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摘要： 当交错级数中的项比较复杂时，往往可以利用泰勒展开成几部分去做，此时展开的部分往往会有一个确定的收敛级数，然后利用级数的性质即可解决。【岩宝数学考研】

1.若和都收敛，则可得也收敛。
2.若收敛，发散，则可得也发散。
3.若和都绝对收敛，则可得也绝对收敛。
4.若条件收敛，绝对收敛，则可得条件收敛。

【例1】.(2000上海大学、2008西南大学、2006北京理工大学)
判断级数的敛散性和绝对收敛性。

由此可得此级数是交错级数，那么如何判断级数敛散性呢？
由于项里面的存在，导致级数敛散性并不好判断，要是没有该多好呀！此时想到利用泰勒展开。

则可得【岩宝数学考研】

当时，收敛(绝对收敛)。

【例2】.(2002北京师范大学)
判断级数的敛散性和绝对收敛性。

此题会发现也是交错级数。

当时，我们先研究级数的绝对收敛性。

此时可得原级数绝对收敛。

此时可得原级数不绝对收敛。
下面研究当时级数是否条件收敛？
由于项中分母比较复杂，级数敛散性不好判断，所以需要进一步转化即

又由于【岩宝数学考研】

则可得【岩宝数学考研】

此时可得收敛，收敛，收敛。
则可得此时原级数条件收敛。
当时，原级数条件收敛。
当时，原级数绝对收敛。
【例3】.(2007西安交通大学)

判断级数和的敛散性。分析：
当很大时，我们会发现可正可负。
由于 收敛，而 发散，则可得级数发散。
下面研究级数的敛散性。

则可得级数的敛散性与级数敛散性相同，则为发散。
这样显然是错误的，因为比较判别法针对的是正项级数，而级数是交错级数，所以是不对的。
此时可以利用泰勒展开得

则可得【岩宝数学考研】

则可得【岩宝数学考研】

又，，，都收敛，则此时可得级数也收敛。

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