习题一 1、利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）； （2）； （3）； （4） 解（1）： 解（2）： 解（3）： 解（4）： 2、求下列各排列的逆序数，并确定排列的奇偶性： （1）3617254；（2）；（3）（2n+1）(2n-1) …531 解（1）：逆序数为10，偶排列。 解（2）：逆序数为23，奇排列。 解（3）：逆序数为。当或时为偶排列，当或时为奇排列． 3、写出四阶行列式中所有包含并带正号的项。 解：项的一般形式为，其中，是1，2，4的全排列。 所有可能的列标序列的逆序数为 ，， ，， 故包含且带正号的项有 ，，。 4、若阶行列式的元素满足（），则称这样的行列式为反对称行列式，试证：当为奇数时，。 解：一方面， 另一方面， 于是，，，。 5、计算下列行列式 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 解（1）： 解（2）： 解（3）： 解（4）： 解（5）： 解（6）： 6、计算阶行列式 （1）；（2） 解（1）：第n-1行减去第n行，第n-2行减去第n-1行，...，第2行减去第3行，第1行减去第2行，有 解（2）：提取各阶公因子，得 第2，3，…，n-1,n行分别加上第1行，得 7、求解下列方程 （1），（2） 解（1）：原方程为 其根为。 解（2）： 故原方程为，从而。 8、设 的元的代数余子式记作，求。 解： 9、用克拉默法则解下列方程组： （1） （2） （3） （4） 解（1）： 解（2）： 解（3）： 解（4）： 10、确定参数的值，使下列方程组有惟一解，并求出该解： （1） （2） 解（1）：，故当时，方程组有惟一解。 ， ， 解（2）：，故当时，方程组有惟一解。 ， ， 11、确定参数的值，使以下齐次线性方程组有非零解 解：系数行列式 故当时，齐次线性方程组有非零解。 12、求三次多项式，使满足，，，。 解：设 ，解得，故 13、在空间坐标系中，3元方程表示一空间平面。设有3元线性方程组 其几何意义如图所示 判别向量 ，， 是否共面，并说明理由。 解：由几何意义可知，三平面无共同的交点，即非齐次线性方程组无解。根据克莱默法则，该非齐次线性方程组的系数行列式 从而，，共面。 14、证明平面上经过两不同点、的直线的方程可以表示成为 证明：过两点、的直线方程为 ， 从而 15、证明：顶点、、的三角形的面积 ， 证明：记、、 ， 16、分别求下列给定顶点的四边形的面积，并判别其中哪几个是平行四边形。 （1）（0，0），（5，2），（6，4），（11，6） （2）（0，0），（-1，3），（4，-5），（3，1） （3）（-1，1），（0，5），（1，-4），（2，1） （4）（0，-2），（6，-1），（-3，1），（3，2） 解（1）：记A(0,0)，B(5,2)，C(6,4)，D(11,6) ，，， 因， ，故该四边形构成平行四边形，且面积为 17、分别求下列给定点的平行六面体的体积。 （1）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，0，-2），（1，2，4），（7，1，0）； （2）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，4，0），（-2，-5，2），（-1，2，-1）； （3）一个顶点在（1，1，1），相邻顶点在（0，-1，-2），（1，-4，3），（-2，1，4）； （4）一个顶点在（2，1，3），相邻顶点在（1，-1，4），（2，-1，5），（-3，2，1）。 解（1）：平行六面体的三个棱向量为 ，， 所构成的平行六面体的体积为 解（2）：平行六面体的三个棱向量为 ，， 所构成的平行六面体的体积为 解（3）：平行六面体的三个棱向量为 ，， 所构成的平行六面体的体积为 解（4）：平行六面体的三个棱向量为 ，， 所构成的平行六面体的体积为 18、求以(-2,-3)，(4,-3)，(6,2)，(1,6)，(-4,5)，(-6,2)为顶点的六边形的面积。 解：从（-2，-3）出发，将六边形划分为4个三角形，其面积为 19、分别求单位圆的内接正6边形、正12边形、正24边形的面积，由此你能得出何种猜想。 解： 猜想：若用表示圆内接正边形面积，则。事实上，有 ，， 20、求如下图所示的曲边梯形面积的近似值。 解：（1）建立数学模型 在区间[0.5,4]上插入个分点 ， 小区间所对应的曲边梯形面积，用以下梯形面积