0x1：为什么要引入随机变量这个数学概念

在早期的古典概率理论研究中，人们基于随机试验的样本空间去研究随机事件，也发展出了非常多辉煌的理论，包括著名的在内。

但是随着研究的不断深入，遇到问题的不断复杂化，科学家们发现面对的问题也不仅仅是抛色子，口袋里摸球、抛硬币伯努利试验这样的简单问题，而是更加复杂的问题，例如

• 多个随机试验的组合问题：例如考虑n个伯努利随机试验中某个事件发生次数的随机变量
• 非实数型的样本空间：例如气候分析、水文模拟与预测等复杂问题，显然，这个时候样本空间就不一定都是数集了

继续使用随机事件样本空间这种集合论数学工具进行问题分析和定量研究遇到了越来越多的困难。

为了能对更复杂的问题进行抽象建模，进行定量的概率公式化处理，因此，通过引入随机变量，将样本空间这个集合概念转化为一个无量纲的数集（函数概念），使得能统一地处理各种随机现象。

同时因为随机变量本质是函数范畴体系内的定义，因此还可以借助函数分析相关的数学工具展开对随机事件的定量分析，这使得概率论的发展又跨了一个大的台阶。

需要注意的是，对于随机变量来说，样本空间中的样本不一定是等概的。在实际工程中，非等概模型才是更加普遍和一般的情况，随机事件的样本集空间中不同元素的发生概率一般不可能都是等概的。等概摡型只是离散型随机变量里一个特例。

0x2：随机变量的抽象定义

在随机试验E中，Ω是相应的样本空间，如果对Ω中的每一个样本点w，有唯一一个实数 X(w) 与之对应，那么就把这个定义域为Ω的单值实值函数 X=X(w) 称为(一维)随机变量。

函数 X(w) 的的定义域对应于随机变量的样本空间，记作，，当然，随机事件只会在一些区间内有概率的定义，在其他区间上概率为0。

《概率论与数理统计》同济大学数学系 第二章 - 第一节

0x1：为什么要研究随机变量的概率密度与概率分布PDF

正态分布是概率统计中非常重要的一种分布，是高斯（Gauss，年）在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以正态分布又叫高斯分布。

将一枚硬币抛一次，观察正面出现的次数. 则样本空间为S={ 0,1}.?

将一枚硬币抛2次，观察正面出现的次数. 则样本空间为S={ 1，2}.?

观察某城市一昼夜发生交通事故的次数. 事件C表示“事故至多发生3起”，事件D表示“事故少于3起”. 则??C={ 0,1,2,3}，D={ 0,1,2}.?

将一枚硬币抛2次，观察正反面出现的情况. 样本点表示为（第1次结果，第2次结果），则样本空间为??S={ （正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.?

观察某城市一昼夜发生交通事故的次数. 事件C表示“事故至少发生10起”，事件D表示“事故超过10起”, 则C=D.?

观察某种型号节能灯的寿命，如果事件C表示“使用寿命超过6000小时”，则C={ x: x6000}.?

样本空间S中的随机事件为A，则以下错误的是?

若A与B不相容，则对于任意事件C与D，AC与BD也不相容。?

?对任意事件A,B，均有.

某人先掷30次，发现“1点”出现了6次，所以“1点”出现的频率为6/30=0.2，接下来他又掷50次，其中“1点”出现了8次，此时频率为8/50=0.16.因此，在总共80次试验中，“1点”出现的频率为(0.2+0.16)/2=0.18. 你认为对吗？?

某人进行了100次投篮，命中率为0.28，说明在这100次投篮中投中了28次。???

?将一枚掷30次，结果有6次出现“6点”，则“6点”出现的频率为1/6。?

将一枚均匀硬币分别抛10次和100次，抛10次出现正面的频率记为a, 抛100次出现正面的频率记为b，则??｜a-0.5｜｜b-0.5｜一定成立.?

已知事件A与B至少有一个发生时事件C发生，记a=P (A∪B), b=P(C)，则a与b一定有???

一盒中有5个白球，3个红球。从中不放回地取3次，每次取1个球. 则以下结论正确的是?

A: 第2次取到白球的概率等于5/8
B: 第3次取到白球的概率等于5/8
C: 第2次取到白球的概率等于4/7
D: 第2次取到白球的概率等于5/7
E: 第3次取到白球的概率等于3/6
F: 第3次取到白球的概率等于4/6
答案: 第2次取到白球的概率等于5/8;
第3次取到白球的概率等于5/8

?设A与B是两个随机事件，则表示“A与B至少有一个发生”。

一盒中有3个红球，5个白球，采用不放回抽样取2个球，已知有一个是红球，则两个都是红球的概率为1/6。?

有甲乙两盒，每盒都有2个红球，3个白球，从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒中采用不放回抽样取出2球，则取到两个球是一红一白的概率为14/25。?

一袋子中有9个白球，1个红球。从中不放回地取3次，每次取1个球. 对于取到的三个球，以下结论正确的是?

A: 全是白球的概率为1/3
B: 全是白球的概率为9/10
C: 取到红球的概率为1
D: 取到红球的概率为3/10
答案: 取到红球的概率为3/10

将一枚均匀的硬币抛两次，2次都出现正面的概率为?

一袋子中有9个白球，1个红球。从中有放回地取10次，每次取1个球.第10次取到红球的概率为?

一袋子中有9个白球，1个红球。从中不放回地取10次，每次取1个球.第10次取到红球的概率为?

