线性代数是教资科目三的一块，相对较独立，这里简单的讲一下，主要争对教师资格证的考试。下面的一些说法可能不是很恰当为了方便记忆。

行阶梯矩阵和行最简形矩阵

非齐次线性方程组的解法

行列式，要记住它表示的一个数。常用字母D表示。

由n行和n列的数组成的，然后外面是两个竖线，像绝对值一样，你可以看作是一种运算，运算的结果是一个数。记住怎么运算：按行或按列展开，每一项和它的代数余子式乘积的和。

M12就是除去第一行和第二列的剩下的数组成的行列式。

这是一个逐步降阶求解的过程。比如从5阶行列式变成四阶行列式再变三阶。。。上面是用数学归纳法来定义的，没有用到逆序数等知识，教资考试这样理解就差不多了。

所以从运算法则看，二阶行列式为什么是对角线法则，主对角线相乘减去副对角线相乘。三阶行列式也一样，主对角线相乘的和减去副对角线相乘的和。都是上面定义的一个简单证明就可以得到。

某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。

知道行列式的结果是一个数，常用字母D表示

运算规则是按行（列）展开，一行中每一项和它的代数余子式乘积的和

掌握二阶和三阶行列式的运算，主对角线和减去副对角线和

掌握行列式的性质，记住交换两行变号，（这里和后面矩阵初等变换易搞混）

注意，某行的所有元素公因子可以提到行列式外面，而不是把公因子直接约去，这里很容易和后面的矩阵变换搞混。

注意，某行的元素乘以同一个数加到另一行，行列式的数值不变。

这里注意，哪行是变动的，哪行是不变的，不能搞错了。

上面的性质是为了简化行列式求值用，也就是行列式的初等变换

请证明：某行元素与另一行的代数余子式乘积之和为0。 （下面伴随矩阵和逆矩阵的性质有用到这个结论。）

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其实行列式的几何意义，二维空间里是两个向量围成的面积，三维是体积，有正负。

再用几何意义来理解行列式的几条性质：

三维空间里，行列式的几何意义是体积，我们这里来试着理解为什么向量的叉乘可以用行列式来计算。

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结果为主对角线的元素乘积，即a11a22。。。ann

行列式化简的过程，就是尽量往对角行列式靠拢

现在考试都会考四阶的行列式。

2020年下半年真题：

上面一个四阶行列式，上面的解法是把2，3，4列加到第一列都变成16。其实也可以按常规做法来，r2-r1*3，r3-r1*5，r4-r1*7，再一步步做

上面的这道题目，看着像范德蒙德行列式，但是最后一个数字多了1。需要拆成2个行列式来做，一个是范德蒙德行列式，一个是普通行列式。

还有一个克莱姆法则的知识点等下面再讲。

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由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

矩阵其实是一个数表，它表示一堆数，常用字母A表示。实际书写着我们用大括号把这些数括起来。

同型矩阵，如果这两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同，A=[aij]mxn,B=[bij]mxn

相等矩阵，行数与列数都相等，对应位置的元素相等

对角阵（方阵），只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

单位矩阵E（方阵），主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，通常用I或E来表示。

在矩阵的乘法中，单位矩阵E着特殊的作用，如同数的乘法中的1。任何矩阵与单位矩阵相乘（可以相乘的前提下）都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

加法，针对同型矩阵，A+B=[aij+bij]mxn，其（i,j）位的元素为A与B的（i,j）位元素之和

数乘，与每个元素相乘。这里注意和行列式的区别。

矩阵与矩阵相乘，（m*s，s*n---m*n)，得到的还是一个矩阵。

矩阵表示一堆数，常用字母A表示，由m行n列组成的数表。

矩阵根据行和列的数量关系，有方阵，行矩阵，列矩阵。可以相加的是同型矩阵，即行数和列数都相同。方阵里，又有两个特殊的矩阵，对角阵和单位矩阵。

矩阵的运算，加法（同型矩阵），数乘和乘法。乘法不满足交换律，两个矩阵位置不能随意交换。单位矩阵E满足交换律。

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主要是选择题考察，第4个性质可以用下标行和列来看

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)

