第一章 静力学公理和物体的受力分析

1、两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是
    A、它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件；
    B、它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件；
    C、它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件；
    D、它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件。

13、关于静力学中约束的概念，以下表述错误的是
    C、约束力的大小和方向只与作用于非自由体的主动力有关；

14、以下关于工程中的常见约束的说法中，错误的是
    A、柔绳约束与链条约束类似，约束力只能沿着绳索的方向背离被约束的物体；
    B、光滑铰链约束和光滑球铰链约束本质上都是光滑接触约束，约束力其实只有一个；
    C、光滑接触面约束对应的约束反力，其方向沿着接触处的公法线而指向被约束的物体；
    D、光滑圆柱铰链约束包含向心轴承、活动铰链支座、固定铰链支座、光滑球铰链等。

5、关于平面共点力系的平衡条件，以下说法错误的是？
    A、平面共点力系平衡的解析条件中两个坐标轴必须是正交的；
    B、平面共点力系平衡的解析条件中两个坐标轴可以不正交；
    D、平面共点力系平衡时各力在任一轴上投影之代数和一定为零。

6、关于力的投影，以下表述错误的是？
    B、力在两个相交轴上投影的大小和其在该两轴上分力的大小不一定相等；
    C、力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴夹角的余弦值；
    D、平面共点力系的合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴投影的代数和

7、一个力沿两个互相垂直的轴线的分力与该力在该两轴上的投影之间的关系是
    C、两个分力的大小不可能等于其在相应轴上的投影的绝对值

8、一个力沿两个互不垂直的相交轴线的分力与该力在该两轴上的投影之间的关系是
    A、两个分力分别等于其在相应轴上的投影；两个分力分别等于其在相应轴上的投影；
    B、两个分力的大小分别等于其在相应轴上的投影的绝对值；
    C、两个分力的大小不可能等于其在相应轴上的投影的绝对值

2、平面一般力系向平面内一点简化，得到一个力和一个力偶。下列说法正确的是

4、平面任意力系向O点简化，得到如图示一个力和一个力偶，其中为零，不一定为零，则该力系最后合成的结果为

13、平面力系由三个力组成（假设三个力互不平行），以下表述正确的是
    A、若力系向某点简化，主矩为零，则此三个力必然汇交于一点；

19、图示两种构架均不计杆重，在AB杆上作用一力F，若将F沿其作用线移至AC杆上，试问两构架在B、C处的约束反力有无变化
    C、图（a）构架在B、C处约束反力有变化，图（b）构架在B、C处约束反力无变化
    D、图（a）构架在B、C处约束反力无变化，图（b）构架在B、C处约束反力有变化

21、同平面内的两个力偶，只要力偶矩相同（大小相等，转向相同）就是等效力偶。那么（a）中所示的两个力所组成的力偶与图（b）中所示两个力所组成的力偶，其力偶矩相同，等效吗？

27、若平面力系由三个力组成，设这三个力互不平行，下述说法正确的是
    A、若力系向某点简化，主矢、主矩同时为零，则此三个力必然汇交于一点
    B、若力系向某点简化，主矢为零，则此三个力必然汇交于一点
    C、若力系向某点简化，主矩为零，则此三个力必然汇交于一点

36、若平面力系由三个力组成（设这三个力互不平行），下述说法正确的是
    A、若力系向某点简化，主矩为零，则此三个力必然汇交于一点

14、关于力和力偶的区别，以下表述错误的是
    C、力偶矩矢的指向是人为规定的，而力矢的指向则由力本身决定

18、图示为一方桌的对称平面，水平拉力和桌子重都作用在对称平面内，桌腿、与地面之间的静滑动摩擦系数为f。若在对称平面内研究桌子所受的滑动摩擦力。以下四种情况下哪一种说法是正确的？

20、图示系统摩擦忽略不计，球重为，三角木块重量不计，挡块高度为。为使系统处于平衡，下述说法哪个是正确的？

23、关于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（）

第六章 点的运动学测验题

43、两个点沿同一圆周运动，下述说法错误的是（ ）
    C、若两个点的全加速度矢在某瞬时相等，则该瞬时两点的速度大小必相等
    D、若两个点的全加速度矢在某段时间内相等，则这两点的速度在这段时间内必相等