将一枚均匀的硬币抛两次，记录、第二次出现的正反面情况.这是等可能概型.?

将一枚均匀的硬币抛两次，记录正面出现的次数.这是等可能概型.?

?设A, B为随机事件，已知,则.

有甲乙两盒，甲盒中有2个红球，5个白球，乙盒中有5个红球，2个白球，任取一盒，从中取1球，则取到红球的概率为?

有甲乙两盒，甲盒中有2个红球，3个白球，乙盒中有3个红球，2个白球，先从甲盒取1球放入乙盒，再从乙盒不放回取2球，则取到的2个都是红球的概率为?

有甲乙两盒，甲盒中有2个红球，3个白球，乙盒中有3个红球，2个白球，先从甲盒取1球放入乙盒，再从乙盒取1球，则后取到的是红球的概率为?

有甲乙两盒，甲盒中有2个红球，5个白球，乙盒中有5个红球，2个白球，任取一盒，从该盒中采用放回抽样，取2次，每次取1球，则取到的2个都是红球的概率为?

有甲乙两盒，甲盒的率为0.3，乙盒的率为0.2，现有两种抽样方案，方案一：抛一枚均匀硬币，出现正面抽甲盒，否则抽乙盒；方案二：抛一枚均匀，出现点数大于4时抽甲盒，否则抽乙盒.记方案一的概率为a，方案二的概率为b，则?

一盒中有4个大小形状一致的球，其中3个为红球，1个为白球，采用放回抽样，直到取到白球，停止试验，若记此时总的试验次数为Y，则P(Y2)等于?

将一枚掷2次，则2次都出现 “点数大于4”的概率为?

将一枚掷2次，若记2次中“点数大于4”出现的次数为Y，则Y服从???

一盒中有5个大小形状一致的球，其中3个为黄球，2个为红球，采用放回抽样取3球，记一共取到的红球数为X，则X服从二项分布，（n，p）为?

一盒中有4个大小形状一致的球，其中3个为红球，1个为白球，采用放回抽样，第5次取到第2个白球的概率为?

?设F(x)为随机变量X的分布函数, 则对于任意的实数a<b,等于

一盒中有3个红球，1个白球，不放回取2个球，X表示取到的红球数，F(x)是X的分布函数，则F(1.5)的值为?

?设随机变量X的分布函数则

下面几个中, 不可列集是?

一盒中有3个红球，1个白球，不放回取2个球， X表示取到的红球数，则X的分布律为??P(X=1)=P(X=2)=0.5.?

?设随机变量X的概率密度函数为则常数c的值为

?设随机变量X的概率密度函数为则P(X1.5)的值为

?设随机变量X的概率密度函数为F(x)是X的分布函数，则以下结果正确的是

?两个概率密度函数与对应的分布函数完全相同.

?设随机变量X的分布函数

?则X的概率密度函数可写为

随机变量的分布函数一定是连续函数.?

设随机变量X在区间（0,4）上均匀分布，则P(X1.5)的值为?

设X服从参数为3的指数分布,则以下结果错误的是?

?设随机变量X的概率密度函数为则P(X2)的值为

?设随机变量X的分布函数 则X的概率密度函数为

?在区间(1,3) 内随机取一数，记为X，则X~U(1,3), 且X的概率密度函数为

?设随机变量X的概率密度函数为 则X～N(1,1/2).

?设随机变量X的概率密度函数为则P(Y1)的值为

?设随机变量X的概率密度函数为则 Y～U(0,1).

?设随机变量X的概率密度函数为

?则Y的概率密度函数为

一盒中有3个红球，5个白球，采用放回抽样取2个球，取到的红球数为X，则以下结果正确的是?

设随机变量X服从参数为λ=3的指数分布，X的分布函数为F(x),则以下结果正确的是?

设随机变量X~N(1,4)，则以下结果正确的是?

?掷一枚均匀，直到出现的点数小于3为止，记抛掷的次数为X，则以下结果正确的是?

?设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则.

随机变量X在区间（1，3）上服从均匀分布，对X独立重复观察3次，则至少有2次观测值大于1.5的概率值为27/32.?

随机变量X在区间（－1，2）上均匀分布，F(x)是X的分布函数，则F(1)=0.5.?

设(X,Y)的取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），已知P(X=Y)=1，则以下结果一定错误的是?

?已知（X,Y）的联合分布律为:

甲、乙两盒都有1个红球及2个黑球，从甲盒中取1球，并将其放入乙盒，搅匀后从乙盒不放回取2个球，X表示从甲盒中取到的红球数，Y表示从乙盒中取到的红球数，则以下结果正确的是?

?已知（X,Y）的联合分布律为:

已知X与Y的边际分布律，则必能确定（X,Y）的联合分布律.?

?设（X,Y）是二元离散型随机变量，X与Y可能取值为1,2,3,…，则?

已知（X,Y）的联合分布律，则必能确定X与Y的边际分布律.?

?设(X,Y)为二元随机变量，F(x,y)是(X,Y)的分布函数，则X的边际分布函数为

?设(X,Y)的联合概率密度为则P(X≥Y)的值为

已知(X,Y)的概率密度在单位圆内是一个常数，圆外为零，则这个常数为?

?已知(X,Y)的分布函数为则(X,Y)的概率密度为

?设(X,Y)的联合概率密度为则P(X=Y)的值为

?已知(X,Y)的概率密度则k的值为

?设(X,Y)的概率密度为则X的边际概率密度计算公式为

?设(X,Y)的概率密度为则Y的边际概率密度计算公式为