第二条性质，我们知道矩阵A的数乘是将λ乘进每个元素里，那么求这个矩阵的行列式的时候，想要将λ提到外面，每一行提取一个λ，一共提取n个λ，所以是λ的n次方。

第三条性质，由拉普拉斯定理行列式的乘法规则来证明，不用管怎么来的，记住。

n阶方阵，AT=A，即矩阵的转置等于该矩阵，则称A为对称矩阵。主对角线为对称轴。

AT=-A，则称A为反对称矩阵

伴随矩阵：用A*表示 n阶方阵A 为接下来的逆矩阵做铺垫

注意，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。

或者将矩阵先转置，再将各元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵。

二阶方阵的伴随矩阵：用定义法

n阶方阵，设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。记作：用右上标-1来记作某矩阵的逆矩阵

转置矩阵，重要的一条性质，记住（AB）T=BT AT

方阵的行列式，重要的一条性质，记住|AB|=|A| |B|

对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线对称。矩阵的转置等于原矩阵。

反对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线互为相反数。矩阵的转置等于原矩阵乘以-1

伴随矩阵，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。伴随矩阵的重要性质

逆矩阵，一个矩阵A和另一个矩阵B相乘等于E，B叫A的逆矩阵，记作A-1。存在可逆的条件是|A|不等于0。

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如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价。在初等变换的过程中A与B的秩相等。

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。考试时只用按行变换做。因为后面的有些运算只能进行行变换。

在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子式D，且所有（r+1）阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R（A）=r。

矩阵的子式是在矩阵中选k行选k列后,交叉点上的元素保持相对位置不变构成的一个行列式。

这是一个3*4的矩阵，先看它最高阶的子式（也就是最高阶行列式），是3阶行列式（行列式是n行n列的）。那么3*4的矩阵有几个3阶行列式呢，由排列组合得到C（3，3）*C (4，3）=1*4=4 （前面一个数字是下标，后面一个数字是上标）。看了下这四个子式结果均为0（因为有两行对应成比例）。再看2阶子式，只有存在（exit)一个不为0就可以了。选取一个发现不等于0，所以根据定义得出该矩阵的秩为2。

这是根据定义法求矩阵的秩，一般用到这个方法比较少。我们一般通过矩阵的初等变换来求。

再回到上面的矩阵初等变换。初等变换的过程中，矩阵的秩是不变的，得到的矩阵是等价的。

这里有两个概念很容易混淆。一个是系数矩阵的秩R（A），是系数组成的向量组的极大线性无关向量的个数。而方程的基础解系的个数是 未知数的个数-R（A），而不是系数矩阵的秩R（A）。但是基础解析的个数可以理解为解向量组的秩，极大线性无关解向量的个数。

简单的方法就是，你不用记这么多，你只要把系数矩阵化简到行最简阶梯矩阵，把未知数x1，x2。。。代入整理，你就可以把这个方程解出来了。下面看一个例题：

非齐次线性方程组的解法

和齐次线性方程组的解法类似

AX=b，η0为该方程的一个特解，ξ为AX=0的通解，那么AX=b的通解为η0+ξ

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩不等时，无解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩是相等且等于未知数的个数时，有唯一解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩相等且小于未知数的个数时，有无穷多解，要求通解

2020年下半年教资初中数学真题：

2021年上半年真题：有3道线性代数的题目，而且都和线性方程组有关。

克莱姆法则针对n*n阶的方程组。 一般解方程组都是用化简到行最简形矩阵来求解，比较少用到克莱姆法则。克莱姆法则适用一些特殊的方程。

这题如果用矩阵变换或者用初中的知识来做，更简单

化简后，可以看出x1，x2.。。x（n-1）均为0，xn等于2。

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有没有一个向量，它是比较特殊的。当我们对它进行初等变换后（也就是左乘某个矩阵），它的方向没有改变只是长度变了，换句话说就是和原来的向量共线。用式子表示即Mα=λα。 M为方阵

