在《》介绍了无界函数的反常积分概念、计算方法以及收敛性的判断方法,通过求被积函数的原函数,然后按定义取极限,根据极限的存在与否来判定是否收敛。除了这种方式判断无界函数的反常积分是否收敛外,还有一种反常积分收敛性的判断方法。这就是本节要介绍的无界函数的反常积分审敛法。
注:所谓审敛法就是判断函数或级数是否收敛的方法。
由《》案例2可知,无界函数反常积分:
当q<1时收敛,当q≥1时发散。与《》介绍的比较审敛法1类似,可以得到无界函数反常积分的比较审敛法2。
定理:设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且f(x)≥0,x=a为f(x)的瑕点。如果存在常数M>0及q<1,使得:
那么f(x)在区间(a,b]上对应的反常积分收敛;如果存在常数N>0,使得:
那么f(x)在区间(a,b]上对应的反常积分发散。
注意:针对第一个结论,这里的q的取值与比较审敛法1中p的取值对应的收敛情况恰好相反,老猿仔细思考发现,其实本质上二者对应的积分函数的原函数类似,如设t=x-a,则本定理中f(t)就类似比较审敛法1中的f(x),但二者的区间不同,在比较审敛法中x的区间为[a,+∞),而本定理中t的范围为(0,b-a],设M=N=1,在q≠1的情况下二者对应的被积函数本质上都是f(x)=1/xp:
因此两个比较审敛法因为积分区间不同导致p的取值对反常积分的收敛性产生了完全不同的影响。
注:Γ为希腊字母γ的大写,读gamma(伽玛)。
Γ函数右端积分中,当s<1时x=0是被积函数的瑕点,因此可以将该积分表示为如下两个积分的和:
对I1,当s≥1时,I1是定积分,当s<1时,因为:
根据比较审敛法2可以证明反常积分I1收敛。
根据极限审敛法1可得到I2也收敛。
因此在s>0时,Γ函数收敛。
一般地对于任何正整数n,有:Γ(n+1) = n!,因此可以把Γ函数看成是阶乘的推广。
这个公式的证明比较复杂,书上也没介绍,在此也不进行介绍,感兴趣的自己在网上查询。
当s=1/2时,由余元公式可得:
本文介绍了无界函数反常积分的比较审敛法和极限审敛法,以及特殊的无界函数Γ函数,以及Γ函数的一些特殊属性。
注:这里比较审敛法2、极限审敛法2都带有2,是因为这两个方法对无穷限函数也有类似规则。
ps:本节为定积分的最后一节,后面还有定积分的应用和微分方程两章,暂时停一下,以后再学习。后面准备恢复数字图像处理的学习。
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为什么直接用比较审敛法不能判断出级数发散,而比较审敛法的极限形式就可以判断出
遇到知识盲区了:反常积分的比较审敛法。之前跟过张宇的强化班,完全没涉及啊…请问应该听谁的补课
求大佬,比较审敛法的极限形式极限为什么不能小于0,小于0会怎样
这个题用比较审敛法应该选什么级数来比较呢? 还有第二张图是我搜到的答案,我不太明白为什么Un/Vn的极限是2呢,为什么要那样求嘞?啊啊啊啊啊,郁闷
为什么定理中只限定于正项级数才可用呢,假如我要判定一个负项级数的敛散性那先给它乘上一个负号再判定是不是不影响结果?那如果是这样的话是不是负项
比较审敛法的推论,求大神用通俗的语言解释一遍,我蒙圈了
课本上这个条件是要每项都小于还是说和前有限项无关,只要n充分大的时候满足就行第二个小结论这样证明对不对呀
级数的比值审敛法有什么适用条件?为什么调和级数不用判别?
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