皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就丝毫不比当时的职业数学家差。他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。费马本尊而他最著名的定理，莫过于费马大定理。很多人也是因为费马大定理，而知道了费马这个人的名字。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马一没事就喜欢看看数学著作，在书上写一些自己的见解和推论（还不带证明的过程）；费马偶尔还会向那些职业人士挑战，弄得职业选手常常很没面子。费马专注于一些著名的传奇数学书籍，比如：欧几里得的《几何原本》，丢番图的《算术》等等，其中偶尔得到的费马大定理以及那句''我已发现了这个定理的绝妙证法，可惜这里页面的空白地方太小，写不下。''更是世人皆知的经典。大约1640年，费马像往常一样，没事用笔勾勾圈圈，无意发现这样的一个式子：费马素数Fn：其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。费马求出了当n=0,1,2,3,4时的值，并且全部都是素数，所以费马当时就猜测当n=5是，F5也会是素数，不过费马并没有给出n=5时的值。时间一晃就到了1729年。哥德巴赫给欧拉的一封信里提到了关于费马数的猜想，并且寻求欧拉的帮助，不论是证明，还是推翻。时年，欧拉22岁。这个问题迅速吸引了欧拉的注意，欧拉着手开始对F5的情况开始研究。1732年，欧拉发布了研究成果，证实了F5是个合数，于是费马数猜想被否定。宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。也就是说，已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。F5时的值看到很多资料上说，当年欧拉为了解决验证这个问题，在2年时间里用去了所有的周末才得到这个分解了F5。这在我看来根本是无稽之谈，因为这个大数的一个因子仅仅才641，并没有多大，哪怕一个笨人拿着素数表一个一个算也不用两年吧。要知道欧拉可是在双目失明的情况下，用心算就可以证明梅森数M(31)=231-1=2147483647是素数的大师。后面才知道，欧拉在这2年的周末里对费马数做了大量的研究，不仅仅是验证了F5，他发现了费马数的一系列性质：如果费马数是一个合数，那么F(n)必定有一个因子是2n+2×k+1。1801年高斯证明了，一个正多边型多边形可以用尺柜作图的充分条件是：边数n是2的幂次与若干费马素数的乘积。高斯也认为这是必要条件，但他没给出证明，Pierre Wantzel证明了必要性，所以它现在被称为“高斯-Wanzel定理”。令人尴尬的是，当年费马太过注重灵感得到的“正确猜想”，其实到目前为止，人们动用超级计算机，自F(5)之后就没有发现任何一个素数，全部是合数！到目前为止，只知道以上五个费马数是素数。此外，还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类：①当n=5,6,7时，得到了Fn的标准分解式；②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55，58，63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时，只知道Fn的部分素因数；③当n=14时，只知道F14是复合数，但是它们的任何真因数都不知道。因此，在费马数列中是否有无穷多个素数，或者是否有无穷多个复合数，都是未解决的问题。自从费马猜想被否定后，有人猜想费马数列中只有有限个素数，这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想：费马数无平方因子。所以，是否还存在了F0到F4外的费马素数？费马素数是否存在无穷多个？这一点到现在都还没有人知道。也许在不就的将来，会有人能证明。特别鸣谢：本文的部分信息是从以下的网站上找到的：https://byte.baike.com/cwiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC&fr=toutiaohttps://byte.baike.com/cwiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E8%B4%A8%E6%95%B0&fr=toutiao?isPreloadWebView=1https://blog.csdn.net/qq_33737036/article/details/78238476}

我们先假设质数的个数是有限多的，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：2×3×5×7×11×...
我们先假设质数的个数是有限多的，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：
2×3×5×7×11×13×……×N
把这个连乘积再加上1，得到一个相当大的数M：
M＝2×3×5×7×11×13×……×N＋1
那么这个M是质数还是合数呢？ 乍一想，不难判断，既然N是最大的质数，而且M＞N，那么M就应该是合数。既然M是合数，就可以对M分解质因数。可是试一下就会发现，我们用从1到N之间的任何一个质数去除M，总是余1！这个现实，又表明M一定是质数。
M可能有比N大的因数吗？
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（反证）
假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p
设q为所有素数之积加上1，那么，q = （ 2 * 3 * 5 * …… * p ）+ 1不是素数
那么，q可以被2、3、……、p中的数整除
而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾
所以，素数是无限的。
（也可以这样说明：若q能被小于q的数整除，情况有两种，被小于q的素数或被小于q的合数。小于q的素数也就包括在2，3，5，…… p 中，明显不能被他们整除；如果能被小于q的合数m整除，合数m又可以分为两个更小的素数相乘，设m=s*t，则s<m<q，t<m& lt;q，那么q肯定能被s或t中的任何一个整除，而s和t都是小于q的素数，都不能整除q，所以就矛盾。）满意请采纳
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最简单最简洁的方法，小学生也能理解（至少我四年级的时候就会），就是用反证法。假设只有有限个素数，令最大的那个为p，那么p!+1必然是素数，否则就应该是合数，那么自然是那有限个素数的倍数，而这是不可能的。既然p!+1是素数，又比最大的素数p更大，那么矛盾就产生了。其实，这个方法虽然能证明素数有无限个，但给出的有关素数的直观也好本质也好的认识非常有限。为什么整个整数大厦不能由有限个素数来构建？比如所有数都是已知的有限个素数的乘积，只是指数不断往上加。举例来说，2,3,5,7是我们熟悉的素数，往上走，4拆成2的平方，5是素数，6拆成2乘3，7是素数，8,9,10这些都可以拆成7以前的素数相乘，可到了11就会出现新的素数。这种现象，你可以一直玩下去。换句话说，只要数够大，总会出现新的素数，而且越到后面越难以判断一个数是否是素数。你可以紧接着思考，这些素数的分布情况，有多种角度，比如最常见的两种：素数计数函数π(x)，是指小于x的素数个数，比如π(4)=2, π(8)=4，跟这有关的引出了无穷多个问题，养活了无数个数学家，包括黎曼。1859年8月，刚满33岁的黎曼成了柏林科学院院士。按照惯例，当选院士要提交一篇论文。于是黎曼写了《论小于一个给定值的素数的个数》。2. 素数之间的距离问题。最能说明问题的是，相邻两个素数之间的距离。其中最有名的是，孪生素数猜想，即存在无限个素数p，使得p+2也是素数。这方面最前沿的工作就是华人张益唐教授做出的，他的经历也很传奇，堪称扫地僧级别，在美国洗盘子做会计干了十多年的兼职，二十年来矢志不渝终成正果。他的工作把这个相邻素数距离缩小到一个肉眼可见的界限内，让世人看到希望，后人包括宇宙无敌陶哲轩改进下，距离变得越来越小，但是离最小的2还是有很大的差距。关于素数间的距离，最小可能是2，因只差1是不可能的，p,p+1两者至少有一个偶数，即2的倍数。那么最大的距离是多少呢？这个看上去很吓人的问题，其实很简单，是无穷大，小学生都能看懂，下面来证明一下。首先，把问题精准表达一下。对任何正整数n,都存在相邻的素数p,q, 使得|q-p|>n.证明很简单，我们构造出一长串连续的合数即可。n!+2, n!+3, ……n!+n这是连续的n-1个数，每个数都是合数，因为都能提取一个因子出来，所以这中间没有一个素数，那么夹住它们的相邻的素数之间的距离最小也是n.更多数学问题详见我的专栏：}