我们称这样的向量α为矩阵M的特征向量，λ为矩阵M的特征值。

一个方阵是几阶，就有几个特征值。

若有可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B。P被称为把A变成B的相似变换矩阵。

相似矩阵有相同的行列式和秩。

二维向量的长度，即向量的模，|a|=√a1^2+a2^2

在平面里，我们知道只需要2个不共线（线性无关）的向量就可以表示所有向量。在立体空间里，只需要3个不共线的向量就可以表示所有向量。

两两线性无关的向量中，有一种是特殊的，那就是正交即垂直。我们把这种基叫做正交基。在正交基的基础上进行单位化，得到标准正交基。这个过程叫做施密特正交化。

正定二次型，负定二次型

f=xTAx大于0是正定二次型，大于等于0是半正定二次型，小于0是负定二次型

判断正定二次型：A的各阶主子式的行列式都为正

判断负定二次型：A的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正

线性变换是一种怎么样的变换呢？线性变换后仍满足加法运算和数乘运算。这里的线性你可以理解为满足加法运算和数乘运算。

设V与U是二个线性空间，T是从V到U的一个映射，若这个映射保持线性运算规则不变：即 T(α+β)=T(α)+T(β)、T(λα)=λT(α)，那么就称T是从V到U的线性变换。

教资的题目，一般是一个二维向量，在一个线性变换下（左乘一个矩阵）变成另一个向量。原来向量里的元素满足一个方程关系，求变换后的元素满足什么方程关系。看下面这道真题：

这篇文章始于2015年，感谢大家给了这么多赞和鼓励！最初是以几何意义去诠释线性代数，许多朋友表示从中收获颇多、兴趣大增，我猜不少人可能在克拉默法则的几何意义那里就被吸引了，这是很自然的，因为我们在学习时都想探求本质，思想通透时好奇心才得到满足，应用起来也得心应手，而直观的几何意义相比那味同嚼蜡的课本内容，通过新的视角让初学者对线代本质的理解更进一步——事实上我们无法空洞地去理解一些抽象概念的意义，总是通过一些直观的、可自明的东西，慢慢类比再辅以符号简记，才可以去运转一些抽象语言，正如维特根斯坦所说："好的比喻让理智清新"，后语言哲学也很重视"隐喻"现象，来解读我们是如何理解抽象概念之意义的。

很遗憾的是，许多数学教材都是在全盘陈述前人的结论，无论是概念定义、定理、证明和例题，都是照搬，不肯多说一点概念相关的数学史、意义与应用，我们不清楚这些作者是甘愿只做搬运工，还是实在没有深刻的见地。只有少数数学大家，才真的常把真相一语道破，如陈省身先生的部分讲义，会用生动的语言讲述缘由和见解，另外曾看到一本薄薄的离散数学，作者在代数结构与同构的部分竟然破天荒的说了句"在我看来，同构就是两个代数系统仅仅只有记号不同，而结构或本质是相同的"，然后他还以中国的阴阳系统和二进制代数来举例。我还见过一个同学，他说大一时对数学充满兴趣，他和多数同学一样也想搞懂那同济教材内容背后的本质，只是他稍有强迫症，不把当前部分搞透彻就不继续（学习理科就要有这种精神），可惜书本不多写、老师不多讲，他自己也无头绪不知从何处自学，最后就放弃了，可能这样的同学还有不少。

所以多数数学教材和老师提供的知识，处于一个尴尬的境地——既不是直观生动的形式，也不是如当代哲学那般对语言概念进行反思从而获得真正通透的理解（所谓真正的哲学，就是对思想的逻辑澄清，对提问和答问语言的澄清）。他们所写的和所讲的只是字面上有点抽象，如维氏和陈嘉映都说过的"概念到概念之间的空转"，只给了我们一些抽象概念和话语，并没有讲述这背后的助于我们透彻理解的"抽象思想"，虽然给出了概念的定义和定理的证明，但这对整个体系思想的理解无济于事，因为我们需要知道这些概念和定理存在的意义，就像海德格尔在《存在与时间》开篇就考察了"问题"本身的一般形式，分为问之所问、问之所及和问之所以问，我们关注的正是"何以如此说、何以如此问"，维特根斯坦也有过类似的表述：

