怎样解方程组的过程(怎样用矩阵解方程组)？如果你对这个不了解，来看看！
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矩阵论简明教程,下面一起来看看本站小编雷峰网给大家精心整理的答案，希望对您有帮助
怎样解方程组的过程(怎样用矩阵解方程组)1
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内容简介 · · · · · ·
矩阵论作为数学的一个重要分支，不但具有丰富的内容，而且在信息科学与技术、管理科学与工程等学科中都有十分广泛的应用，因此，学习和掌握矩阵理论的基本概念和基本方法就显得十分必要。目前，高等院校许多专业都把矩阵论设置成研究生的一门必修课，而本书就是针对工科院校非数学专业研究生编写的。
本书是在近十年课堂教学经验的基础上，参考了国内其他院校的相关课程讲义编写而成的。
全书共分7章，具体内容包括：
第1章介绍矩阵的由来，分别从“鸡兔同笼”解线性方程组和线性空间、线性变换两个角度进行叙述；
第2章介绍矩阵的基本概念、基本性质和常见的几种矩阵；
第3章介绍矩阵化简问题，即如何把矩阵化简成对角矩阵或分块对角化(Jordon标准型)；
第4章介绍矩阵分解问题，即把一个矩阵拆分成几个特殊矩阵乘积的形式，这一章的最后还介绍了矩阵的广义逆问题；
第5章介绍矩阵度量问题，即把“距离”的概念推广到“范数”的概念，并介绍了范数理论如何应用到特征值估计问题中；
第6章介绍矩阵分析问题，即利用微积分的方法来处理矩阵；
最后，第7章从一个图像处理的简单例子出发，介绍了矩阵如何和实际问题相结合，并拓展介绍了非负矩阵的一些相关知识。
同时，在每章章末都配备了一定数量的习题，希望这些习题能够帮助读者巩固本章的知识点。面向工科院校硕士研究生48课时的授课内容，在编写过程中，本书力求兼顾基础理论和应用，培养学生逻辑思维、抽象思维及实际应用的能力。
为了使读者在较短时间内尽可能多地掌握矩阵理论基础知识，本书在内容的取舍和结构编排上，还做了如下一些新的尝试。
(1)适当压缩了广义逆的内容，只介绍广义逆的基本概念和基本求解的方法，并放在矩阵分解一章中，使得学生在掌握了矩阵分解的主要方法之后，能够应用这些方法去求解广义逆。
(2)删掉了特征值估计中一些证明较复杂的理论界结果，并把它放在范数理论一章中，让学生更好地去理解范数这一概念的内涵。
(3)采用由简入繁的思路组织内容，通过从一些已经学过的、简单的知识中引出要介绍的一些抽象知识，比如从解方程组引出矩阵、从欧氏空间的距离概念引出范数的概念，从而避免一开始就介绍过于抽象的知识而打消读者进一步学习的热情。
(4)本书每一章都采用“基本概念—基本性质—基本定理—例题”的方式展开介绍。对于一些性质和定理的证明非常详细，同时也留出一部分性质作为练习。
本书的主要内容曾为北京航空航天大学电子信息工程学院、软件学院研究生讲授。感谢北京航空航天大学电子信息工程学院给我提供了一个良好的教学、科研平台，感谢张有光副院长、陈杰副院长、王俊副院长、孙则怡老师、张颖老师、郎荣玲老师、原仓周老师在教学过程中给我提供的帮助和支持，感谢电子工业出版社编辑竺南直先生的大力帮助。由于作者水平有限，难免有疏漏之处，迫切希望读者批评指正。
补充说明 · · · · · ·
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怎样解方程组的过程(怎样用矩阵解方程组)2
在本系列中，我们用彩色 Latex 笔记记录下 MIT 18.06 Gilbert Strang 教授经典的线性代数课程的精髓，部分内容也会以动画和代码的形式。后续会覆盖更多人工智能所涉及的数学基础课程：统计，优化等，欢迎大家关注和反馈。
本文总结了方程组的行视角，列视角的几何意义；并回顾了解方程的两个步骤：消元和回代。内容对应于MIT 18.06 Gilbert Strang 线性代数视频课程第一，二节。
本系列链接如下
矩阵乘法的五种理解 - Strang MIT 18.06 线性代数精髓 1
方程组两种几何解释
二元方程组
来看一个具体的二元线性方程组
写成矩阵形式
行视角
回顾 2x -y = 0为所有满足此条件的 (x, y) 的集合，即集合组成二维平面的一条直线，如下图蓝线所示。
-x + 2y = 3则对应绿线。
因此方程组的解 x = 1, y = 2 为两条直线的交点，这就是方程组的行视角：将系数矩阵按行切分，则每一行表示一个约束条件，几何意义是N维空间的一个子空间。在二元方程中，一行表示一条线，三元方程中，一行表示一个平面（详见后一小节）。
列视角
若将系数矩阵按列切分，则每一列表示一个向量，方程组的解 (x, y) 表示每个列向量以 x, y 为权重的线性组合刚好形成 b 向量。这个就是方程组 Ax = b 有解的条件：b 在 A 的列空间，此时，x 为 列向量的组合系数。
三元方程组
行视角
对于三元方程组行视角来说，每一行的方程组成一个三维空间中的一个平面。解是三个平面的交点，通常来说为一个点。
图片来自 Introduction to Linear Algebra for Applied Machine Learning with Python (https://pabloinsente.github.io/intro-linear-algebra)，解为一直线而非一个点。
