第八节  多元函数的极值及其求法

定义  设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内一切异于 的点 ，都有

则称函数在点 取得极大（小）值 ．极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点

关于一个极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，还附加若干条件，这样的极值问题称为无条件极值．

定理1(必要条件)  设函数 在点 具有偏导数，且在点 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理2(充分条件)  设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 ，

则 在 处是否取得极值的条件如下：

(1) 时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值；

(3) 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．

拉格朗日乘数法  要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先构造辅助函数

其中 为某一常数．求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立起来：

由这方程组解出 及 ，则其中 就是函数 在附加条件 下的可能极值点的坐标．

这样的方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形．例如，要求函数

下的极值，可以先构造辅助函数

其中 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与条件中的两个方程联立起来求解，这样得出的 、 、 、 就是函数 在附加条件下的可能极值点的坐标．

关于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定．

在点(0, 0)处， ，所以 不是极值；

在点(0, 4)处， ，所以 不是极值；

在点 处， ，所以 不是极值；

在点 处， ，所以 不是极值；

在点 处， ，又 ，所以函数在

例2  某厂要用铁板做成一个体积为2m³的有盖长方体水箱．问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省．

解法一  设水箱的长为 m，宽为 m，则其高应为 m．此水箱所用材料的面积

可见材料面积 是 和 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点 ．

根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域 ： 内取得．又函数在 内只有唯一的驻点 ，因此可断定当 时， 取得最小值．就是说，当水箱的长为 m、宽为 m、高为 m时，水箱所用的材料最省．

解法二  此题也可以用拉格朗日乘数法求解。将其看作求水箱所用材料的面积 在条件 下的极值问题，作Lagrange函数

根据题的实际意义可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域 内取得．又函数在 内只有一个可能极值点 ，因此可断定当 时， 取得最小值．就是说，当水箱的长、宽、高均为 m时，水箱所用的材料最省．

例 求下列函数的极值：

x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．