世界如何，不是神秘的，神秘的是世界存在
整个现代世界观的基础是建立在一个错觉之上，即所谓的自然法则是对自然现象的解释

这一追究不仅是为了让后生仔们读到好的数学书、学到真正的数学，也是揭露了这样一个事实——当下有许多数学从业者或数学家，对诸多数学概念和工具已经"习以为常"了，觉得数学大厦根基稳定甚至独此一栋，从而不假思索地拿来继承发展、去算去用，工科理科的朋友都知道，即便对一个理论不刨根问底，的确也可以做出些成果，但革命性的创新必然要厚积薄发和重塑概念，需要敏锐的洞察和质疑的勇气，维氏说"天才即天赋勇气"实在恰当。目前有反思觉悟的大数学家，望月新一算一个。罗素曾批评古典哲学家太懒不去学点数学，今天倒要建议数学家多读读现代哲学，学会考察习以为常的概念和语言，从而疏通沟渠并迎来活水。更多同学应该在此看到，在数学和基础科学的世界里仍然大有可为，还有很多阻碍、矛盾、冗杂和难题等有待全新的数学体系去解决。

所以在2015年原文的基础上，我会陆续补充一些更抽象的内容来帮助朋友们更好地理解线性代数。例如，矩阵的标准型问题，其实与"模及主理想上的模"有关，不熟悉抽象代数的朋友，仍然会做相关计算，但理解了这层抽象思想，会看到更大的世界，融会贯通并运用自如，对此，代数学家莫宗坚曾说：

一些数学与科学上的问题，如果局限在小范围内，常常越弄越繁，不容易理出头绪来，如果能打破框框，走入更广阔、从而也更抽象的道路，则就立见真章了

这段话，在我漫游过数学的千山万水之后，是如此赞同和欣赏，同时也想把这些年获得的真知与思想，分享给大家，一同感受世界的浪漫与不平凡。许多人曾觉得数学很枯燥，其实是因为还没看到过真正的数学，这就像一个人去看海，走到中途却遇到一个脏脏的湖泊（这就像我们常用教材上的内容），误以为是大海失望而归，但如果真的坚持走到海边，一定会被那种壮美所感动~

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2015年原文：线性代数的几何意义

矩阵由若干向量组成（可以是有限个，也可以是无限可数个），其形式和数学史赋予它的最自然的几何含义和线性空间有关（向量间的加法以及另一个数集带来的乘法为这个空间赋予了基本结构），这部分内容将在后续更新里单独列出来讲。这里不妨先简单直观一些，要么把矩阵画成几个行向量或列向量，要么画成由向量终点组成的图形，这刚好和当代计算机图形学有联系，例如大家常玩的3D游戏或某些基于矢量绘图引擎的2D游戏，就都是矩阵可视化以及矩阵变换的生动实例。

按照列向量可表示为如下图形

如下图是在matlab中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形，当你旋转这个图形观察时，每个画面都是计算机用相应的旋转和投影变换矩阵，对原始的图形数据矩阵相乘变换后得到的，在3D游戏中移动、转动、缩放和光照等也都是靠矩阵运算完成的，当然这里让我们初步感受到一种魔力——矩阵既可以用来表示纯数据（如复杂图形的顶点），也可以用来对数据做变换，在以后的学习中我们会看到，这其实是在说，不仅某阶向量和矩阵全体可以构成一个线性空间，它上面的全体线性变换也构成一个线性空间，即任何线性变换都可以在选择确定的基后，用矩阵来表示。但神奇的东西何止于此，背后还隐藏着更深刻的内容——借用语言哲学的思想，我们对数学语言本身进行反思，会有诸多更本质的东西显现，例如你开始可能会以为离散的加减乘除运算包括矩阵运算等，在工程应用时只能近似和将就，以为偏微分方程等基于连续性的微积分工具才是宝典，但最终会发现，我们所拥有的原子运算只有基础代数运算，而真正"存在"的数学对象都是离散的（连续是一种幻象，或者说只是一个语言概念，而且充当这个语言里的相对本体，可参见奎因哲学），数学世界乃至物理世界都是由离散的对象和它们之间的关系所定义的，这方面有兴趣可以去看看代数几何与前沿物理的思想。

注1：如果单独查看一个矩阵

可以有两种解读：矩阵A由m个n维向量组成，或者由n个m维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定

