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今天我们来看一道关于参数方程的试题，这道题是 2019 年全国 I 卷中的一道选考题，相信绝大多数考生都选了另外那道不等式的题，因为那道题更简单。虽然，参数方程和极坐标方程只是高考数学中的选考内容，有的同学可能直接放弃了这部分知识，但是有时候直角坐标系下很难解决的问题，在极坐标或者参数方程下会变得非常简单，尤其涉及圆和椭圆和求距离的时候。所以建议大家还是要掌握一下极坐标和参数方程，废话少说，直接看题。

第一小题是让我们将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程，极坐标系与直角坐标系之间的转化很简单：

我们可以直接将两个参数代入。但是，如果直接出现了 ρsinθ 和 ρcoθ 就直接可以换成 y 和 x 了，这里就可以直接化了，绝大多数情况下都是这种形式：

关于参数方程转化为直角坐标方程，我们需要将参数消去，只留下横纵坐标 x,y 。首先，我们用很常规的思路解一下，首先将 t 表示成 x ，然后代入 y 中：

其实，上面的计算过程也并不是很复杂，但是我们需要观察两个方程的共同之处，不能直接解出来 t 然后代入，否则就会更加麻烦。我们还可以换一个思路，我们看到这两个等式，很自然地想到可以通过一个中间参数 tanθ 来表示：

这样，同样得到了结果，大家可以对比一下两个方法。至于为什么会想到用 tan 函数，因为参数的形式很像正弦函数和余弦函数的比值，用正切函数会让上式变得特别简单。

第二小题要我们求椭圆 C 上的点到 直线 l 距离的最小值，我们有两种思路解决，第一种就是直接使用代数方法解出最小值，另一种是使用数形结合的方法。

思路 1：直接将距离用坐标表示，然后求最小值：

思路 2：我们不直接求距离，而是通过求一条和椭圆相切的且平行于 l 的直线，这样两条直线的距离就是最大或者最小距离，过程如下：

两种方法都可以求出结果，大家最好把两种方法都掌握一下。

参数方程和极坐标方程作为高考的选考内容，可能有部分同学直接放弃了，选择了其它选修部分。但是，通过上面的例子，我们知道选择合适的参数方程会让直角坐标系下很复杂的题目变得特别简单。个人建议还是要掌握参数方程和极坐标的知识。

本题的第二小题，完全可以作为正常的直角坐标系的题出，如果我们选择一个合适的参数方程，那么这道题就相当简单了。如果不用参数方程，我们要想到数形结合的思路，这道题如果直接使用直角坐标系求最值，就会变得特别复杂。

我们什么时候就要想到用参数方程呢？如果用直角坐标系表示特别复杂，一般情况想到要变换到参数方程解决或者数形结合的方法。那么参数方程的参数一般怎么选呢？

通常的参数方程都会选择三角函数，具体情况是：

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