【线性代数】个人理解的随笔（仅个人观点）:               关于向量，矩阵和方程组，向量的出现，就代表了有维度的思考，向量组里，向量的列数和行数都代表了向量的维度。

  而在向量中，有效向量是可以增加向量维度的，不可以增加向量维度的都没有效，那么它必然可以被其他的向量线性表示，也就是和其他向量线性相关！！

在向量的考察中，无论是判断相关，无关，都是判断向量之间的有效性和无效性！！！

  矩阵:出生开始，就已经确定了它在几维空间中生活，也确定了它的向量关系。所以，他就像一个公式，或者是一个机器，亦或者是一个房子，一个向量住在不同的房子或者经过不同的变换，是不一样的！！

  那么方程组（Ax＝0向量或者B向量）呢，就是一个向量x经过A的变换，成了一个新的向量。或者是向量组变成新的向量组。

  那么这个变换是怎么样变换的？？又为什么这么变换呢？？我们要求什么呢？？怎么求呢？？这等等又是一个值得思考的问题！！

抛开多维度的，用身边三维空间和二维平面来思考和举例子，会方便很多。如果A变换是一个在二维的面，yz面吧，而x他所生存的空间是一个二维的而且也是yz面，那么，Ax＝0，是不是意味着，0向量是一个原点，那么就意味着，在这个无限遨游的大平面A上，x只能是0这个点，他才能等于0。那么x要是生活在三维的空间中，它想变成0的那个点，因为A这个大平面，只能控制的了x在这个平面内，而x不仅仅局限在这个平面内，他被这个平面约束的确实变成了0，而空间中，不在平面上的，还有他无限个分身。所以存在x不等于0。

而Ax＝B相对又复杂了一些。因为B向量是生活在几维空间中是未知的！！！！！

早教班课程，就是这个系列写得会肥肠地通俗易懂，唠唠叨叨生怕读者读不懂那种. 某种意义上说也算是我整理笔记的过程. 专栏估计没什么人看，自己图一乐的.

笔者是在初二时开始学一些线性代数的皮毛，而这个系列面向的群体也是愿意抽一些时间出来学一些现阶段考试用不着的“皮毛”的初中生. 因为算是“过来人”，写这个系列的时候或许更清楚初中生在理解这些个乱七八糟新鲜玩意是可能会遇到的困难罢.

我突然想到一件很难绷得住的事情. 我的视频弹幕乌烟瘴气的，跟视频有关的弹幕远远少于说自己是初中生或者高中生的弹幕. 我只能评价为不成熟的小鬼学了一些东西就瞎显摆了，其他很多数学区视频的弹幕也是这个情况. 专栏没什么人看一方面是因为小破站确实是视频网站而非论坛一类，一方面也是因为生怕别人不知道自己是初中生的人根本没有耐心好好看文章学习一些东西吧——又或者，他们真的已经全会了？这我上哪问去（笑）.

这个系列可能会写得很长……可能类似强迫症吧，开了个坑不把它填满一点总觉得不舒服. 当然，我更希望我能填的好一点.

可能会有初学者对这个奇怪的专栏封面感兴趣，或许你以后就知道是什么意思啦.

1.1 向量是一个箭头

因为是面向初中生，初中生还妹学向量，所以这个重要的前置知识还是要单独拎出来细嗦. 

向量（有的时候也叫矢量，好像是搞物理的比较喜欢叫这个名）这个概念和标量（也叫数量或纯量，也是物理人叫得比较多）是相对的. 『数量』指的是有大小而无方向的量，而『向量』不仅有大小，还有方向. 怎么理解呢？我们来举几个例子.

温度是一个数量. 你或许可以说温度的升降是有方向的，但你不能说某一个温度是有方向的. 温度就是一个抽象出来的数字，这个数字只包含了一个东西的冷热程度的信息.

力则是一个向量. 你妈小时候打你屁股，这个时候如果要记录手给屁股施加的力，不能只记录力的大小，还要记录力的方向. 因为在讨论力的时候，力的方向是重要的：它不能在我们做理论研究的时候被抽象掉. 换言之，因为力本来就定义为物体之间的相互作用，所以这个物理量具有天然的、不可忽略的方向性. 手打屁股还是屁股打手，这完全是两码事. 