注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等

方阵 的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的体积；如方阵

的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积

注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）

以二维形式为例来说明其几何意义:

这样可以把 与 看作是列向量 和 的缩放因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量 ，故原方程可以解读为

把A的列向量缩放并叠加后得到向量 ，求伸缩因子

我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将OB边伸长至OE，形成新的平行四边形OAFE，记其面积为

这样 的伸缩因子 可表示为

所以只要求出OAFE的面积即可解出未知量

图中OG即向量b，因为它是 的线性叠加，所以G点必在EF的延长线上，这样OG和OE相对OA边的高就是相同的，故OA与OG组成的平行四边形面积和OAFE相同，即所求面积为 ，所以

我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB，作用后得到的新矩阵C可以看作是矩阵A经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故可以把矩阵乘法C=AB看作是图形A（或B）经过变换B（或A）后得到新图形C，或者是向量空间A（或B）经过变换B（或A）后得到新的向量空间C，对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到；例如变换矩阵

会把原3D图形向x-y面投影，变换矩阵

会把原图形对x轴镜像，变换矩阵

会把原2D图形相对原点逆时针旋转30度。

由前面叙述的部分几何意义，我们很快就能看出初等变换的几何含义了

交换矩阵的两行（列）：改变向量在矩阵中的排列顺序，当矩阵表示图形时，此操作对图形没有影响，因而矩阵张成的空间维数（秩）不变，但是当矩阵代表向量空间时，会改变此坐标系的手性，当计算方阵的行列式时，会改变其符号；

以一个非零数k乘矩阵的某一行（列）：即对矩阵中某一向量进行伸缩变换，整个矩阵代表的图形对应发生变化，由于k不能为0，所以矩阵张成空间的维数（秩）不变，方阵张成的平行几何体的空间积（行列式）变成原来的k倍

把矩阵的某一行（列）的k倍加于另一行（列）上：对矩阵中某一向量做线性叠加，且新向量终点总是在另一向量的平行线上，所以对任意矩阵，图形产生了剪切变形，由于剪切变形不会使向量重叠或缩为0，所以张成空间的维数也不变；对于方阵，由前面几何推导克拉默法则的过程知道，如果把某一向量加上矩阵内另一向量的k倍，由于新向量和原向量相对其余向量组成的平行体的高不变，所以方阵对应的平行几何体的空间积不变（行列式不变），

例如在matlab中用矩阵

作用下面左图对应的矩阵（第三行乘以0.2，即缩短z方向坐标5倍），得到的新图形如下右图所示

Matlab程序如下，可以动手试一试，还可修改其中的变换矩阵以得到不同效果

然后我们把变换矩阵修改为

即把第二行乘以2加到第一行，由上述分析知道这样会把原图形沿y方向剪切变形，剪切量为对应x坐标的二倍，实际效果如下图所示，这里我们取俯视角以观察x-y面的情形，从右图可以看出理论分析是正确的（注意观察变换前后的y向坐标值）

矩阵的秩即矩阵的各向量所张成空间的维数

不能说秩是矩阵对应图形的维数，因为矩阵的图形只取了各向量的终点，而不含有这些向量的之间的几何关系，故二者的维数不一定相等，而矩阵的秩按定义应取其向量空间维数。如下图中的空间向量a,b,c可以张成一个三维空间，故矩阵(a b c)的秩为3，但是其终点组成的图形是一平面，维数为2，显然和秩是不一样的

结合上面对初等变换的几何解释，正是因为三种初等变换都不改变矩阵向量空间的维数，所以对于复杂的难以观察维数的矩阵，我们可以先用初等变换作用于矩阵进行简化，然后到容易观察的形式时求出它的秩；

向量组线性相关/无关的几何意义

注：在讨论向量张成的空间相关问题时，某种程度上我们可以把向量组和矩阵等价对待，二者都是一组向量的集合，只是向量组相对矩阵明确了向量的维数与向量个数，而矩阵有行与列两种选择，所以只要确定矩阵的向量取行还是列，就可以把矩阵当作向量组讨论；