45、半径为r的车轮在直线轨道上滚动而不滑动，轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合,如图所示。已知轮心A的速度u是常量，则轮缘上一点M的运动，以下说法正确的是（ ）

47、在半径为R的铁圈上套一小环，另一直杆AB穿入小环M，并绕铁圈上的A轴逆时针转动(常数)，铁圈固定不动，如图所示。关于小环M的加速度，以下说法正确的是（ ）

第七章 刚体的基本运动

第七章 刚体的基本运动测验题

4、刚体作定轴转动时（ ）
    B、某瞬时其上任意两点的法向加速度大小与它们到转轴的垂直距离成反比
    D、某瞬时在与转轴垂直的直线上的各点的加速度方向互相平行

10、刚体作定轴转动时，其上某点A到转轴的距离为R。为求出刚体上任一点B（到转轴的距离已知），在某瞬时的加速度的大小。以下四组条件，哪一个是不充分的？（ ）

22、所谓“刚体作平动”指的是刚体运动时有下列性质中的（ ）

23、以下说法正确的是（ ）
    D、当刚体作曲线平动时，同一时刻各点速度相同，但由于刚体上点的轨迹为曲线，从而有法向加速度，故各点加速度不相同

24、以下说法正确的是（ ）
    A、如果定轴转动刚体的角加速度与角速度的转向相同，则越转越块，属加速度转动
    B、定轴转动刚体的角加速度为正值时，刚体一定会越转越快，角加速度为负值时，则越转越慢
    C、如果知道定轴转动刚体上任一点的法向加速度，就不但可以求得刚体转动角速度的大小，还可以知道其转向
    D、如果知道了定轴转动刚体上任一点的全加速度大小和方向，就不但可以求得该刚体的角速度﹑角加速度，还可以知道该刚体是加速转动还是减速转动

第八章 点的复合运动的基本概念测验题（一）

1、A、B两点相对于地面作任意曲线运动，若要研究A点相对于B点的运动，则（ ）

2、点的合成运动中（ ）
    C、牵连速度和牵连加速度是指动参考系对定参考系的速度和加速度
    D、牵连速度和牵连加速度是该瞬时动系上与动点重合的点的速度和加速度

8、平面机构如图所示，O1A绕轴O1转动，动点M沿平板上的直槽运动，若要研究点M的运动（ ）

13、A车沿圆弧形轨道行驶，B车沿水平轨道行驶，如图所示，现欲求B相对于A的速度，则动点、动系及牵连运动分别为（ ）

16、如图所示，偏心凸轮半径为R，绕O轴转动，转角(ω为常量)，偏心距OC = e，凸轮带动顶杆AB沿铅直线做往复运动。选A为动点，动系固连于凸轮，定系固连于地球。以下说法正确的是（ ）

17、如图所示，半径为R的半圆形凸轮以等速v0沿水平线向右运动，带动杆AB绕轴B转动。选AB杆上A为动点，动系固连于凸轮，定系固连于地球。以下说法正确的是（ ）

18、如图所示，半径为R的半圆形凸轮以等速v0沿水平线向右运动，带动杆AB绕轴B转动。选凸轮圆心O为动点，动系固连于AB杆，定系固连于地球。以下说法正确的是（ ）

19、图示机构中半圆板A、B两点分别由铰链与两个等长的平行杆连接，平行杆O1A和O2B分别绕轴O1与O2以匀角速度w转动，垂直导杆上装一小滑轮C，滑轮紧靠半圆板，并沿半圆周作相对滑动，使导杆在垂直滑道中上下平移。若以滑轮C为动点，以半圆板AB为动系，分析图示位置滑轮C的运动速度。以下说法正确的是（ ）

20、在半径为R的铁圈上套一小环，另一直杆AB穿入小环M，并绕铁圈上的A轴逆时针转动(ω=常数)，铁圈固定不动，如图所示。若以小环M为动点，以杆AB为动系，分析图示位置小环M的运动速度。以下说法正确的是（ ）

