矩阵可逆的判定在数学中经常会遇到，是考研数学的重点，更是常考点。2015考研数学大纲中明确要求，理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分要条件。从以往的大纲中，矩阵可逆的重要性也可窥一斑。下面结合线性代数的整体知识框架，总结出矩阵可逆的10种判定方法，希望同学们牢固掌握，在实际做题中会熟练应用。

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满秩矩阵一定是可逆矩阵，可逆矩阵一定是满秩矩阵。

满秩矩阵是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。若矩阵是满秩矩阵，则为n阶方阵，|A|≠0，即|A|是A的n阶非零子式，符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件，即为可逆矩阵。同时，可逆矩阵的行列式就是最高的不为零的子式(是n阶的)，所以可逆矩阵也必然是满秩矩阵。

用满秩方阵乘矩阵，并不会改变矩阵的秩，因为满秩方阵可逆，可逆矩阵一定是方阵，可逆矩阵可以等同于一组初等矩阵的乘积。满秩方阵乘矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩。同样的道理，两个满秩方阵的乘积也仍然是满秩方阵，不会改变矩阵的秩

满秩矩阵和可逆矩阵是等价的，但“行满秩矩阵”和“列满秩矩阵”却不一定可逆。因为满秩矩阵一定是行满秩矩阵和列满秩矩阵，但行满秩矩阵或者列满秩矩阵不一定是满秩矩阵。