线性相关在代数上就是一组向量中至少有一个向量能用其余向量线性表示，而几何意义是它们所张成的向量空间维数少于这些向量的个数，这样就至少存在一个向量落在其余向量形成的向量空间中，而向量空间实际上是一个坐标系统，所以处于其中的点（向量）都可以由这些向量定位出来（线性表示），在向量之间表现出一种相关性；而线性无关的几何意义就是一组向量张成空间的维数等于这些向量的个数，这样没有任何一个向量落在其余向量形成的空间里，每一个向量对其余向量来说都是超越自身空间维度的（独立的），因而无法被定位（线性表示），表现成一种相互无关性

以上图棱锥为例，因为HI处于GH和GI所形成的面里，所以HI必然可以由这两个向量表示，所以三者线性相关（三者形成的空间维数为2<3）；而HI在IG和IF形成的平面之外，所以H点无论如何都不能被GI和IF定位到，同时IF也不在IG和HI形成的平面里，IG不在IH和IF形成的平面里，同理可知它们之间不能线性表示，所以三者线性无关（三者形成的空间维数为3=向量个数）

方程Ax=0的几何意义

由前面叙述容易看出此方程表示向量x与A的每一个行向量都垂直，或者说向量x垂直于矩阵A的行向量空间。这样我们可以直接根据几何意义得到结论：Ax=0有非零解的充要条件是矩阵A的秩要小于x的维数n；这是因为对于确定维度的向量空间M，如果我们可以找出独立于它的一维或多维空间N，则在空间N里的向量总是垂直于空间M；例如在直角坐标系O-xyz中，设A是x-y平面上的向量空间，x是空间向量，因为z维上的向量总是垂直于A，所以x在这一方向上存在无数非零解。反之若矩阵A的秩等于n，且x非零，则由于x也在n维空间内，所以它和A中的行向量必然线性相关，无法独立于A的行向量空间，所以这时仅有零解。

当方程有非零解时，设A的向量空间维数为R（秩），由上叙述可知解向量x中存在n-R个分量取值自由，如果我们把这n-R个自由变量看作是一个n-R维空间中的向量坐标时，显然此空间中每一个向量都能确定原方程组的一个解，又因为每一个向量都可以用这个n-R维空间的一组单位正交基线性表示，所以这组单位正交向量所确定的一组解通过线性组合就可以表示出原方程的任意解，故这组解就是原方程的一个基础解系，上述叙述也正是基础解系的几何意义

方程Ax=b的几何意义

设A是m*n矩阵，x是n维向量，由前述几何意义知道，如果b处于A的向量空间中（b和A的向量线性相关），则一定可以由A的向量线性表示，也即解存在，而b落在A的向量空间等价于b的维数小于等于向量空间A的维数，也可表述为R(A)=R(A b)=R，即A的秩等于增广矩阵的秩，这种表达也是许多教科书中常用的。当R=n时，n维向量x的每个分量都是线性表示的确定系数，故只有唯一解，而R<n时，向量空间有n-R个维度不存在，故这些维度上对应的系数可任意（自由变量），这时存在无穷多解

大学数学的线性代数知识点

　　在年少学习的日子里，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。为了帮助大家更高效的学习，下面是小编收集整理的大学数学的线性代数知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　大学数学的线性代数知识点 1

　　一、方程组深刻理解，熟练应用

　　方程组可以说是矩阵和向量的一个综合。想要学好方程组，首先理解很重要。在高等数学中，方程组可以有n个。所以就引入了矩阵的概念。因为用矩阵来表示方程组是很方便的。大家要从矩阵的初等变换角度来理解高等数学中求n元方程组的原理。其次，适量练习学会计算能力，对知识点熟练应用。

　　二、向量把握重点，个个突破

　　对于向量这个知识点的主要内容。首先是向量的基本概念介绍。针对向量的概念，大家没必要像行列式定义那样记的那么准。所以，大家要做的是理解这个概念，知道向量有方向的。然后是向量相关性的一些基本性质。大家需要做的还是理解。最后是向量和矩阵，行列式的综合。这个是重点。每年的考研必考至少一道围绕向量来设计的大题。所以大家要把行列式和矩阵相关内容学习好。此外，同学们在备考中要预防以下状况，让自己陷入备考的瓶颈中。一是，定义理解不透彻。二是，心态。

　　三、矩阵与行列式复习重点

　　矩阵与行列式这个单元中应当掌握：

　　1.行列式的概念和性质，行列式按行(列)展开定理.