第八章 点的复合运动的速度合成定理测验题（二）

2、点的合成运动中速度合成定理的速度四边形中
    D、D. 相对速度、牵连速度和绝对速度在任意轴上投影的代数和等于零。

9、图示机构中半圆板A、B两点分别由铰链与两个等长的平行杆连接，平行杆O1A和O2B分别绕轴O1与O2以匀角速度w转动，垂直导杆上装一小滑轮C，滑轮紧靠半圆板，并沿半圆周作相对滑动，使导杆在垂直滑道中上下平移。若以滑轮C为动点，以半圆板AB为动系，分析图示位置滑轮C的运动速度。以下所画的四个速度四边形中，哪一个是正确的？（ ）

28、如图所示的等腰直角三角形物块在水平面内作平移运动，其顶点A的运动方程为：，同时，有一动点M沿斜边以规律运动，（其中x、y、s以米计，t以秒计），则在秒时，动点的牵连速度的大小等于（

30、利用点的速度合成定理求解点的运动时，以下四组已知条件下的问题，哪些可求出确定解？（ ）

第八章 点的复合运动的加速度合成定理测验题（三）

14、曲柄滑道机构中T形构件BCDE的BC段水平，DE段铅直。已知曲柄OA长r，它在图示位置时的角速度为w，角加速度为e，其转向均为顺时针向。取曲柄OA上的A点为动点，动系选为与T形构件固连。现欲求动点A的相对加速度和T形构件的加速度，标出A点的各项加速度如图，并取图示的坐标系，则根据加速度合成定理，以下所示的四个表式中，哪一个是正确的（ ）

15、图示曲柄滑道机构中，导杆上有圆弧形滑槽，其半径R=250px，圆心在导杆上。曲柄长OA=250px，以匀角速度w=4p rad/s绕O轴转动。取曲柄OA上的A点为动点，动系选为与圆弧形滑槽固连。现欲求当j =30o时导杆CB的加速度和滑块A相对导杆CB的加速度，标出A点的各项加速度如图，并取图示的坐标系，则根据加速度合成定理，以下所示的四个表式中，哪一个是正确的（ ）

29、利用牵连运动为平移时点的加速度合成定理求解点的运动时，以下四组已知条件下的问题，哪些可求出确定解？（ ）

30、点在合成运动中，下述说法正确的是（ ）
    C、当相对运动是直线运动时，动点的相对运动只引起牵连速度大小的变化。当相对运动是曲线运动时，动点的相对运动可引起牵连速度大小和方向的变化
    D、科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向、相对运动又改变了牵连速度的大小和方向而产生的加速度

第九章 刚体的平面运动

第九章 刚体的平面运动测试题

12、如图所示平面机构中，半径为R的圆轮在水平粗糙面上滚动而不滑动，滑块B在水平槽内滑动。已知曲柄OA在图示铅直位置时的角速度为、角加速度为零,，轮的角速度用表示，则（）

18、如图所示机构在图所示位置时，OA杆的角速度为，角加速度为零，OA、BC、CD三杆的倾斜角均为45°，DE杆铅直。已知，则此时D点的速度大小为（）

34、如图机构在图示位置时，和两杆均处于水平位置，杆的角速度、角加速度。已知，，则此时杆的角加速度为（）

36、如图示，杆OA可绕O轴转动，其A端与AB杆铰接，B端沿水平面滑动。已知OA=AB=15cm。在图示位置时，OA杆的角速度为零、角加速度为，它与铅直线的夹角为30°，AB杆与水平线的夹角亦为30°，则此时AB杆的角加速度为（ ）

49、图示机构中，曲柄OA以匀角速绕O轴朝逆时针向转动，滑块D以匀速沿水平槽内向左滑动，OA=AB=10cm，BD=30cm，与位于同一铅直线上。在图示位置时，，，则此时AB和BD两杆的角速度和分别为（ ）

50、如图平面机构在图示位置时，曲柄OA的角速度和角加速度分别为和，它们的转向均为逆时针向，与两杆铅直，AB杆水平，CD杆与水平线的夹角为。已知半径为R的滚子在水平面上作纯滚动，，。此时CD杆的角速度和角加速度分别用和表示，C、D两点的加速度分别用和表示，则有（ ）

