主要介绍如何采用 OpenCV 和 Dlib 库，实现图片中人头部姿态估计.

在很多场景中，需要知道人头部相对于相机的倾斜程度. 例如，在 VR 领域，可以采用头部姿态来渲染场景的视角. 在辅助驾驶系统中，对准司机脸部的相机，可以根据头部姿态估计，判断司机是否注意力集中. 此外，还可以采用给予手势的头部姿态来控制 hands-free 应用(或游戏). 例如，将头部从左到有扭转，可以表示 NO. 但，如果是在印度南部，这个信号表示 YES.

本文作者认为，头部姿态估计是很有应用价值的.

1. 什么是姿态估计？

在 CV 领域中，物体的姿态是其相对于相机的方向(orientation)和位置(position). 通过移动物体相对于相机的位置，或者移动相机相对于物体的位置，即可改变物体的姿态.

这里所描述的姿态估计问题通常是 Perspective-n-Point (PNP) 问题，其旨在，对于标定相机(calibrated camera)，找出物体的姿态；其中，已知物体的 n 个 3D 点，以及其在图片中所对应的 2D 投影.

对于一个标定好的摄像机，根据目标在 3D 世界坐标系中 n 个点的坐标和对应投影到 2D 图像坐标系中的点集之间的变换关系矩阵进行求解.

3D 刚体仅有两种相对于相机的运动：

关于 X, Y 和 Z 轴，旋转相机. 因此，旋转 也有三个自由度.

因此，3D 物体的姿态估计，即是计算 6 个变量 - 三个平移和三个旋转.

3. 姿态估计所需信息

为了计算图片中物体的 3D 姿态，需要知道一下信息：

这里采用的人脸关键点有：鼻尖，下巴，左眼的左角，右眼的右角，左嘴角，右嘴角.

同时还需要 2D 特征点对应的 3D 位置.

可能首先会想到，需要获取图片中人体的 3D 模型，才能得到 3D 位置. 而，实际上，是不需要的. 通用 3D 模型即可.

如何获取头部的 3D 模型呢？ 实际上不需要 完整的 3D 模型，只需要任意坐标系中一些点的 3D 位置. 这里采用如下的 3D 点：

要注意的是，这些点是在任意坐标系统的. 即世界坐标系(World Coordinates).

正如上面所述，这里需要首先进行. 即，需要知道相机的焦距(focal

进行相机参数估计时首先需要对相机进行标定，精确的相机标定需要使用张正友的棋盘格标定，这里还是进行近似.

相机的内参数矩阵需要设定相机的焦距、图像的中心位置并且假设不存在径向畸变. 这里设置相机焦距为图像的宽度(以像素为单位)，图像中心位置为(image.width/2,image.height/2).

4. 姿态估计算法原理

姿态估计有很多常用算法，最早的算法可以追溯到 1841 年. 这里不涉及到这些算法细节的解释，只是利用其思想.

这里需要用到三个坐标系统. 人脸特征的 3D 坐标是以世界坐标系进行表示的，如果旋转和平移是已知的(例如，pose)，那么可以将世界坐标(world coordinates)中的 3D 点转换到相机坐标系(camera coordinates)中的 3D 点. 然后，采用相机的内在参数(焦距、光学中心等)，将相机坐标系中的 3D 点再投影到图像平面(如，图像坐标系).

下面将图像成像公式分解，以理解上面的坐标系统的工作原理. 如上图中，$o$ 是相机中心，图中的平面即为图像平面. 目的是，找出 3D 点 $P$ 到图像平面的投影 $p$ 的等式.

如果具备线性代数知识，可以看出上述等式中，如果变量数(如，$(X, Y, Z)$ 和 $(U, V, W)$ )已知的足够多，该等式是线性系统的等式. 其中，$r_{ij}$ 和 $(t_x, t_y, t_z)$ 是未知的，是可以求解未知量.

下一章节中会涉及到的，只有 $(X, Y, Z)$ 是已知的，因此该等式不是简单的线性系统问题.

如果存在径向畸变，则会变得复杂一些. 不过这里先跳过.

公式中的 $s$ 是未知的缩放因子. 其在公式中的原因是，在任何图片中深度(depth)都是未知的. 如果将点 $P$ 的 3D 坐标加入到相机的的中心 $o$，则，点 $p$ 是射线 $oP$ 与图像平面的交点. 沿着射线的加入到相机中心和点 $P$ 的所有点，产生相同的图像. 换句话说，采用等式(3)，只能得到 $(X, Y, Z)$，最多还能得到尺度 $s$.

这就会使得等式 (2) 变得复杂. 且更类似于：

幸运的是，等式(4) 还是可以采用 方法进行求解的. DLT 方法可以用于求解等式接近与线性系统，但又包含未知尺度因子的等式问题.

DLT 方法可能是不够精确的，其主要原因是：

[1] - 旋转 $\mathbf{R}$ 包含三个自由度，但 DLT 算法中的矩阵表示要采用 9 个数字. 并没有限制该估计的 3x3 矩阵必须为旋转矩阵.

[2] - 更重要的是，DLT 方法并不是对正确的目标函数进行最小化. 理想情况下，想要最小化的是重投影误差(reprojection error).

另外还知道 2D 人脸特征点(可以采用 Dlib 库或手工选取). 则可以计算投影的 3D 点和 2D 人脸特征点之间的距离. 如果估计的人脸姿态是很完美的，则 3D 点投影到图像平面，会与 2D 人脸特征点高度重合(line up). 如果估计的人脸姿态不够好，则需要计算重投影误差，其计算的是投影的 3D 点和 2D 人脸特征点之间的平方差距离.

$\mathbf{t}$，以寻找更好的姿态估计. 虽然该方案有效，但速度会非常慢. 实践证明， $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{t}$ 迭代改变的有几种主要方式，以使得重投影误差衰减，这种方式被成为 optimization. 详细细节可参考 .

其中，$f_x$ 和 $f_y$ 可以采用图像的宽度进行逼近，$c_x$ 和 $c_y$ 可以是图像中心的坐标.

人脸特征点的位置是硬编码的，如果需要使用自定义的图片，需要修改 image_points 向量.