　　2.用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.

　　3.用克莱姆法则解齐次线性方程组.

　　4.矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质.

　　5.矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律.

　　6. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.

　　7.逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件.

　　8. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵.

　　9.分块矩阵及其运算.

　　四、线性代数常考提醒梳理

　　1. 计算低阶和 阶数字型行列式。

　　2. 计算抽象型矩阵的行列式。

　　3. 克拉默法则的应用。

　　4. 代数余子式和余子式的概念，以及两者之间的联系。

　　5. 证明或判断矩阵的可逆性。

　　6. 求矩阵的逆矩阵。

　　7. 求解与伴随矩阵相关的问题。

　　8. 计算矩阵的 次幂。

　　9. 求矩阵的秩。

　　10. 求解矩阵方程。

　　11. 初等变换与初等矩阵的关系及其应用

　　12. 分块矩阵的简单应用。

　　13. 判断向量组的线性相关性与线性无关性。

　　14. 判断一向量是否可以由另外一向量组线性表示。

　　15. 两向量组等价的判别方法及常用证法。

　　16. 向量组的秩与极大线性无关组。

　　17. 向量空间，过渡矩阵，向量在某组基下的坐标(数一)。

　　18. 判定线性方程组解的情况。

　　19. 由方程组的解反求方程组或其参数。

　　20. 基础解系的概念。

　　21. 基础解系和特解的求法。

　　22. 求解含参数的线性方程组。

　　23. 求抽象线性方程组的通解。

　　24. 求两线性方程组的非零公共解，证明两齐次线性方程组有非零公共解。

　　25. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构之间的关系。

　　26. 求两线性方程组的同解。

　　27. 求矩阵的特征值与特征向量。

　　28. 由矩阵的特征值或特征向量反求其矩阵。

　　29. 求相关联矩阵的特征值与特征向量。

　　30. 判别两同阶矩阵是否相似，判别某方阵是否可以相似对角化。

　　31. 相似矩阵性质的应用。

　　32. 矩阵可对角化的应用。

　　33. 化二次型为标准形。

　　34. 判别或证明二次型(实对称矩阵)的正定性。

　　35. 合同矩阵的概念与性质。

　　36. 判别两实对称矩阵合同。

　　37. 讨论矩阵等价、相似和合同的关系。

　　大学数学的线性代数知识点 2

　　线性代数作为构成考研数学的三大科目之一，重要性不言而喻。本文为大家总结了线性代数科目的知识点框架，希望可以帮助到大家。考线性代数的学习切入点是线性方程组。

　　换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

　　线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

　　关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：

　　1、方程组是否有解，即解的存在性问题；

　　2、方程组如何求解，有多少个；

　　3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

　　这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：

　　1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；

　　2、交换某两个方程的位置；

　　3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

　　任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

　　由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

　　对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

　　可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

　　系数矩阵和增广矩阵

　　高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

　　阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

　　对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r<n，则方程组有无穷多解。

　　在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。

　　常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。

　　齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。

　　对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。

　　通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。

　　用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。

　　总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。

　　行列式在考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这部分是考研数学中必考内容。

　　它不单单是考查行列式的概念、性质、运算，与行列式结合考查的题目也很多，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。因此，对于行列式的计算方法，我们的小伙伴们一定要熟练掌握。

　　向量在线性代数中，既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多小伙伴会对这部分知识点较为陌生，理解上、做题上就会比较模糊。

　　这一部分主要是要掌握两类题型：

　　（1）关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题

　　（2）关于一组向量的线性相关性的问题

　　而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。

　　线性方程组在近些年出现频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。所以对于线性方程组这一部分的内容，小伙伴们们一定要重点把握。