我们有些初中朋友可能已经学了初中物理课程里面的一大魔头——浮力，或许更能感受到考察力的方向的重要性……什么绳子绕在滑轮组上再拉个木块浸没在水里之类的离谱题目，就非常需要对整个系统的每个力的方向的准确把握.

跟温度一样，长度、质量、体积等都是标量；跟力一样，速度、位移（位移和长度可不一样，位移不仅有距离还有方向）等都是向量.

但并不是所有你看上去“具有方向性”的量都是向量. 这一部分有点难懂，看不懂跳过无碍（因为主要是补充点物理常识，跟我们主要要学的线性代数没多大关系）. 

比如说能量传递是有方向性的，但能量不是向量而是标量. 这是因为，我们讨论一个东西具有的能量的时候，这个概念是没有方向性的；而描述传递过程中的能量实际上用的是另一个概念『能流密度』，它指的是一定单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的能量——这玩意才是向量.

再比如说电流也是有方向性的吧，但（初中物理里面的）“电流”也是标量不是向量. 原因跟上面的例子差不多，其实也是有『电流密度』这个概念的. 初中物理中参与计算的物理量“电流”实际上是指描述电流强弱的『电流强度』. 电流是由电荷定向移动形成的，而电流强度就是指单位时间内通过导体某一横截面的电荷量，这玩意一眼鉴定为标量.

向量的概念当然也可以脱离物理概念来理解，那是另一套语言了. 对于初学者来说，利用物理学当中的概念来理解简单而且管用.

标量只有大小，没有方向，所以我们可以用一个数字来表示它；向量既有大小又有方向，需要用一套不一样的记号来描述它. 我们可以把标量理解成一条线段，它的一个端点在数轴原点上，另一个点可以在数轴上跑，这样可以表示任意大小的标量；类似地，通常我们把向量抽象成一个箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向给出了向量的方向. 

向量在印刷时通常用加粗的小写字母来表示，区分于没有加粗的小写字母表示的标量；手写的时候，就在字母上面加一个箭头来表示向量. 在研究某些问题的时候（通常是平面几何吧），向量也可以用它的起点和终点来记录：如向量就表示从A点到B点的向量.

以向量的起点为原点建立一个平面直角坐标系，这样我们可以定位平面上的一个向量. 向量的终点同时给出了向量的大小（就是箭头的长度，勾股定理懂吧） 和方向. 这样我们就可以用向量的终点坐标来表示向量：.

考察实际问题中的向量——比如力学问题时，我们常常发现几个力（向量）不在同一平面内。这个时候我们需要给平面直角坐标系加一条垂直于坐标平面的数轴，让坐标系升级为空间直角坐标系. 和平面直角坐标系一个道理，建立了空间直角坐标系的空间中的任意一个点，都可以用三个数组成的坐标表示点的位置. 这就提供了表示不在同一平面内的向量的方法：.

需要注意，表示向量并不一定需要以起点建立坐标系——我是说，原点不一定得是向量的地点. 数学中的向量是自由的向量，我们不关注它的位置，只关注它的大小和方向；换言之，向量起点是可以自由移动的. 但为了方便相互比较，我们总是把向量的起点移到坐标的原点. 在处理物理问题时则略有不同，虽然数学里面关于向量的那套理论还能用，但是需要谨慎地关注向量的位置. 例如处理力的时候，我们不光要关注力的大小和方向，还要关注力的作用点. 两个大小方向都相同的力，如果作用点不同，两个力的效果也是不同的（杠杆原理就是一个经典的例子）.

向量的大小称为它的模，被定义为箭头终点到起点的距离. 在起点建立了坐标系以后，向量的模就可以由终点坐标给出：例如，对于一个平面向量，它的模为

空间向量就是根号里面多加一个. 你要问为什么数学里边哪哪都有勾股定理，我只能说你得先学会线性代数. 这玩意往深了说可不仅仅是勾股定理那么简单. 

