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1、华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式：2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家 都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题 目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭 每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断 敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的 效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后， 得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方 法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。关键词：数

series, conv erge nee and diverge nee of judgme nt.引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通 过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一

5、般 思维过程以下介绍相关定义及定理一、常数项级数的概念定义：无穷多常数项累加求和an ai a? a3 a4常见的几类重要的常数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数23a aq aq aqnaqnaq调和级数IIIIIIp-级数III1n 1 np在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用二、相关定理定理一:如果niman ,则可判断该级数一定不收敛。arn 1 （a 0）定理二、等比级数判别法：n 1当r 1时，级数收敛；（2）当r 1时，级数发散宀2（P 0）定理三、P级数判别法：n1n（1）当0 P 1时，级数发散（2）当 p 1时，级

6、数收敛注：调和级数是特出的p级数，这时p=1。定理四、设 Un与 Vn是两个正项级数，若当Un Vn且级数 Vn收敛时，级数 Un也收敛；当Vn Un且级数 Vn发散时，级数Un也发散；Un 1 q 定理五、（极限形式）若 Un为正项级数，且lim Un则（1）当q 1时，级数 Un也收敛；当q 1时，或q时，级数 Un发散;注：当q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断,1 丄因为它可能是收敛的，也可能是发散的例如，级数n2与 n，它lim1丄-们的比式极限都是n Un但 n2是收敛的，而 n是发散的.注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构 造一个级数，这个构造的过程

7、就要求我们对一些常用的有特殊性质的 级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p级数。比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自 身比较。定理六、（极限形式）若山为正项级数，且1则（1）当 I 1时，级数收敛（2）当1 1时，级数发散注：当1 1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，丄 1n丄1级数 n2与n，二者都有lim - Un 1但 n2是收敛的，而n是1 1 发散的但 孑是收敛的，而 n是发散的.定理七、若交错级数n1（ 1）U满足:(1) Un Un1 (n 1 2,lim Un 0 (2) n .则交错级数收敛绝对收敛与条件收敛对于一般项级数U1U2

8、Un,其各项为任意实数,若级数Unn 1各项的绝对值所构成的正项级数Un1收敛，则称级数Unn 1 绝对U n收敛；若级数n1收敛，而级数n1UnUnn 1发散，则称级数n 1条件收敛.易知吟是绝对收敛级数，而厂十是条件收敛级数.定理八、若Unn 1U收敛，则n 1必收敛.对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数， 可以通过 取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断 以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散 性。定理九 设f(x)为F )上非负减函数，则正项级数 f(n)与反常 积分1 f(x)dx

10、。故知，反常积分1 f(x)dx收敛同理可证它们同时发散。三、以下给出例题做具体分析n例题1、判断级数n1100n 1是否收敛lim 解：n 100 n1100，所以此级数发散。1但是当nim Un 时，不能判断该级数是否收敛。例如nl。因此艸Un 0 只是一个必要条件，而非充分条件。2n an例题2、k 0,且nL 收敛，证明n1 n 2 2

注:在级数敛散性判断时，对于某些一般项处理起来比较困难时，可 以通过合并或拆分来使一般项变得方便处理。2sin n2例题5、判断级数n 1 n是否收敛22sin2n 1丄sin n9 -22解：因n n ,且n 1 n为p=2时的p级数，此级数收敛。所以n 1 n

12、 也收敛。注：如果级数中不是所有的项都满足 Vn山，而是从有限项开始才满足。也可以用比较法判断敛散性。因为改变级数的前有限项不改变级数的敛散性。例题6、证明级数1丄2!13!1n!收敛.un证 n1n!满足1n!2L，而n1（2）是等比级数1(q 2 1),由比较判别法可知，级数丄1 n!收敛.本题应用比较法虽然可以解决，但是比较繁琐。以下用比值法解该题。lim an lim -0解法二、因nann n，所以判断该级数收敛。1sin 例题7、判别级数n的敛散性解：它不是等比级数也不是p 级数，也无法用比式判别法和根式判.1sinlim n 1n 1别法来解题。由于n，根据比较原则，及调和级数.

，所以该级数收敛.注：本题是比值法的应用,从中可以看出，比值法是通过比值的方法消去某些因子，以达到简化运算的目的。所以运用比值法时，应注意 观察通过比值能否消去某些项，能否达到简化的目的。1例题9、判断级数n1，1的敛散性.0丄丄 nU 1 1丄解因为2n 1 2n ，而2n 2 ，所以m2n收敛.再根据比较1

14、判别法，原级数n1 1收敛.注：本题是比较法和根植法的联合应用， 所以有时应用单一的方法无 法解决某些问题时，可以应用多种方法，逐步达到简化的目的。例题10、设an9，试判断级数(今n 1 an(X 0)的敛散性.因为lim an ,而 nanx lim n ana ；所以，根据根值判别法有(1) 当x a时，级数收敛；(2) 当x a时，级数发散；(3) 当x

12，根据比值判别法，级数2n 1n 1n 1 2 收敛,从而，此交错级数绝对收敛.例题14、判断级数1pm的敛散性。解：此题为p级数,但是也可以用积分判断法解决。f x丄函数 xp，当p 0时在1， 上是非负减函数。知道反常

16、积分dx丄1 xp在P 1时收敛，p 1时发散.故由定理4得 xp去当P 1时收敛，当 p 1时发散。至于p 0的情形，则可由定理12.1推论知道它也是发散的四、结束语：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多 种方法处理。但是总有一种比较适合且简便的方法。而且不同的方法 有不同的适用范围。在某些领域可能有着特别方便的应用， 但是在另 一些领域内可能毫无用处。所以我们需要选择合适的方法。对于有些 题目，可能需要多种方法共同处理。对于正项级数首先观察其通项是 否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。如果通项趣于零，可根 据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。 如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数。参考文献1 华东师范大学数学系编数学分析（第三版）北京大学高等教育出版社，19912 数学分析习题解析下册，陕西师范大学出版社， 11)(丄(44)(1