第十章 质点动力学测试题

9、设汽车以匀速通过图示路面A、B、C三处时，车对该三处路面的压力大小分别为、、，则（ ）

14、如图，假设滑翔机以初速沿水平直线飞行，它所受空气阻力，其中K为比例系数，m为滑翔机的质量，为滑翔机的速度，则滑翔机从运动开始到任意瞬时t所飞行的距离x为（ ）

17、重为P的重物，放在动滑动摩擦系数为f的斜面上，以加速度a沿斜面向下滑动。现在在此物块上焊接一重为P的重物，则焊接物块前与焊接物块之后（ ）
    A、物块与斜面间动滑动摩擦力大小不同，重物向下滑动的加速度不同
    B、物块与斜面间动滑动摩擦力大小不同，重物向下滑动的加速度相同
    C、物块与斜面间动滑动摩擦力大小相同，重物向下滑动的加速度不同
    D、物块与斜面间动滑动摩擦力大小相同，重物向下滑动的加速度相同

18、两个运动的质量相同的质点，初始速度大小相同，但方向不同。如果任意时刻两个质点所受外力大小、方向都完全相同，下述说法正确的是（ ）

19、甲站在地面上抛一个球给在另一位置固定站立的乙，在球的初速大小不变的条件下，下属说法正确的是（ ）

21、两个质点，质量相同，初始速度的大小和方向也完全相同，以后任何瞬时的速度大小都相同。以下说法正确的是（ ）

23、两个不同半径的圆形轨道光滑连接（连接点是两圆的切点）。一质点在一大小不变的切向力作用下沿此轨道运动。则（ ）

26、在距地面同一高度上，有两个相同的物体。在同一时刻，甲物体开始自由下落，而乙物体以较高的速度沿水平方向射出。在以下三种情况下：（1）不计空气阻力，（2）空气阻力与速度的一次方成比例，（3）空气阻力与速度平方成比例，以下说法正确的是（ ）

27、自同一地点，以相同大小的初速度、不同的倾角斜抛两质量相同的小球，对选定的坐标系，以下关于两小球运动微分方程、运动初始条件、落地速度大小和方向的说法正确的是（ ）
    A、运动微分方程和初始条件不同，落地速度大小和方向相同
    B、运动微分方程相同，初始条件不同，落地速度大小相同，速度方向不同
    C、运动微分方程和初始条件相同，落地速度大小和方向不同
    D、运动微分方程和初始条件不同，落地速度大小相同，速度方向不同

第十一章 动能定理测试题

18、绞车提升机构中，滑轮跨过滑轮C并缠在半径为、质量为的鼓轮B上，提升质量为的重物A。在鼓轮B上作用的力矩与鼓轮转角的平方成正比：，其中为比例常数。已知鼓轮B的质量均匀分布在圆盘边缘上，滑轮C可以看做质量为的均质圆盘，半径是，绳索质量忽略不计，初始状态静止。当重物上升高度h时，它的速度为（）

19、滑轮的质量，半径r，可绕光滑水平轴O转动，回转半径是。滑轮上缠不可拉伸的的柔绳，绳的一端挂着质量的重物A，另外一端用刚度为的铅直弹簧BD固定在D点。假设柔绳与滑轮之间没有相对滑动，绳和弹簧的质量忽略不计，物块A的运动方程是（）

21、电动绞车的鼓轮A的半径是，质量为，电动机在鼓轮轴作用力矩，与鼓轮转角 成正比，比例系数为。已知重物B的质量为，鼓轮A可以看成实心圆盘，绳索的质量不计，在初始时刻系统静止。重物的速度与其高度的关系是（）。

22、凸轮机构放在水平面内，偏心轮驱动推杆D做往复运动。与推杆D链接的弹簧E保证小轮B与偏心轮接触。偏心轮的质量是，偏心距等于偏心轮半径的一半，弹簧的刚度系数为。当推杆处于最左边时弹簧不受力。偏心轮可以看成是均质圆盘。欲使推杆从最左边运动到最右边，偏心轮的初角速度至少为（）。

26、均质轮A的半径，质量；可在倾角为粗糙平面上做纯滚动。均质轮B的半径，质量。水平弹簧刚度是。A通过柔绳跨过轮B与弹簧向链接。假设柔绳与圆轮B不发生滑动，绳子与斜面平行，不计绳重和摩擦。轮心A沿着斜面向下运动的最大距离是（）。

