定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。

　　定积分证明题方法总结 篇1

　　一、 不定积分计算方法

　　7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）

　　二、 定积分的计算方法

　　1. 利用函数奇偶性

　　2. 利用函数周期性

　　3. 参考不定积分计算方法

　　三、 定积分与极限

　　2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

　　四、 定积分的估值及其不等式的应用

　　1. 不计算积分，比较积分值的大小

　　1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

　　2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

　　2. 估计具体函数定积分的值

　　积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

　　3. 具体函数的定积分不等式证法

　　1) 积分估值定理

　　3) 柯西积分不等式

　　4. 抽象函数的定积分不等式的证法

　　1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

　　2) 积分中值定理

　　4) 利用泰勒公式展开法

　　五、 变限积分的导数方法

　　定积分证明题方法总结 篇2

　　1、原函数存在定理

　　●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

　　如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

　　2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

　　1、定积分解决的典型问题

　　(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

　　2、函数可积的充分条件

　　●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

　　●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

　　3、定积分的若干重要性质

　　●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

　　●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

　　1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)

　　●直角坐标系下(含参数与不含参数)

　　●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的'方程)

　　●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)

　　●功、水压力、引力

　　定积分证明题方法总结 篇3

　　一、不定积分的概念和性质

　　二、基本积分公式或直接积分法

　　直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。

　　1.第一类换元法（凑微分法）

　　注 (1)常见凑微分：

　　(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

　　若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；

　　(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；

　　(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；

　　(1) 对被积函数直接去根号;

　　(3) 三角代换去根号

　　注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

　　(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

　　(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t；

　　定积分证明题方法总结 篇4

　　则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

　　原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。

　　注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

　　注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

　　定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

　　如果F(x)为f(x)的一个原函数，则

　　三、不定积分的几何意义

　　图 5―1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)．

　　在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线．

　　四、不定积分的性质（线性性质）

　　六、第一换元法（凑微分）

　　定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则

　　定积分证明题方法总结 篇5

　　《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课，也是重要的工具性课程。本课程包括两部分内容：复变函数和积分变换。复变函数与积分变换的学习是为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等奠定基础。

　　教学过程、方法及教学效果

　　命题符合教学大纲基本要求，知识点覆盖面广，难易适中。重点考查了学生的基本概念、基本理论和技能的掌握程度以及综合运用能力。命题表述简明、准确，题量适中。

　　绝大多数同学学习态度较好、学习积极性较高，能认真备考，掌握了相关的基本知识点，和相关题目的运算。从学生的考试情况来看，总体来说效果是比较好的。

　　学生总数104平均分

　　总体情况比较理想，同学们普遍感觉对该课程的相关理论有了一定的了解，基本掌握了本课程的相关知识。

　　存在的不足及改进措施

　　在今后的教学中，尤其要加强教学内容与专业相结合，使学生更有兴趣学习这门课程，对教材进行适当的处理，调整讲解顺序，抓住关键知识点，在课堂上加大对学生训练的力度。课后及时批改学生作业，及时讲评并解答学生的各种疑难问题。

　　学时相对较少，概念和理论不能深入展开讲解；应适当增加学时，以增加习题课的教学，使学生能够更牢固掌握该门课程。

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摘 要：通过积分常数法证明中值定理，启发学生的思维，加深其对问题的理解和解决问题的能力.

关键词：微分中值定理;变上限积分;原函数;构造函数

微分中值定理是大学数学中重要的定理之一，是微分教学的重要内容.教学难点是，证明过程中要构造一个合适的辅助函数，因此，辅助函数的构造就成为中值定理教学的关键.在大多数大学数学中，拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理的证明都是直接给出辅助函数，利用辅助函数满足罗尔（Rolle）中值定理得出结论，没能将前后知识合理衔接.笔者给出一种新的辅助函数构造技巧方法-积分常数法，这里对拉格朗日和柯西中值定理进行证明.

积分常数法证明柯西中值定理要注意的是，柯西中值定理表达式包含两个不同的函数.在实际处理问题时，要注意变形.

