1.1数列极限的定义：

设?xn?是一个数列，a是实数，如果对任意给定的??0，总存在一个整数N，当n?N时，都有xn?a??,我们就称a是数列?xn?的极限或者称数列?xn?收敛，且收敛于a,记为：

就读作“当趋n于无穷大时，?xn?的极限等于a或?xn?趋于a数列极限存在，称数列极限。

若数列?xn?没有极限，则称?xn?不收敛，或称?xn?为发散数列。

1.2数列极限的???定义及注意点：

???定义中的整数?，作用是数列通项xn与常数a的接近程度，?越小越接近，而整数?可以任意的小，说明xn和a接近到什么程度，用?的任意性来找出整数?。

一般说，?随着?的变小而变大，常来强调是?依赖于?的，但这并不是说

?是由?唯一确定的，这里重要的是?的存在性，而不是它的值的大小，与?的大小无关。

数列?xn?的极限是a的几何意义是对任意的??0，任意一个以a为中心，以?为半径的领域

项后面的所有项xn，（即除了前?项a1,a2,a3...an以外）它们在数轴上所对应的点，都位于a的?领域

领域区间之外，因为??0,可以任意小，所以数列?xn?中各项xn所对应的点都无限集在点a的附近。

1.3数列极限的两点说明 (1)?的两重性

定义中的?具有任意性，同时具有确定性，作为任意性，它体现了人们对

xn?a的任意小的主观要求（即定义中的???0，作为确定性，它随着人们的要求而被“确定”是个按人们自己的要求而确定的常数，另外还应该注意，通常人们习惯把?看作一个极小的任意整数，引入的任意整数?是数列极限由定性描述转入定量定义的关键，另一方面?具有相对的固定性，在数列极限定义中，正数虽然?也任意大，但是此时不等式xn?a??并不说明?xn?无限趋近?是任意的，

于a，这里主要是指?任意小，此时不等式xn?a??才说明?xn?无限趋于a，因

1此证明极限问题时，常常限定?的较小的变化范围。如0???1,0???，为了

定义中的?具有确定性和任意性。对于确定性，它是应“人们的要求（要求数列的项xn与常数a的距离xn?a小于?）而确定的一个自然数，也可以记

??????;对于任意性，就是它的存在不唯一，一旦有??????满足人们的要求，则任意大于或等于它的自然数都将满足人们的要求（这也是人们用“???”定义来证明数列极限时常把表达式xn?a适当放大的基本原因。）

迫敛法则不但是一种数列收敛的强有力的方法，而且可以同时给出数列极限值的法则。

n??单调有界数列必收敛。 (2) 柯西（catchy）收敛准则

迫敛法则是及单调有界法则是数列收敛的两个充分条件，下面要介绍的则是一个重要的充分必要条件。

设?an?，?bn?，?cn?三个数列，并且存在一个自然数?0,使得：

若?cn?与?bn?都有极限存在，并等于l，则?an?的极限存在，并且等于l。 证明：对于任意给定的??0，存在自然数?1与?2,使得

这就是很有用的定理，叫做夹逼定理。它的主要用途是用来证明某给定的极限的存在性。

定义1：任意给??0，若在数列?an? 收敛于极限a。

?a,??之外数列?an?中的项至多只有有限个，则称

定义2：若liman?0，则称?an?为无穷小数列。

n??定理2.1：数列?an?收敛于a的充要条件是：?an?a?为无穷小数列。 (4)单调有界定理

在实数系中，有界的单调数列必有极限。

证：不放设?an?为有界的递增数列。由确界原理，数列?an?有上确界，记a?sup?an?，

任意给??0，按上确界的定义，存在数列?an?中某一项an，使得a???an.由?an?的递增性，当n??时有

n??1.5数列极限的性质

收敛数列有如下性质. (1)极限唯一性

若数列?an?收敛，则它的极限是唯一的. 设liman?a与limbn?b，根据数列极限的定义，即

即a?b，从而收敛数列?an?的极限唯一。

注意：“极限的唯一性”虽然结论简单，但证明过程较难，但它却是极限

《微积分》是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一，它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。

微积分作为一学年的课程，是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习专业课打下坚实的基础。

通过本课程的学习，使学生较好地掌握微积分特有的分析思想，并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其方法解决实际问题中的简单问题。

该课程主要介绍微积分的基本概念，函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程、差分方程等内容。

本课程共136学时（分为微积分（1）、（2）），8学分。

本课程将采用课堂讲授。

经济学、管理学所有本科专业。

二、教学内容与学时分配

使学生正确理解函数的定义。理解函数的各种表示法，特别是分析表示法。了解函数的几何特性及图形特征，了解反函数、复合函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及图形，掌握初等函数的结构并能确定其定义域，能列出简单的实际问题中的函数关系。