27、均质轮A的半径，质量；可在倾角为粗糙平面上做纯滚动。均质轮B的半径，质量。水平弹簧刚度是。A通过柔绳跨过轮B与弹簧向链接。假设柔绳与圆轮B不发生滑动，绳子与斜面平行，不计绳重和摩擦。 轮心A沿着斜面向下运动的最大距离时轮心A的加速度。

28、外啮合行星齿轮放在水平面内，在曲柄OA上作用常力矩，来带动齿轮I沿固定齿轮II滚动而不滑动。已知齿轮I和II分别具有质量和，并可看成是半径为和的均质圆盘。曲柄OA具有质量，可看成是均质直杆。已知机构由静止开始运动，曲柄的角速度与转角之间的关系为（）。

29、在曲柄滑块机构中，曲柄OA对O轴的转动惯量为，滑块A的重量是，滑道杆的重量是。曲柄长为。系统初始静止于角度。曲柄OA在力矩的作用下开始运动。当曲柄转过一整圈时，其角速度是（）。（其中滑块A和滑槽之间的摩擦力为常数，其余摩擦忽略不计。）

35、1、 弹簧的刚度系数是，其一端固连在铅直平面的圆环定点O，另一端与可沿圆环滑动的小套环A相连。小套环重。弹簧的原长等于圆环的半径r。下列情形中，重力和弹性力做功分别为(其中)

36、均质轮A的半径，质量；可在倾角为的粗糙平面上做纯滚动。均质轮B的半径，质量。水平弹簧刚度是。A通过柔绳跨过轮B与弹簧向链接。假设柔绳与圆轮B不发生滑动。假设系统从弹簧无伸长状态开始释放，圆轮A沿斜面下滚距离S时，

37、一个均质圆盘在水平面上做无滑动滚动。其上作用一个力，该力与水平方向夹角为 ；水平面与圆轮底部的摩擦力为（如图）。圆盘向右运动运动过距离以后， 注：系统会随机调整答案顺序，所以大家只需选出所有正确答案，不必纠结选项顺序

第十二章动量定理测试题

第十三章 动量矩定理测试题

7、质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为b，轴AB以匀角速度w 转动。A、B轴承间的距离为h。系统转动过程中有（ ）。

15、匀质轮子半径是，重量是，在水平面上滚动而不滑动，不计摩阻。在下列两种情况下，轮心C的加速度是否相等？接触点处的摩擦力是否相等？(a)轮上作用一个顺时针方向的常值力偶，力偶矩为；(b) 轮心C上作用一个水平向右的常力，其大小为。则有( )

第十四章 达朗贝尔原理

第十四章 达朗贝尔原理测试题

1、在质点系的达朗伯原理的结论中，以下说法中，正确的是（ ）。
    A、所有作用的外力主动力与各质点的惯性力组成一平衡力系，约束力可不必考虑；
    B、所有作用的主动力和约束力中的外力与各质点的惯性力在形式上构成一平衡力系；
    C、所有的主动力（包括内力）和约束力（不包括内力）组成一平衡力系；

6、图示炮弹在空中运动，炮弹看成为一质点，若不计空气阻力，在图示位置时，对于其惯性力有以下几种说法，正确的是（ ）。

10、以下几种说法中，哪个是正确的？
    A、绕定轴转动的刚体，只有当其质心在转轴上，其轴承上就没有附加的动反力，而达到动平衡。
    B、具有对称平面的物体绕定轴转动时，若转轴垂直于此对称平面，就可达到动平衡。
    C、绕定轴转动的刚体，要使其达到动平衡，只要其转轴通过刚体的质心就可以。
    D、绕定轴转动的刚体，要使其达到动平衡，不仅要其转轴通过刚体的质心，而且还要求转轴垂直于其质量对称平面。

11、以下几种说法中，正确的是（ ）。
    A、当刚体绕定轴转动时，惯性力系的合力必作用在其质心上；
    B、当刚体作平移运动时，惯性力系的合力必作用在其质心上；
    C、只有当惯性力系的主矢等于零时，惯性力系的主矩与简化中心的位置无关；

