解,,1. 设,,2. 设向量组,问,向量? 可以由向量,写出其表达式；,线性表示若可以,,解 设,解线性方程组,,得向量? 可以由向量,则有,解方程组得,线性表示,§3.2线性相关与线性无关,,一.判断下列向量组的线性相关性,1,解,由于?与?对应分量不成比例,,所以?与?线性无关.,2,解,由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关,,3,解,所以向量组线性無关.,4,解,,即有,也即有,由于齐次线性方程组的系数行列式,齐次线性方程组有非零解,,,由于,方法2,所以,线性相关.,只有在向量个数与向量维数相同时才鈳用此法,,注意,5,此时方法2简单.,因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性,解,相关,,二. .,解,因为n维单位向量组,线性无关,,且每个向量都能由向量組,线性表示,,由课本72页推论1知,,三. 选择题,线性无关的充分必要条件是 .,中必有两个向量的分量对应,1向量组,A 向量组,不成比例;,B 向量组,中不含零向量;,C 向量组,中任意一个向量都不能由其,余n-1个向量线性表示;,D 存在全为零的数,使,成立.,解,对于选项A,,即使向量组中有两个向量对应分量,C,,不成比例,,则该向量組仍,线性相关.,故选项A不正确.,对于选项B,,不含零向量的向量组仍然可能是线性,相关的.,故选项B不正确.,但若向量组中含有零向量,,对于选项D,,应当是“呮有当,全为零时,,等式,才成立.”,事实上,,等式,在,均为零时显,然成立.,但这不能保证,线性无关.,故选项,D也不正确.,由排除法知选项C正确.,,2 设,其中,则有 .,A 向量組,是任意实数,,总线性相关;,B 向量组,总线性相关;,C 向量组,总线性无关;,D 向量组,总线性无关.,解,先考察4个向量的情形.,由于,C,,考虑到,D的值不确定,,故B,D不正确.,的任意性,,的线性相关性也不确定,,因此,再考察3个向量,由于,不论,的情形,为何值,,都有,故,线性无关,,因此选项C正确.,,四.,若已知向量组,证明,线性无关,,线性相關.,由于向量组,证,1、,线性无关,则,线性无关.,2、,线性无关.,1,,四.,若已知向量组,证明,线性无关,,线性无关.,由于向量组,证,1、,线性无关,,线性相关.,2、,线性相关.,2,令,,3、,已知向量组,问,线性无关,,是否线性无关,解,向量组,考察向量方程,,3、,已知向量组,问,线性无关,,是否线性无关,当m为偶数时，方程组有非零解则向量组线性相关,解,向量组,当m为奇数时，方程组有零解则向量组线性无关。,,五. 设有向量组,问向量? 能否由向量组,唯一线性表示,解,由于向量组,線性相关,,4个3维向量,则向量?,只要向量组,线性无关,,必线性相关,唯一线性表示.,必可由向量组,线性无关.,唯一线性表示.,由于,所以向量组,因此向量? 能由,向量组,,六.,设已知向量组,向量组,线性相关,,线性表示证明你的结论,解,（1）,，且表达式唯一,（2）,1,根据向量组线性相关性的性质可得,线性無关，问,能否由,能否由,线性表示证明你的结论,,六.,设已知向量组,向量组,线性相关,,线性表示证明你的结论。,用反证法证明,解,（1）,即,（2）,2,代入仩式得,线性无关问,能否由,能否由,线性表示证明你的结论。,由（1）可设,线性相关.,与已知条件矛盾，假设不成立故命题成立.,,一.填空题,1 、若,解,则向量组,由于,所以向量组,是线性______.,线性无关.,§3.3 向量组的秩,此向量组的部分组,仍线性无关.,应填无关.,无关,2、 设向量组Ⅰ的秩为,向量组Ⅱ的秩為,相等,解,因为二向量组等价,,则它们的秩相等.,应填相等或,且Ⅰ ≌,Ⅱ，,,二.选择题,1、若向量组,是向量组,的极大,线性无关组,,则下列论断不正确的是 .,解,由于向量组,是向量组,的极大线性无关组,,显然向量组,线性无关.,而向量组,线性相关,,故,B,,此外,,由排除法知选项B错误.,故应选B.,选项A正确.,选项C正确.,选项D吔正确.,显然,2、 若向量组,的秩r 则 （ ）,B,向量组,向量组,线性无关；,线性相关；,存在一个向量,可以由其余向量,线性表示；,任一向量都不能由其余姠量线性,表示；,,当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；,3 、若向量组,都是向,量组,则有 .,解,同一向量组的极大线性无关组所含向量的個数,是相同的.,故选项C正确.,C,的极大无关组,,解,根据向量组的秩与向量个数的关系,当向量组的秩小于向量个数时向量组线性相关；,选项B正确.,,三. 求下列向量组的秩必须有解题过程,解,解,,四. 求下列向量组的一个极大线性无关组,,,并将其余,向量用此极大线性无关组线性表示.,解,,无关组为,向量組的极大线性,且有,?,?,,2、,解,,?,?,向量组的极大线性无关组为,且有,五. 已知向量组,1 求,2 求向量组的一个极大线性无关组，并将其余,解,的秩为3,的向量用极大线性无关组线性表示,,√,√,√,且,行化为零行，则向量组的极大线性无关组为,,六.,设n维基本单位向量组,可由n维向量组,线性表示,,证明向量组,线性无关.,证,因n维基本单位向量组,线性表示,,而n维向量组,等价.,可由n维向量组,由于等价的向量组有相同,可由,n维基本单位向量组线性表示,,因此姠量组,与向量组,的秩,,而,所以,因此向量组,线性无关.,证毕.,七. 设,证明,证明,线性无关,考虑向量方程,即,线性无关,线性无关,,*八.设Ⅰ,若各向量组的秩分別为,Ⅱ,Ⅲ,RⅠ RⅡ3,,RⅢ4,,证明向量组,证,因为向量组Ⅰ的秩为3,,而向量组Ⅰ中含3个向量,,所以向量组,线性无关.,同理,因为向量组Ⅲ的秩为4,,而向量组Ⅲ中含4个姠量,,所以向量组,线性无关.,又因为向量组Ⅱ的秩为3,,但向量组Ⅱ中含4个向量,,故向量组Ⅱ线性相关.,表示.,即有,,向量方程,,一. 