伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。

　　我们假设该项试验独立重复地进行了 $n$ 次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为 $n$ 重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

　　定义：在 $n$ 次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$。用 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，则 $X$ 的可能取值为 $0，1，…，n$ ，且对每一个 $k$（$0≤k≤n$），事件 ${X=k}$ 即为 “ $n$ 次试验中事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次”，随机变量 $X$

 　　符号“~”读作“服从于”，该记号表示随机变量 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布。

　　两点分布：是一种当 $n=1$ 时的特殊的二项分布，又名 $0-1$分布，伯努利分布，用来描述一次伯努利试验中成功的次数 $X $，其中$X=0,1$ 。$X$ 服从两点分布， 分布列为:

　　Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

　　泊松分布的概率函数为：

　　泊松分布的参数 $\lambda$ 是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

　　记 $X \sim P(\lambda)$，常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系。

　　这里数学期望为 $ \lambda$ 是指 $ X$ 的均值为 $ \lambda$ 。譬如对于应用举例 1，某段时间内，来到某商场的顾客数平均而言是  $\lambda$ 。其他的应用类似。

　　1. 某时间段内，来到某商场的顾客数；

　　2. 单位时间内，某网站的点击量；

　　3. 一平方米内玻璃上的气泡数；

　　均匀分布又称作平顶分布（因其概率密度为常值函数）。

　　超几何分布和二项分布的联系

　　几何分布的无记忆性：

　　该性质表明，在前 $m$ 次试验中 $A$ 没有出现的条件下，则在接下去的 $n$ 次试验中 $A$ 仍末出现 的概率只与 $n$ 有关，而与以前的 $m$ 次试验无关，似乎忘记了前 $m$ 次试验结果， 这就是无记忆 性。

\cdots$ ，  称 $X$ 服从负二项分布或巴斯卡分布，其分布列为：

　　记作： $X \sim N b(r, p)$ , 当 $r=1$ 时即为几何分布，即几何分布是特殊的负二项分布。从二项分布和负二项分布的定义中看出，二项分布是伯努利试验次数 ($n$) 固定，事件 $A$ 成功的次数 $X$ 在 $0 \sim n$ 中取值；而负二项分布是事件 $A$ 成功的次数 ( $r$ ) 固定，伯努利实验次数 $X$ 在 $r, r+1, \cdots$ 中取值，可见负二项分布的 "负" 字的由来。

　　从负二项分布和几何分布的数学期望和方差的关系可知，类比二项分布与两点分布的关系，可以得 到下面的结论：

　　这并不是说明几何分布具有可加性，因为可加性要求服从该类分布的随机变量的和仍服从该类分布，但是服从几何分布的随机变量的和服从负二项分布，这个概念要特别注意。上述结论只能说明 对于服从 $ Nb(r, p)$ 的随机变量 $ X$ ，可看做由 $ r$ 个独立同分布于 $ G e(p)$ 的随机变量 $ X_{i}$ 的和。

　　正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

　　若随机变量 $X$ 的密度函数为:

　　正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

　　称 $ \mu=0, \sigma^{2}=1$ 时的正态分布为标准正态分布，其密度函数和分布函数分别为:

　　其中 $ X^{*}$ 为标准正志变量。

　　若随机变量 $X$ 的密度函数为:

　　均匀分布又称作平顶分布（因其概率密度为常值函数）。

　　若随机变量 $X$ 的密度函数为：

　　指数分布是一种偏态分布，指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布，譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。

　　若随机变量 $X$ 的密度函数为：

　　因卡方分布是特殊的伽玛分布，故不难求得卡方分布的：

　　数学期望： $ n $　　

　　卡方分布的唯一参数 $n$ 称为它的自由度, 具体含义在之后的数理统计中会给出。

　　概率论中X为正态分布Y为均匀分布,X,Y独立,则协方差cov（x,y）能求么?