大学生数学竞赛参赛大纲

为了推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标。

一、竞赛的性质和参赛对象

“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：

1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.

2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.

1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.

2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.

3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.

4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.

1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.

3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.

1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.

2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.

3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.

4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.

1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.

2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.

3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.

4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.

5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.

1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.

2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.

3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.

4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.

5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.

6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.

7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.

级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.

函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.

幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.

三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.

1.数域与一元多项式的概念

2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法

3.互素、不可约多项式、重因式与重根.

4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.

5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.

6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.

7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.

1.n级行列式的定义.

2.n级行列式的性质.

4.行列式按一行（列）展开.

1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.

2. n维向量的运算与向量组.

3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.

4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.

5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.

6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.

7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数

1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.

2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.

3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.

4. 分块矩阵及其运算与性质.

5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.

6. 分块初等矩阵、分块初等变换.

五、双线性函数与二次型

1.双线性函数、对偶空间

2.二次型及其矩阵表示.

3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.

4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.

5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵

1.线性空间的定义与简单性质.

3.基变换与坐标变换.

5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.

1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.

2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.

3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.

4.线性变换的值域与核、不变子空间.

2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.

1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.

2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.

4.正交变换、子空间的正交补.

5.对称变换、实对称矩阵的标准形.

6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.

1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.

2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.

3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.

4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.

5. 应用向量求解一些几何、三角问题.

1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.

2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.

3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.

4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.

1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.

2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.

3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.

4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.

1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.

2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.

3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.

4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.

五、二次曲线的一般理论

1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.

2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.

3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.

4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.

5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.

（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：

1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.

8．连续函数的性质和初等函数的连续性.

9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.

8. 函数最大值和最小值及其简单应用.

9. 弧微分、曲率、曲率半径.

1.原函数和不定积分的概念.

2.不定积分的基本性质、基本积分公式.

3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.

5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．

1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.

2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.

3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：.

4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.

6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积

8.微分方程的简单应用

五、向量代数和空间解析几何

1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.

2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.

4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.

6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.

7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.

1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.

2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.

3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

4.多元复合函数、隐函数的求导法.

5.二阶偏导数、方向导数和梯度.

6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.

7.二元函数的二阶泰勒公式.

8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.

1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.

4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.

6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)

1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.

2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.

3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.

4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.

5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.

7.初等函数的幂级数展开式.

8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数