模等于0的向量叫作零向量，记为. 看清楚！这里的0是加粗的——它是一个向量而非一个数. 从图形上直观地理解，零向量是起点和终点重合的向量. 因此，零向量的方向是任意的、不确定的.

向量是不能比大小的. 向量的模是一个数，它可以比大小；但向量还带有方向属性，方向是不能比大小的嘛.

向量和标量一样，也是可以做运算的. 物理学里面分析多个力同时作用在一个物体上的效果，往往就需要把这个力那个力做向量运算，把许多个力合成较少的力来分析. 向量的运算需要我们借助图形形象地理解. 在这里，我们暂且只讨论平面向量的情形.

设平面内有两个向量分别是

如下图，当它们做加法的时候，把向量平移使其起点 C 与向量的终点 B 重合，向量称为它们的和，记作. 这种求向量和的方法，称为向量的三角形法则.

关于向量加法为什么是这样定义，我初学的时候是这样理解的：如果把向量理解成一个“平移作用”，加法的定义就是很自然的——一个点在向量的“作用”下从 A 滑到了 B(C)，在 B(C) 点又因向量的“作用”滑到了 D，这个过程从结果上看与直接从 A 滑到 D 是等效的. 直到后来我学习了一些有关群论的知识才意识到这种理解确实有一定的合理性.

利用物理实验也可以说明这样的定义是符合自然规律的. 这就不在我们的讨论范围内了.

除了三角形法则外，求向量和还可以用平行四边形法则. 如下图，把向量平移使其起点 C 与向量的起点 A 重合，两者的和就在以它们为邻边的平行四边形的对角线上（即下图中的向量）.

我们自然希望可以用坐标来表示和向量. 要是我们能直接运算来得到，我们就不必每次都画个三角形或者平行四边形来算向量加法了. 我们现在就来找到这样的方法.

还是看到上面那个图，我们把 A 点搁在坐标系的原点上. 现在，我们把向量看成点的运动——向量的大小就是运动的距离，向量的方向就是运动的方向. 根据向量加法的三角形法则，平面上的向量都可以看作是水平方向的向量和竖直方向的向量的和. 例如，考虑一个点的运动由向量给出，即从原点 (0,0) 运动到点. 这个运动也可以视作先向左平移个单位，再向上平移个单位. 由于我们不能忽视向量的方向，而绝对值（标量）又不能体现运动的方向，所以我们把水平向左、竖直向下的运动记为负的，把水平向右、竖直向上的运动记为正的.

现在我们来考虑上面做向量加法的过程. 向量所指代的运动是水平方向上移动，竖直方向移动；向量所指代的运动是水平方向上移动，竖直方向移动. 不难看出，这两个运动的最终结果其实和水平方向上移动，竖直方向移动后的结果是相同的. 于是，我们得到

在我们后面讲平面向量基本定理的时候，我们还会从另一个角度理解这个公式的来源.

从坐标的角度容易看出，向量的加法仍是满足交换律和结合律的，即

聪明的读者不要觉得这是废话. 我们到后面就会遇到不符合交换律和结合律的运算——在抽象代数学里面，这些性质更加重要. 当然这都是后话了. 珍惜这些美好的性质吧！

与我们熟知的数的正负（或者说相反数）类似，一个向量也有它的相反向量，它被定义为与已知向量大小相等、方向相反的向量. 向量的相反向量记作. 特别地，规定零向量的相反向量还是零向量.

从几何上看，平面上的一个向量旋转180°即可得到它的相反向量. 如果再旋转180°就又回到最初的向量了，也就是说：.

显然，一个向量和它的相反向量的和为零向量，即

与数的运算类似，一个向量减去一个向量就是加上这个向量的相反向量. 即

和向量加法一样，我们也要探究的作图方法. 如下图，两个向量

的差为. 这个向量是怎么得到的呢？因为，所以我们可以先画出向量的相反向量，再根据平行四边形法则得到向量和它的和，即向量. 类似于前文中的三角形法则，我们也可以发现也是向量的终点指向向量的终点的向量，请读者自行脑补.

