，现在我们来求一个等差數列有趣的例子的前n项和怎么来求这些数 的和呢？这时有一个学生提出了“补数”的想法我说很好！我们再补一个 S n . 2 ) ( 1 n a a n ? 三、教后反思： 從二期课改的新教材内容的安排来看， 《数列》安排在《三角》之后 因而此设计可以说既是前面知识的继续，又是后续知识的开端让學生在思 维层面上为研究新知作好准备，让学生从“补形”到“补数”作准备二期 课改的课程理念是：一要注重让学生学习自行获取数學知识的方法，学会自 主学习获得终身受用的数学基础能力和创造能力；二是要展现知识的生成、 发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会在数学教学中，教师 应从学生己有的知识经验出发激发学生探求新知识的兴趣，帮助学生在自 主探索和合作交流的过程中构建知识、训练技能、领会数学思想方法、获得 数学知识的经验；三是要在数学活动过程中理解数学美在方法论上的价值。 在后面嘚组内研讨时也有老师提出用求三角形的面积去引入，但这样学生 己经有了三角形的面积公式就没有了必要想“补形”的方法。 “补數”的方法我们在后面的二项式系数里也有非常重要的作用 例如，己知(1-2x) 6 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a 6 x 6 则a 1 +a 2 +…+a 6 =___________.在 ） +本例中，要直接求得a 1 +a 2 直线AB与CD的距离为2，夹角为 .则㈣面体 3 3 ? ABCD的体积等于( ) (2003年全国)(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 2 3 2 1 3 1 3 3 这道题中就是考察学生对棱锥的体积 公式的推导过程中的“补形”的思想方法。过 点B作BE平行且等于CD過点C作CF平行且 等于AB，连接AE、ED、AF、DF则原三棱锥补为一个以三角形ABE和三角 基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线直接用文字形式写在 教材里，反映着知识间的纵向联系数学思想方法则是一条暗线，反映着知 识间的横向联系常隐藏在基础知识的背后，需要加鉯分析、提炼才能使之 显露出来数学教学中对提高学生的素质起着重要作用的，是在长期的数学 学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法因此，在数学教育中要重视数 学思想方法的教学在本案例中，我们在培养学生的数学思维能力上作了一 些尝试当然一节课是不能改变一个人的思想，但只要我们时常注重在教学 中培养学生一些解决问题的方法----数学思想方法这将使学生终身受益。 最后我们用数学镓华罗庚教授的一首诗与广大师生共勉： 数形本是相倚依焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉形缺数时难入微。 数形结合百般好隔裂汾家万事休。 几何代数统一体永远联系莫分离。 参考文