12、质点系的惯性力系向一点简化，一般得一主矢和一主矩。以下几种说法中，正确的是（ ）。

13、图示系统由不计质量的定滑轮O和均质动滑轮C、物块A、B用绳连接而成。已知轮C的重量为Q = 200N，物块A、B的重量相同，大小为P = 100N。物块B与水平支承面间的静摩擦因数f = 0.2。则系统由静止开始运动瞬时，D处绳子的张力为（ ）N。（保留1位小数）

14、匀质滚子质量M=20kg，被水平绳拉着在水平面上作纯滚动。绳子跨过滑轮B而在另一端系有质量m=10kg的重物A。如果不计滑轮和绳子的质量，则滚子C中心的加速度为（ ）。（保留1位小数）

15、图示两重物通过无重的滑轮用绳连接，滑轮又铰接在无重的支架上。已知物G1、G2的质量分别为m1=50kg，m2=70kg，杆AB长l1=120cm，A、C间距离l2=80cm，。则杆CD所受的力为（ ）kN。（保留2位小数）

16、水平匀质细杆AB长l=1m，质量m=12kg，A端用铰链支承，B端用铅直绳吊住。现在把绳子突然割断，则刚割断时杆AB的角加速度为（ ）。(保留1位小数）

17、图示均质定滑轮O铰接在铅直无重的悬臂梁OA上，用绳与滑块B相接。已知轮半径为1m、重力大小为20kN，滑块B的重力大小为10kN，梁长为2m，斜面倾角tanθ =3/4，动摩擦因数为0.1。在轮O上作用一常力偶矩M = 10kN·m。则铰链O处水平方向的约束力大小为（）kN。（保留2位小数）

2021年春季学期期末考试

2021年春季学期理论力学期末考试

沧州一中吧-什么是打油诗

2020年10月9日发(作者：嵇承浚)

上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻 方该怎样填呢？
下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。
将1-16这 16个数填入下面这个4×4的方格内，使得所有的横、
竖、斜列所加之和都相等。
首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写
要求是：调换（数与数间的调换）先把1-16这16个数按顺序填好。
第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。
第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。

例1 有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。规定谁拿
走最后1颗棋子 ，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？
由于甲、 乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子，即每次保证两人共拿走1+2=3颗，
53颗共要取53÷3=1 7（次）……2（颗），即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那
2颗。这样下面轮流时，甲只需要 与乙拿的总和是3就必胜无疑了。
关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余
的先拿走，这样先拿的人就容易取胜了。
1、有287个球，甲、乙两人 用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流
取，每人每次最多取2个，最少取1个，取最后一 个球的人为胜利者。甲要想获
2、有388个球，甲、乙两人用这些球 进行取球比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取，
每人每次取1个、2个、或3个，取最后一个球的人为失败 者。如果甲先取，甲为了
取胜，他应该采取怎样的策略？
3、有197粒棋子，甲乙二人分别 轮流取棋子，每次至少取1个，最多取4粒，不
能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定 谁先取？你认为先取的获
例2 有两堆火柴，一对26根，一堆 11根。甲乙两人轮流从中拿走1
根或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根 算谁
【思路点拨】 这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当 两堆

的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根
数，就能保证取到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所
以要先取走多的那几根就行了 。
1、有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中 任意取球。
规定取到最后一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？
2、取两堆石子 ，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把
这堆石子一次拿走完），但每次至少 拿1粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁
就获胜，问如何才能取胜？
3、下面 是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的△，没人每次画一个△，所画
的△不能与已画的相交或重叠 ，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个△，谁就获
1、有一枚骰子，六个面分别写着1-6六个数，两次掷这枚骰子，将两次
朝上的面上的数相加 ，和的个位数字最大的可能性是（ ）。
2、有102粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人 至少取1粒，最多取4
粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的策略是什么？
3、 桌面上有199根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根，谁取到最后
一根火柴为胜，问获胜的策略是什 么？
4、王叔叔体重75千克，他从地里摘了2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔
回家要经过一 座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个办法，让他和
西瓜一次安全地过河去。
5、 一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个
点串起来，你能做到吗？