对于向量减法，我们同样容易得到

了解了向量的加减法，我们试着考虑这样一个问题：如何表示3个非零向量相加？这是研究向量与数的乘法的切入点.

因为3个向量是一样的，我们可以通过平移将它们首尾相连，此时它们在同一直线上. 可以发现它们的和就是从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量. 这个向量的方向和向量的方向相同，大小则是它的3倍（即）. 这样看来，3个相同的向量相加，实际上就是把一个向量往它们共同的方向"拉长"到原来的3倍.

考虑相反向量的情况：实际上，向量的相反向量往它的方向上拉长到原来的3倍，就得到一个与向量方向相反的向量，其长度是向量的3倍. 类似于我们前面把坐标系内水平向左、竖直向下的运动看成“负”的运动，你也可以把向量拉长到原来的3倍看作是向量拉长到原来的-3倍. 即. 

于是，更一般的情况下，我们规定了实数与向量的乘法. 数乘指的是向量与实数的乘积，运算的结果是仍然是一个向量. 向量和实数的乘积记作，它的方向和大小这样规定：

(2) 当时，的方向与的方向相反；当时，的方向与的方向相同.

特别地，由(1)可知.

数乘满足一些运算律，读者可以自行验证：设是两个实数，则

还是要提醒读者不要忽视这些看起来简单的运算律：一方面，它们在实际运算中有很大作用；另一方面，我们以后学习线性空间和抽象代数的相关知识时，这些简单的性质将成为我们研究的对象，上文中所介绍的三种运算都将被更加深入地讨论.

向量和向量的加减法、向量和数的乘法统称为向量的线性运算. “线性”二字在线性代数中是贯穿始终的，我们在后面的学习中会在多种场合看到它. 我们现在先不介绍什么叫“线性”，读者暂时只需记得有这么个名儿就好了. 往后我们再次遇到它的时候，或许会有一种似曾相识燕归来的感觉（吧？）.

把线性运算的运算律结合起来写就是

其中是任意实数，是任意向量.

我们把向量的数乘理解成向量的拉伸是很直观的. 现在，我们要考虑这样一个问题：通过向量的线性运算，能否通过实数和几个“基本的”向量来表示空间中所有的向量？可能有些读者不理解这个问题. 这就像搭积木一样，我们要说明这样一个事实：不管是多复杂的建筑，都可以由一些基本的积木构成. 在这里，我们就是要说明空间中的任意向量都可以通过选择的积木（“基本的”向量）和积木的数量（实数）来构建. 比如说，给定了“基本的”向量，我们就可以表示它所在的直线上的全体向量——只要在向量前面乘一个实数就可以实现向量的拉伸了.

现在我们考虑平面上的全体向量. 类比建立直角坐标系用一对数来确定平面上任意一点的位置，我们不妨先考虑平面内两个确定的不共线向量，并尝试说明利用全体实数和这两个向量能够表示平面上的全体向量. 肉眼可见，这确实是可行的（我们这里先利用直观理解来陈述这个事实，暂时不严格地给出证明）. 对于任意向量，将给定的两个不共线向量的起点重合，这就构成了一个类似平面直角坐标系的玩意——这两个向量只要做数乘就可以表示出各自所在直线上的任意向量. 这些向量经过向量加减，就可以表示出平面内的任意向量了.

这就是平面向量基本定理：如果是同一个平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数，使得

我们把这组不共线的向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底（或简称基，不是gay也不是chicken，是base）. 

如果起点重合后两个向量构成的夹角（）是90°，我们称这两个向量垂直. 在处理许多数学和物理问题的时候，根据向量的线性运算把向量分解为两个相互垂直的向量，会大大简化问题；而这种分解被称为正交分解. 当一组基是由相互垂直的向量构成的，则称其为正交基.

平面上的正交基很容易让人联想到平面直角坐标系. 分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则平面上的任意一个向量都可以唯一地表示为

这也就和我们用坐标来表示向量不谋而合. 根据这个结论，你能从计算的角度证明我们前面给出的向量相加的坐标计算法则吗？

未完待续……敬请期待.