微分中值定理很好地刻画了导数的局部性和函数的整体性关系，是联系导数和函数之间关系的桥梁纽带.中值定理的证明关键是构造合适的辅助函数，辅助函数法是解决数学问题重要的思想方法，是非常有效的数学工具.进行构造的目的是：如果不能按正常的逻辑关系推理得到问题的结论时，就要从新的角度观点出发，另辟蹊径，依据已知的信息创造性的解决问题.

本文从罗尔中值定理的应用出发，明确罗尔定理证明问题构造辅助函数的解题思路，顺理成章地构造出合理的辅助函数，从而证明出相应的结论，变形要盯住目标.由于解决问题的途径常常不是唯一的，在平时的学习中，应考虑如何才能更快有效的解决问题，注意可能途径之间的选择，体现出對知识的灵活运用，有助于逻辑思维的训练，形成知识网络.公式的形式要懂得推广，在构造辅助函数的过程中，要多留意经常用的模型，只要条件允许，f″（x）←→f′（x）←→f（x）←→∫xaf（t）dt，相邻两项均可使用中值定理.

[1]郭旭，郑军.关于两个积分不等式的推广[J].大学数学，2019（1）：123-126.

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积分中值定理(定积分中值定理的内容)

今天是高等数学专题第12篇。我们继续看定积分。

我们之前讲微分求导的时候，介绍了一系列微分中值定理的求导。既然有微分中值定理，自然就有积分中值定理。我们来看看积分中值定理的定义。

极值定理也叫更大最小值定理，它的含义非常直观:如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有更大值和最小值，更大值和最小值至少要求一次。

这是一个非常著名的定理。定理内容直观，不难理解。然而，要证明这一点并不容易。它来源于几个定理，如区间套定理和B-M定理。这个证明过程很复杂。由于篇幅和水平的限制，本文只能跳过这一部分，有兴趣的同学可以自行了解一下。

假设m和m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最小值和更大值，那么根据极值定理，可以得到如下公式:

这个公式光看可能感觉有点复杂，但是我们画好图之后就很简单了:

上图中灰色阴影部分是定积分的结果。蓝色矩形区域为m(b-a)，大矩形区域为M(b-a)。

通过几何面积的关系，我们很容易证明这个结论。

数学证明也很简单。由于M和M分别是最小值和更大值，我们可以得到M。

两边积分的结果是矩形面积，所以我们得到了证明。

极值定理很简单，但却是很多定理的基础。比如我们的积分中值定理就与之密切相关。

让我们对上面的公式做一个简单的变形。由于b-a是一个常数并且大于0，我们在

将这个不等式的两边同时除以b-a，可以得到:

这个公式被看作一个整体，它的值位于区间内函数的更大值和最小值之间。根据连续函数的介值定理，我们一定可以在[a，b]上找到一个点ξ，使得f(x)在这个点ξ的值等于这个值，也就是说:

上面的公式就是积分中值定理。这里有两点需要注意。先说一个简单点，就是我们利用连续函数的中值定理。所以限制了这必须是连续函数，否则可能发生函数在ξ点未定义的情况。这也是定理成立的前提。

第二点是简单介绍一下连续函数的介值定理，意思是对于一个在区间[a，b]内连续的函数，对于其更大值和最小值之间的任意一个常数，我们当然可以在区间[a，b]内找到一个点使得该点的函数值等于这个常数。

了解了这些细节之后，我们再来看看刚才的公式:

右边的积分算什么？它计算的是被函数包围的曲线的面积，但现在我们已经把它转换成了函数值乘以宽度，所以我们可以把它看作是一个矩形的高度。我们来看下图。

也就是说，高度为f(ξ)的矩形面积等于函数所围成的曲面面积，所以它既是矩形的高度，也是函数在[a，b]上的平均值。

中值定理是微积分领域最重要的定理，几乎没有一个是整个微积分的主线。我们熟悉中值定理的推导过程，这对我们加深对微积分的理解很有帮助。更重要的是，相对来说，这两个定理的推导过程并不是很难，而且还挺有意思的，所以推荐大家自己尝试一下。

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