例1：分母是91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？
真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真
分数。分母是91的真分数一共有90个，分别是
是1～90的自然数。在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。要求
最简真 分数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。而91=7×13，
在1～90的自然数中，7的 倍数有13－1=12（个），13的倍数有7－1=6（个），
这样分子可取的数一共有90－（12 +6）=72（个）。
1.分母是51的真分数有多少个？最简真分数有多少个？
2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？
中的a是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a最小
例2 把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.
（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于，原分数是多少？
（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？
【思路点拨】这道题有两个小 题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两
小题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的 分子都比分母小
1.（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在的分子比分母小1，说明进

行过约分了，未约分前的分子比分母小2，说明是用2 约分的，也就是说原
分数的分母加上1之后，再把分子分母同时除以2所得到的分数是，说明
，这样原分数应是。第（2）题请你自己思考。
1. 一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是
2. 一个分数约分成最简分数是，原分子、分母的和是90，原分数是多少？
的分子和分 母都减去同一个整数，所得的分数约分后是，求
【思路点拨】 一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分
母的差不变。原分数的 分子与分母的差是1 36－73=63，得到的新分数的分
子与分母的差也是63.而新分数约分后变成，9－2=7，因此 可知约去的数
的分子、分母同时加上多少后就可以约分为？
=，这样就可以求出减去的数是多少了。
2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，
这个分 数约分后是，原来这个数是多少？
3. 一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为，

的分子减去某数，而分母同时加上这 个数后，所得的新分数化
【思路点拨】 分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母
的和不变。原分数的分子、分母之和为55+6 4=119，说明新分数的分子、分
，分子、分母的和是4+13=17，因此
可知约去的数是119÷17=7。新分数为。这样可以推算出这个原数
母之和也是119，而新分数约分后是
1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为，求某数。
2.有一个分数，分子加上1可约分为，分子减去1可约分为，求这
3.一个 分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是；如
果分子加上124，分母加上340，那 么约分后是，求原分数是多少？
（1）一个最简分数的分子、分母之积是30，这个最简分数是
（2）一个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数
（3）分母是85的真分数共有（ ）个，分母是85的最简真
（4）一个分数的分子、分母之和是90，约分后是，求原来的

（5）一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，
，求这个最简真分数是（ ）。
的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得
的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为，
4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3
后，这个分数约分为，求原分数是多少？
相遇问题中数量之间的基本关系式：
速度和×相遇时间＝相遇路程 相遇路程÷速度和＝相遇时间
相遇路程÷相遇时间＝速度和
【例1】：一辆公共汽车和一辆 小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而
行，公共汽车每小时40千米，小轿车每小时行50千米， 问几小时后两车相
【分析与解】 两车在相距450千米的两地相向而行， 距离逐渐缩短，在
相遇前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。
需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐
增大 ，到某一时刻，两车再一次相距90千米。
这时两车共行的路程为（450+90）千米。

答：两车在出发后4小时相距90千米，在出发后6再一次相距90千米。
1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行。
甲每分钟 走66米，乙每分钟走59米。经过几分钟才能相遇？
2、两地相距1200千米，甲乙两辆火车从两 地相向而行，同时出发，甲每小
时行120千米，乙每小时行180千米，多少小时后，两车相差300 千米？
【例2】 甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行
4 5千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发。甲车
行几小时后与乙车相遇？
【分析与解】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小树，
这段时间甲 车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时
相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两 车同时相对而行的路程，再除以速
度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。
乙车先行的路 程：41×2=82（千米），甲乙两车同时相对而行路程：
答：甲车行8小时后与乙车相遇。
关键抓住先走的车，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后
计算两车（人）真正相距 的路程，是解答此类问题的关键。
①小丽家距学校有1500米，中午1 1:40分放学回家时，小丽从学校以
每分钟50米的速度回家，走了4分钟后，爸爸骑自行车从家出发 去接小丽，
爸爸的速度是每分钟150米，爸爸出发多长时间会接到小丽？
②某送货员从A乡 镇往B乡镇去送货，他以每小时40千米的速度开摩
托车前往，走了小时后，接货人开汽车去接他，结果 接货人在出发2小时后