１．理解实数与实数的绝对值的概念。

２．理解函数、函数的定义域和值域，熟悉函数的表示法。

３．了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。

４．了解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。

５．理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。

６． 基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。

７． 了解分段函数的概念。

８． 会建立简单应用问题的函数关系。

1.五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形。

2.利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法。

实数、绝对值、区间、邻域、集合。

常量与变量；函数的定义与表示法，函数定义域的求法。

函数的单调性，有界性，奇偶性，周期性。

反函数的定义及其图形，反三角函数及其主值。

基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形；初等函数的定义。

经济函数----总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。

通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则，了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质。

１． 了解数列极限与函数极限的概念。关于数列极限与函数极限的分析定义不做要求。

２． 了解无穷小量的概念与基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系。

３． 知道两个极限的存在性定理，并能用于求一些简单的极限。夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。

４． 熟练掌握两个重要极限，两个重要极限的证明不作要求。

５． 了解函数连续性的概念，函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法。

６． 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。

７． 了解闭区间上连续函数的基本定理，基本定理的证明不作要求。

８． 掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法。

1.极限概念、极限的运算法则。

2.两个重要极限，求极限的一些基本初等方法。

3.函数连续性的概念、间断点的分类。

数列的概念，数列极限的定义与几何意义，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。

数列极限存在的单调有界定理和夹逼定理.

二、由函数图形认识函数极限

三、由函数值认识函数的极限

函数的极限；函数极限的几何解释；单侧极限。

§2.3 函数极限的性质及运算法则   函数先存在的形状和四则运算的极限，函数极限存在的夹逼定理

无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。

函数的改变量；函数的连续性，左连续与右连续；函数的连续性与极限的关系。

函数的间断点及其分类。

连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。

§2.6 闭区间上连续函数的性质

有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理。

让学生理解导数与微分的概念，导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系。掌握导数四则运算法则，初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法，会求简单的n阶导数。

1. 了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系。

2. 熟练掌握基本初等函数的导数公式。

3. 熟练掌握导数的四则运算法则。

4. 掌握反函数的导数公式。

5. 熟练掌握复合函数的链式求导公式

6. 掌握隐函数求导法与对数求导法。

7. 了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。

8. 了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性。

9. 知道边际与弹性的概念，会求解简单的经济应用问题。

1.导数的定义，利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数。

3.微分的定义以及计算方法。

变速直线运动的速度；平面曲线的切线斜率；导数的定义与几何意义；可导与连续的关系。

一、 复合函数求导法则

二、 取对数求导法

微分的定义与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基本公式；参数方程求导公式；微分形式的不变性。

第四章  中值定理与导数的应用

     使学生掌握中值定理的条件和结论。会用中值定理进行简单的推理论证，熟练运用罗必塔法则求不定式的极限，掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法，并会描绘简单函数的图形，会用导数和微分分析一些简单的经济问题。

1. 能叙述Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，知道这些定理之间的联系，会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。有关这些定理的证明不作要求。

2. 熟练掌握洛必塔法则，了解其它未定式极限的求法。

注意罗必塔法则适用的条件。

3．熟练掌握函数单调性的判别法。

4．熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题。

5．了解曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法。

6．了解函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形。

 1.拉格朗日中值定理的条件,结论和有限增量形式.

    1.三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进，以及中值定理的应用

 泰勒公式及其在求极限中的应用

一、一阶导数的符号与函数的单调性

二、二阶导数符号与函数的凹凸性

函数极值的定义，函数取极值的必要条件与充分条件；函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。

函数的渐近线，函数作图

      通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,换元法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分.

1．了解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。

2．熟悉基本积分公式。

3．熟练掌握计算不定积分的换元法和分部积分法。

1.原函数,不定积分的定义,基本积分公式

原函数的概念；不定积分的定义与几何意义；不定积分的基本性质。

1.朱来义. 微积分（面向21世纪课程教材，高等学校经济管理学科数学基础）.北京:高等教育出版社,2010

3．同济大学 高等数学（第六版）  高等教育出版社

8．赵树嫄. 经济应用数学基础（一）  微积分（修订本）.北京:中国人民大学出版社,1998

关键词：极限数列极限函数极限

初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列

的定义域是全体正整数集

正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列

看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的

若对任给的正数？藓，总存在正整数

2.1x→∞时函数极限

为定数，若对任给的正数？藓，存在正数