数学抛物线基本定理和相关知识?

a大于0时 抛物线开口向上
a小于0时 抛物线开口向下
绝对值a越大 抛物线开口越小
绝对值a越小 抛物线开口越大

数学的抛物线的定义是什么

　　1、理解二次函数的概念，会用描点法画出二次函数的图象，理解二次函数与抛物线的有关概念

　　2、通过二次函数的图象，理解并掌握二次函数的性质，会判断二次函数的开口方向；会求顶点坐标，

　　　 会判顶点坐标，对称轴方程；会判断并求出最大值或最小值；会判断增减性，等等。

　　3、由图象能确定a、b、c、△的符号，及判定。

　　二次函数的图象和性质及运用。

　　二次函数的图象的画法以及理解y=a(x-h)2+h型抛物线是由抛物线y=ax2平移而得到的。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第一阶梯

例1、在同一坐标系中画出下列二次函数的图象。

　　以上四个二次函数我们在列表时首先在所列的表正中位置选择点（0，0），然后再在两边找对应的

　　点，画好图象后就能发现首先确定点（0，0）的重要性。

　　观察图象我们应掌握以下几点。

　　二次函数的图象是一条抛物线。

　　1、抛物线当a>0时，向上无限延伸，同时a>0，抛物线开口向上

　　　 抛物线当a<0时，向上无限延伸，同时当a<0时，抛物线开

　　2、抛物线以y轴为对称轴，由于y轴上的点的横坐标为零，我们

　　　 也说对称轴方程为x=0。

　　3、抛物线的顶点是这样定义：抛物线与对称轴交点叫抛物线

　　　 的顶点。所以抛物线y=ax2 (a≠0)的顶点坐标为（0，0）。

　　　 这就是我们在画图象时首先确定点（0，0）的理由，再根据

　　　 抛物线关于y轴对称，我们在确定其它点时，也选对称的点，

　　　 这样既能减少运算量，又能使图象画的优美、准确。

　　4、二次函数的最大、最小值。

　　　 ①当a>0时，抛物线开口向上，它有最底点，所以存在最小值。这个最小值就是当x取顶点横坐标，

　　　　 顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。

　　　 ②当a<0时，抛物线开口向下，它有最高点，所以存在最大值。这个最大值就是当x取顶点横坐标，

　　　　 顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。

　　5、二次函数的增、减性。

　　　 ①当a>0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。

　　　 ②当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x增大而减小。

例2、在同一坐标系下画出二次函数y=x2和 的图象，寻求两条抛物线的联系并探索抛物线

　　 与抛物线 的联系。

　　一般情况下由于 （可转化为 的图象可由函数y=x2

　　的图象先向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到。

例3、画抛物线 的图象。

提示：为了能更好的画出图象，我们对原关系式进行配方变形，即：

　　切，你当我是妹妹过吗？我从来没见过像你这样的哥呆

　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二阶梯

例1、分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标，对称轴方程、最大或最小值。

　　每一个二次函数都可利用配方法将其转化成 的形式，在这种形式下比较容

　　易解决上述问题，也可根据对二次函数一般式的研究结果直接得出结论。

　　　 又∵二次项系数为-2<0

　　　　 ∴抛物线开口向下，y有最大值－3

　　　 顶点坐标（－1，－3），对称轴方程x=－1

　　通过二次函数的系数得到二次函数图象的性质指导人们正确的作出函数图象，体现数形结合的思想

例2、已知抛物线经过三点A（－1，0），B（6，0），C（0，－6），求二次函数的解析式。

　　解1：设所求二次函数的解析式为：
　　　　 解得：a=1，b=－5，c=－6
　　即所求二次函数的解析式为
　　　 解2：由已知设所求二次函数解析式为：
　　　 ∵函数图象经过C（0，－6）点
　　∴所求函数解析式为

例3、已知抛物线经过A（0，－1）点，且其顶点坐标为（－1，2），求二次函数的解析式。

　　　　 若利用二次函数的一般式， 需布列关于a、b、c的三个方程，由于顶点是很特殊的点，利用它可得到两个方程① 和② ，再由已知可得第三个方程c=－1，通过解方程组可以求出解析式。但如果我们把①，②整体代入 有： ，问题就简便多了。一般情况下，若已知抛物线顶点为（m，n），可将解析式设为 。

　　当已知函数解析式形式时，先设出所求的解析式，再根据已知条件布列方程，通过解方程得到待定的

　　系数，这种方法叫待定系数法，一般情况下解决同一个求解析式问题，待定系数越少，解题过程越简

　　单。另外根据已知条件布列方程（或方程组）和解方程（或方程组）是学好数学的基础，必须熟练

1.函数 中，自变量x的取值范围是（ ）

2.二次函数 的顶点关于原点对称点的坐标是（ ）

3．函数 中，自变量x的取值范围是_______.

5． 已知二次函数的图象经过A（－3，0）、B（2，0）和C（－2，－4）三点求二次函数的解析式。

6、已知二次函数的图象经过A（－1，2）、B（3，2）和C（1，0）三点，求二次函数的解析式。

　 梯形APEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

　6.提示1：用一般式解方程

　　提示2：由于A（－1，2）和B（3，2）关于直线x=1对称，故x=1是抛物线对称轴，又过C（1，0），

　　　　　 故C为抛物线顶点可设抛物线方程为 ，最终求出解析式为

1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．

2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．

3、二次函数的解析式有下列三种形式：

确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．

4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义

抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．

a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．

(2)x=h为抛物线对称轴；

(3)顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．

要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．

面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点.
定直线l 叫做抛物线的准线.

1、通径是过焦点的弦中最短的弦
5、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则AC过原点
7、光学性质：过焦点的光线被抛物线反射后为一组平行光线。
8、设C为抛物线上一点，过抛物线的焦点F作直线L交抛物线于A、B，AF、BF分别与准线交于P、Q，则PF⊥QF。
9.过（2C，0）或者（0，2C）的一条直线与抛物线的交与两个点A，B 设抛物线的顶点为D 那么恒有角ADB=90度

这个结论对椭圆、双曲线也成立。

高中数学基本不等式的巧用