遇了多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来 的，因为这些都是无法知
问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的 时间其实
就是甲乙二人相遇的时间，因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并
没有停下来 ，所以，问题的关键又转回了人身上。
甲乙二人相遇时间：100÷（6+4）=10（小时）
狗走的路程为：10×10=100（千米）。
①甲乙两队学生从相 隔18千米的两地同时出发，相向而行，一名学生
骑自行车以每小时14千米的速度在两队间不停地往返 联络，甲队每小时行5
千米，乙队每小时行4千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行多少千米？ ②A、B两地相距400千米，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时
行35千米，乙车每小时 行45千米。一只鸽子以每小时50千米的速度和甲
同时出发，向乙飞去，遇到乙车又折回向甲车飞来， 遇到甲车又往回飞向乙
车，这样一直飞下去。鸽子飞多少千米时，两车正好相遇？
1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距860米的两地出发，相向而行，汽车
每小时行45千米 ，摩托车每小时行70千米，6小时后两车相距多少千米？
2、小强和小明家相距2400米，两人同 时从家中出发相向而行，小强每分钟
走50米，小明每分钟走70米。求：
（1）他们经过多长时间相遇？
（2）3分钟时，他们还相距多少米？

（3）15分钟时，他们相距多少米？
3、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向 开出，甲车每小时56千米，乙车每小
时48千米，两辆车在离中点32千米处相遇，求东西两地间相距 多少千米？
※4、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，
又迅 速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地400
米处，第二次相遇在距乙地150 米处。问，甲、乙两地之间相距多少米？
第六讲 公因数和公倍数
我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的
一个叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数a和b的最大公因数记为（a，b）。
几个数共有 的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小
公倍数，一般地，把自然数a和b 的最小公倍数记为[a，b]。
两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即：
【例题1】 有两根彩带，分别长45厘米和30厘米 。现在要把这两根彩带剪成长度相
等的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？
【点拨与解】 这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是45厘米
和3 0厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是45和30的最大公因
答：每段短彩带最长是15厘米。
1、 陆老师买了36个本子、24支钢笔，分别平均将给五（4）班三好学生，结果正好全
部分完，问五（4 ）班最多共有多少名三好学生？

2、把一张长12厘米、宽20厘米的长方形纸，裁成 同样大小、面积尽可能大的的正方形，
裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？
有一批地砖，每块长45厘米，宽30厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺
【点拨与解】 要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公
倍数；又因为要 用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地
的边长要尽可能小，所以正方形地 的边长是地砖长和宽的最小公倍数。
答：至少要6块才能铺成正方形地。
1、有一批强化地板，长150厘米，宽20厘米，至少要用多少块这样的地板才能 铺成正
2、一路和二路公交车早上6点同时从汽车站发车，一路车每7分钟发一辆车 ，二路车每
8分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？
3、柴油机上有两个互相 咬合的齿轮，甲齿轮有72个齿，乙齿轮有28个齿，其中某一对
齿，从第一次相遇到第二次相遇，两个 齿轮各转了多少圈？
例3 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是300，已知其中一个数是
75，求另一个数是多少？
【点拨与解】 根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个
数的乘积，可以直接求出另一个数来。

1、两个数的最大公因数 是21，最小公倍数是126，已知其中一个数是
42，求另一个数是多少？
2、已知两个自然数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数的最
3、已知两个数的最小公倍数是210，它们的积是1260，那么这两个数
的最大公因数是多 少？
例4 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改为每两根之间相距60米，除两端不
需要移动外，中途还 有多少根不必移动？
【点拨与解】 从学校到少年宫的这段公路的总长是50×（37-1）=1800米，（因为有37-1=36个间隔）。从路的一端开始，是50和60的公倍
数处的 那根电线杆就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，
从第一根开始，每隔300米就 有一根电线杆不必移动，（根），
就是有6根不必移动，去掉最后的那一根，所以 ，中途共有5根不必移动。
答：中途还有五根不必移动。
1、插一排彩旗共26 面。原来没两面之间的距离是4米，现在改为5米。
除起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？
2、在长288米的河堤上，每隔4米栽了一棵树。现在要改为每隔6米
栽一棵树，可以不拔出 来的树有多少棵？
3、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植
一 棵树。由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵树。如果两端不算，中

9、甲、乙两列火车从相距470千米的两城相向开出，甲车每小 时行38
千米，乙车每小时行40千米。乙车先出发2小时后，甲车才出发。甲
车行几小时后与 乙车相遇？

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