列视角
三元列视角下，A 的列向量为三维平面的一个向量，x（下图为 w） 表示每个列向量取多少倍数可以组成 b 向量。
解方程的步骤
总结了二元三元方程组的行和列视角后，我们回顾求解方程的具体步骤。用两个过程，消元和回代便可以解得方程。
消元的目的是将系数矩阵表示成变量依次依赖的上矩阵形式 (Upper Triangular Matrix)。
回代则在上矩阵的基础上依次解得每个分量的值。
三元方程示例
举个三元方程组为例
写成矩阵形式为
消元过程
在消元过程中，有两类操作，一是将上一行乘以某系数后被下一行减去，依次消除这一行的元。第二类操作是交换当前行和后面某行，行交换用于当某行对应的元已经为0的情况下。
以上述三元方程为例，第二行消元的具体过程为第二行减去3倍的第一行。接着，再进行第三行消元。
最终，上矩阵为
回代过程
回代过程比较直白，由上矩阵 U 对应方程组
自下向上，容易解得
消元的行视角意义
注意到消元时的两类操作都不改变系数矩阵的行空间，只是改变了行空间的线性组合方式。
由于每一行代表一个拘束子空间，因此每一次消元改变了该行的拘束子空间。
举个例子，对于二元方程组和行空间
对应了两条直线
第二行的 x 消除后其几何意义为：蓝色直线不变，绿色直线从包含 x 的成分变成不含 x 成分，并且维持交点 （1, 2）不变。
最后大家可以思考一下一个问题：消元对于列视角的几何意义是什么呢？
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https://myencyclopedia.top/blog/zh/2022/linear-algebra-strang-02-solving-equations/
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怎样解方程组的过程(怎样用矩阵解方程组)3
解方程是初高中的必修课，因为需要解决实际问题，方程必不可少，实际生活中如何使用Mathematica的强大功能来解决实际问题呢，从解方程开始
Solve函数
首先看一下考试必考的一元二次方程
一元二次方程公式解
这就是叫学生头疼的一元二次方程的解法，同时Solve函数用法也一目了然，指定等式和未知数，就出来结果了
有没有人觉得奇怪，为什么初高中只学了一元一次，一元二次方程解法，一元三次以上的方程哪里去了，如果你见过结果，你一定会同意这么做是为了保护你们的脑细胞，我给你们展示一下一元三次和四次方程的公式解：
一元三次方程公式解
一元四次方程公式解
一元四次方程公式解内容太多，我就缩小了点，大家可以感受一下。
求解方程组
解方程组
方程组用法一样，等式和未知数列表都使用大括号，里面的项使用逗号隔开，多少个方程，多少个未知数都可以，只有一个的时候大括号可以省略
限制解的范围
题：写出所有15以内的勾股数
当然你一看就知道，3，4，5是一组，那其他的呢，其实可以使用MMA来解决
求勾股数
不仅可以使用等式，还可以使用不等式，同时最后加一个解的数域，这里规定为整数域，而且使用不等式规定了数字范围，小于零可不行，要不然有无数解，而且还不符合要求，这个整数域数学中都使用花体的Z表示，输入ESC，ints，ESC即可得到，结果是三组勾股数，完美；
神级问题--九宫格游戏
九宫格游戏大家应该都有所耳闻，3行3列9宫格，1-9九个数字填入其中，每个数字只能使用一次，然后使得每行，每列，对角的三个数字之和都是15，其中一个解如下：
九宫格一个解
在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格，有些人应该有印象，如果要给出解法的话，大部分人都只能想到暴力破解，一种一种填法试，这个方法有个问题，找出一个解不太难，找出所有的解就比较费劲了；现在我要使用Mathematica来解决，而且找出所有的解，过程不重要，你只需要学习其中的思路，能举一反三，触类旁通，目的就达到了；
列方程，九宫格有三行，三列，二对角8个等式
加条件，每个数字范围为1-9，而且是整数
加限制，数字不能重复，任何两个数字不相等即可，9x9=81个不等式，同时要去掉自己不等于自己的9种情况，那就是72个不等式
未知数，就是9个数字，这里我使用下标来区分
未知数布局
思路清晰了，一步一步来：
每行的和等于15
每列的和等于15
两个对角的和等于15
未知数范围限制
每个未知数都不相等
注意，如果等式写a不等于a，结果是False，这里只需要过滤掉False即可；
汇总成方程组：
最终方程组的表达式
结果我就不贴了，元素比较多，我们把它们储存在exps变量里面供后面使用，接下来就是未知数列表，储存在xs里面：
未知数列表
求解，结果放入ans，注意限制为整数域的解：
求解
结果比较长，而且不好看，我们转换成九宫格的排列，这里使用矩阵布局：
所有的解矩阵
到此，已经找到了所有的解，可以检验一下是不是符合要求，可以说非常完美；
这里还有一个大神级别的题目：数独，谁愿意挑战一下！
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