　　（1）线性方程组的求解

　　（2）方程组解向量的判别及解的性质

　　（3）齐次线性方程组的基础解系

　　（4）非齐次线性方程组的通解结构

　　（5）两个方程组的公共解、同解问题

　　特征值、特征向量也是线性代数的重要内容，在考研数学中一般都是题多分值大，小伙伴们一定要牢牢掌握。

　　（1）数值矩阵的特征值和特征向量的求法

　　（2）抽象矩阵特征值和特征向量的求法

　　（3）判定矩阵的相似对角化

　　（4）由特征值或特征向量反求A

　　（5）有关实对称矩阵的问题

　　二次型是与其二次型的矩阵对应的，因此有关二次型的很多问题我们都可以转化为二次型的矩阵问题，所以正确写出二次型的矩阵是这一章节最基础的要求。

　　（1）二次型转化成矩阵形式

　　（2）化二次型为标准型

　　（3）二次型正定性的判别与证明

　　大学数学的线性代数知识点 3

　　线性代数占考研数学总分值的22%，约34分，以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中，则需要进行重点题型重点突破。

　　矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成，每一个元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!

　　通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善，这也要求大家深入理解概念，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解，对矩阵等价与向量组等价之间区别的'理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上，联系地看问题，及时总结结论。

　　矩阵的特征值与特征向量

　　矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用，也是将二次型标准化、规范化的便捷方式，故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量，须理清其相互关系，也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值，元素均为1的列向量是其对应的特征向量)，会处理含参数的情况。

　　对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理，含参数的方程组是考查的重点，对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题(数学二为22题)，已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解，求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在"AX=b存在2个不同的解"这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解，系数矩阵降秩，行列式为0，可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。

　　二次型标准化与正定判断

　　二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类，可以使用正定矩阵的几个充要条件，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

　　历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析

　　考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查，从近几年的考研数学历年真题分析结果来看，可以得出一个结论：线性代数的难度在高数和概率统计之间，且大多数的同学认为线性代数试题难度不大，就是计算量稍微偏大点，线代代数的考查是对基本方法的考查，但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。

　　线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强，这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中，注意对于知识点间的关联性进行对比着学习，有助于巩固知识点且不易混淆。

　　总体来说，线性代数主要包括六部分的内容，行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

　　一、行列式部分，熟练掌握行列式的计算。

　　行列式实质上是一个数或含有字母的式子，如何把这个数算出来，一般情况下很少用行列式的定义进行求解，而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算，或是采用降阶法(按行或按列展开定理)，甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。同学们只要掌握了基本方法即可。

　　二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用。

　　通过考研数学历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外，含随矩阵的矩阵方程，矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是考生需要掌握的知识点。涉及秩的应用，包含秩与矩阵可逆的关系，矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系，矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价的区别与联系，系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。

　　三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定。

　　向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

　　这是线性代数前三个内容的命题特点，而行列式的矩阵是整个线性代数的基础，对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握，否则的话，对于后面四部分的学习会越学越难，希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习，为后面的考研数学复习打好基础。

　　前面我们已经分析过，考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强，有些概念较为抽象，这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学，根本找不到复习的头绪，做题时也是一头雾水，不知道怎么分析考虑。

　　这里，老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性，理解概率的实质。如：矩阵的秩与向量组的秩之间的关联，矩阵等价与向量组等价的区别，矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚，则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过，大家也不要太焦急，希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会，学习一定要有心得。

　　下面我们分析一下后面三部分的内容，线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。

　　线性方程组，会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽，很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组，我们需要掌握基础解系的概念，以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况，掌握其求解的方法。此外，考生还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

　　特征值与特征向量，掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的，理解特征值与特征向量的定义及性质，矩阵相似的定义，矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化，若可以的话，需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型，已知矩阵的特征值与特征向量，反求矩阵A。

　　二次型，理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题，一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

　　虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻，做考研数学题过程中多分析总结。

　　2016考研数学概率解题9大常用思路

　　在考研数学一和考研数学三中，概率论与数理统计部分大约占22%，虽然所占比重较小，但是大家在复习的时候，一样会感到困难重重，特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。为了帮助大家在解题时更轻松一点，小编给大家分享一些考研数学概率解题常用思路集锦。

　　1、如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

　　2、若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式

　　3、若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。

　　4、若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0，1)来处理有关问题。

　　5、求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。

　　6、欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

　　7、涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。即令

　　8、凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

　　9、若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

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