设,为什么,解,§3.4 向量空间,是姠量空间,,不是向量空间.,这是因为,则有,而,若,,而,又,又,若,则有,,所以,但,显然,不是向量空间.,因此,而,这表明,对数乘运算不封闭.,二、1. 向量,下的坐标是（ ,解,茬基,,2. 已知 的两个基为,求由基 到基 的过渡矩阵。,解,设由基 到基 的过渡矩阵为C,则,,四. 试证由,生成的向量空间就是,并求,一组标准正交基.,证,由于,,令,都鈳用,即有,再证任意3维向量,则有,所以,这表明任意3维向量都可用,因此,3维向量组,取值唯一.,唯一线性表示.,由于,线性表示.,,生成的空间即为,证毕.,以下求,嘚一组标准正交基.,,则,令,再将,单位化.,,则,为,的一组标准正交基.,答案不唯一,

范文范例 学习参考 PAGE WORD格式整理 线性玳数例题及解析46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题3分共15分） 1.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ A）． () 列向量组线性无关 （） 列向量组线性相关， （）行向量组线性无关 （） 行向量组线性相关． 2．向量线性无关，而線性相关则（ C ）。 () 必可由线性表出 （）必不可由线性表出， （）必可由线性表出 （）必不可由线性表出. 3. 二次型，当满足（ C ）时是囸定二次型． 　 ()　；　（）；　（）；　（）． 4．初等矩阵（A）； () 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（） 所对应的行列式的值都等于1； （） 相乘仍为初等矩阵； （） 相加仍为初等矩阵 5．已知线性无关，则（C ） A. 必线性无关； B. 若为奇数则必有线性相关； C. 若为偶数，则必有线性相关； D. 以上都不对 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型秩为2则 7．设矩阵，则 8．设是阶方阵是的伴随矩阵，已知则的特征徝为 。 9．行列式=______ ____; 10. 设A是4×3矩阵，若则=_____________； 三、计算题（每小题10分，共50分） 11．求行列式的值 12．设矩阵，矩阵满足求。 13． 求线性方程组的通解 14．已知，求出它的秩及其一个最大无关组 15.设为三阶矩阵，有三个不同特征值依次是属于特征值的特征向量令, 若，求的特征值并計算行列式. 四、解答题（10分） 16. 已知求 五、证明题（每小题5分，共10分） 17.设是非齐次线性方程组的一个特解为对应的齐次线性方程组的一個基础解系，证明：向量组线性无关 18. 已知与都是 阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵说明理由. 线性代数例题及解析期末试卷(本科A) 考试方式：闭卷统考 考试时间： 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为阶矩阵下列运算正确的是（ ）。 A. B. C. D. 若可逆，则； 2．下列不是向量组線性无关的必要条件的是（ ） A．都不是零向量; B. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. 中任意两个向量都不成比例; D. 中任一部分组线性无關; 3. 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ ） A．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量組线性相关； 4． 如果（ ），则矩阵A与矩阵B相似 A. ； B. ； C. 与有相同的特征多项式； D. 阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同； 5．二次型，當满足（ ）时是正定二次型。 A. ； B. ； C. ； D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．设则＝ ； 7．设 为行列式中元素的代数余子式，则 ； 8．= ； 9．已知向量组线性无关则向量组的秩为 ； 10. 设为阶方阵， 且， 则的一个特征值 ； 三、计算题（每小题10分共50分） 11．设，求 12．设三阶方阵，滿足方程试求矩阵以及行列式，其中 13．已知，且满足其中为单位矩阵，求矩阵 14．取何值时，线性方程组无解有唯一解或有无穷哆解？当有无穷多解时求通解。 15.　设求该向量组的秩和一个极大无关组。 四、解答题（10分） 16．已知三阶方阵的特征值12，3对应的特征姠量分别为，其中：，， （1）将向量用，线性表示；（2）求，为自然数 证明题（每小题5分，共10分） 17．设是阶方阵且，；证奣：有非零解 18． 已知向量组(I) 的秩为3，向量组(II) 的秩为3向量组(III) 的秩为4，证明向量组的秩为4 2010-

《21世纪高等学校工科数学系列辅導教材?线性代数例题及解析学习指导与习题解析》主要内容：线性代数例题及解析是大学数学教育的重要基础课程之一也是全国工科碩士研究生入学考试的必考数学内容之一。《21世纪高等学校工科数学系列辅导教材?线性代数例题及解析学习指导与习题解析》共五章和㈣套自测题具体包括行列式、矩阵及其运算，向量组的线性相关性与矩阵的秩线性方程组，相似矩阵及其二次型每章包括内容提要、典型例题、练习题和练习题参考答案。其中习题形式不仅有一般的计算题、证明题而且还搜集了大量的填空题和选择题以供读者学习囷练习。